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Einführung in die Chaostheorie

von Joël Bouquet (Autor:in) Toy Faith (Autor:in)
Studienarbeit 2006 19 Seiten

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Chaotische Systeme

3 Arnold’s Cat Map
3.1 Beispiel „E“
3.1.1 Code
3.2 Beispiel „bunny“
3.2.1 Code
3.3 Iterationen
3.3.1 Code

4 Der Schmetterlingseffekt
4.1 Konsequenz
4.2 Der Lorenz-Attraktor

5 Logistische Gleichung
5.1 Das Feigenbaumdiagramm
5.2 Die Feigenbaumkonstante

6 Schlusswort

7 Literatur

8 Weblinks

1 Einleitung

Chaos

„ Der Gesamtcharakter der Welt ist in alle Ewigkeit Chaos, nicht im Sinne der fehlenden Notwen di g k e i t , s on d ern d er fehlenden Ordnung, Gliederung, Form, Schönheit, Weisheit und wie all e un s ere äs thet is chen M en s ch li ch k e i ten he iss en . „

(F rie d rich Nietsche )1

Ursprünglich wurde im Chaos etwas Unermessliches und Kreatives gesehen, dem die Ordnung entgegenwirkt. Viele Kulturen stellten sich den Anfangszustand, woraus Wesen und Dinge hervorgehen, als Chaos oder als Nichts vor.

Später änderte sich diese Sichtweise durch Aristoteles. Er vertrat die Meinung, dass die Ordnung alles durchdringe und in immer raffinierteren und komplexeren Hierarchien existiere. Der französische Physiker Pierre Laplace vertrat diese Meinung, dass Chaos einfach Komplexität eines so hohen Grades war, dass Forscher ihr praktisch nicht nachgehen können.

Der Schmetterlingseffekt war für die Wahl unseres Projektes von sehr grosser Bedeutung. Die Wirkung dieses Effekts in der Geschichte ist äusserst interessant und regt zum nachdenken an. Wir wollten jedoch auch die mathematische Seite, aus der der Schmetterlingseffekt entstanden ist, auch verstehen. Somit bot sich uns die Möglichkeit Naturwissenschaft und Philosophie miteinander zu verschmelzen. Dieser Effekt ist jedoch nur ein Bruchstück aus der wissenswerten Welt der Chaostheorie in die wir durch diese Arbeit hineinblicken wollen.

Das Ziel ist es, für die Berechnungen und Darstellungen unserer Aufgaben das Rechenprogramm MatLab anzuwenden. Durch Handhabung sollen die Anwenderkenntnisse verbessert und vertieft werden.

2 Chaotische Systeme

Das Wort Chaos kommt ursprünglich aus dem griechischen und bedeutet soviel wie Mischung.

In der Chaosforschung wird nicht der statische Zustand eines Systems beschrieben, sondern sein zeitliches Verhalten, seine Dynamik.

Solche Systeme hängen stark von ihrem Anfangszustand ab. Unterschiede führen zu einem völlig anderen Ausgang.

Beispiele sind Systeme mit stossenden Kugeln (Billard, Flipper). Bei der Kollision wächst die Störung exponentiell an.

Das Dreikörperproblem ist ein weiteres, nur sehr schwer lösbares System. Der Bahnverlauf von drei Himmelskörpern ist wegen ihrer Gravitation schwer berechenbar. Systeme mit zwei Körpern, lassen sich mit den Kepplerschen Gesetzen lösen.

3 Arnold’s Cat Map

Bei dieser Anwendung wird ein Bild, oder genauer gesagt ein Bildpunkt iteriert. Visuell kann dies so verstanden werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Punktiteration2

Jeder Pixel wird unabhängig voneinander iteriert. Nach einer bestimmten Wiederholung, kehrt der Punkt wieder zu seiner Anfangsposition zurück.

So chaotisch dieser Vorgang auch scheint, steckt doch ein bestimmtes System hinter dieser Folge von Wiederholungen.

3.1 Beispiel „E“

Beim ersten Beispiel wird das Bild „demo“ eingelesen und in eine Matrix umgewandelt. Nun wird jede Zahl zufällig verschoben und wieder in eine Matrix eingelesen. Nach jeder Iteration vergleicht das Programm die neue mit der ursprünglichen Matrix. Sind sie identisch, werden die Anzahl Iterationen, das Anfangs- und Schlussbild angezeigt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: Programmfenster

3.1.1 Code

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.2 Beispiel „bunny“

Im nächsten Beispiel werden die einzelnen Iterationen visuell in einem Fenster angezeigt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3: Bilditeration

Dieses Bild der Grösse 99x99 Pixel ist nach 24 Iterationen wieder gleich des ursprünglichen Bildes. Nach der Hälft, also 12 Iterationen, ist das bild horizontal und vertikal gespiegelt.

[...]


1 Bolz N.: Das kontrollierte Chaos. Vom Humanismus zur Medienwirklichkeit. Düsseldorf, et al.:Econ; 1. Aufl.: 1994. S. 33.

2 Applications of Linear Algebra: S. 682

Zusammenfassung

Ursprünglich wurde im Chaos etwas Unermessliches und Kreatives gesehen, dem die Ordnung entgegenwirkt. Viele Kulturen stellten sich den Anfangszustand, woraus Wesen und Dinge hervorgehen, als Chaos oder als Nichts vor. Später änderte sich diese Sichtweise durch Aristoteles. Er vertrat die Meinung, dass die Ordnung alles durchdringe und in immer raffinierteren und komplexeren Hierarchien existiere. Der französische Physiker Pierre Laplace vertrat diese Meinung, dass Chaos einfach Komplexität eines so hohen Grades war, dass Forscher ihr praktisch nicht nachgehen können.

Der Schmetterlingseffekt war für die Wahl unseres Projektes von sehr großer Bedeutung. Die Wirkung dieses Effekts in der Geschichte ist äußerst interessant und regt zum nachdenken an. Wir wollten jedoch auch die mathematische Seite, aus der der Schmetterlingseffekt entstanden ist, auch verstehen. Somit bot sich uns die Möglichkeit Naturwissenschaft und Philosophie miteinander zu verschmelzen. Dieser Effekt ist jedoch nur ein Bruchstück aus der wissenswerten Welt der Chaostheorie in die wir durch diese Arbeit hineinblicken wollen.

Das Ziel ist es, für die Berechnungen und Darstellungen unserer Aufgaben das Rechenprogramm MatLab anzuwenden. Durch Handhabung sollen die Anwenderkenntnisse verbessert und vertieft werden.

Details

Seiten
19
Jahr
2006
ISBN (eBook)
9783640088812
DOI