In dieser Arbeit soll dargestellt werden, wie man den Kindern der zweiten Klasse die „Welt der ungenauen Zahl“ näherbringen kann. Dies soll anhand einer Stationsarbeit zum Thema „Schätzen und Stützpunktvorstellungen im Zusammenhang mit dem Größenbereich Längen“ veranschaulicht werden. Entgegen der allgemein verbreiteten Annahme, dass Ergebnisse immer genau berechnet werden müssten, hängt das Maß an Genauigkeit in der Mathematik immer vom Kontext des Sachverhaltes ab.
Es gibt diverse Situationen im Unterricht und im Alltag, in denen ein geschätzter Wert genügt oder sogar unabdingbar ist. Das Schätzen wird als eine „Form der nicht-zählenden Anzahlerfassung“ beziehungsweise als Strategie der Größenermittlung mittels mentaler Vergleichsprozesse mit verinnerlichten Stützpunkten definiert. Zudem ist das Schätzen niemals mit Raten gleichzusetzen, da das Ergebnis immer anhand von Stützpunktvorstellungen begründet werden kann, was wiederum auf Messerfahrungen zurückgreift, und nicht dem Zufall überlassen ist.
Inhalt
1 Einleitung
2 Begriffsklärung
2.1 Schätzen
2.2 Stützpunktvorstellungen
2.3 Stationsarbeit
2.4 Schätzen im Größenbereich Längen in der 2. Klasse
2 Schätzen und Stützpunktvorstellungen
2.1 Fachliche Darstellung
2.2 Didaktische Aspekte
3 Stationsarbeit: Wir werden Schätzprofis
3.1 Legitimation der Thematik und nötige Vorkenntnisse
3.2 Ablauf der Stationsarbeit und didaktische Anmerkungen
4 Fazit
Literaturverzeichnis
Quellenverzeichnis
Internetquellen
Abbildungen
Anhang
1 Einleitung
Entgegen der allgemein verbreiteten Annahme, dass Ergebnisse immer genau berechnet werden müssten, hängt das Maß an Genauigkeit in der Mathematik immer vom Kontext des Sachverhaltes ab (Franke/RUWISCH, 2010, S. 248). Es gibt diverse Situationen im Unterricht und im Alltag, in denen ein geschätzter Wert genügt oder sogar unabdingbar ist. In den folgenden Ausführungen soll dargestellt werden, wie man den Kindern der zweiten Klasse diese „Welt der ungenauen Zahl“ (BÖNIG, 2001, S. 44) näherbringen kann. Dies soll anhand einer Stationsarbeit zum Thema „Schätzen und Stützpunktvorstellungen im Zusammenhang mit dem Größenbereich Längen“ veranschaulicht werden.
2 Begriffsklärung
2.1 Schätzen
Das Schätzen wird als eine „Form der nicht-zählenden Anzahlerfassung“ (SCHIPPER, 2009, S. 174) bzw. als Strategie der Größenermittlung mittels mentaler Vergleichsprozesse mit verinnerlichten Stützpunkten (RUWISCH/FRANKE, 2010, S. 248; SELTER/ZANNETIN, 2019, S. 130) definiert. Zudem ist das Schätzen niemals mit Raten gleichzusetzen, da das Ergebnis immer anhand von Stützpunktvorstellungen begründet werden kann, was wiederum auf Messerfahrungen zurückgreift, und nicht dem Zufall überlassen ist (SELTER/ZANNETIN, 2019, S.130; SCHIPPER, 2009, S.174).
2.2 Stützpunktvorstellungen
Unter Stützpunktvorstellungen versteht man gedankliche Repräsentanten, die stellvertretend für „realistische alltagstaugliche Vorstellungen zu Größen“ stehen. (REUTER/NEUBERT, 2010, zitiert nach SELTER/ZANNETIN, 2019, S.130). Sie unterstützen die Schülerinnen und Schüler (im Folgenden abgekürzt mit „SuS“) beim mentalen Vergleich verschiedener Größen und beim gedanklichen „Vermessen“ und können im Alltag flexibel eingesetzt werden. Daher müssen sie im Unterricht immer wieder verinnerlicht und eingeübt werden (FRANKE/RUWISCH, 2010, S. 135, 148).
2.3 Stationsarbeit
Bei einer Stationsarbeit wird eine Thematik an unterschiedlichen Arbeitsplätzen im Klassenraum erarbeitet, wobei die einzelnen Lernstationen beschriftet und vorbereitet sind. Dies geschieht zumeist in Form einer Gruppenarbeit - ohne weitere Hilfestellungen der Lehrkraft. Damit ist es eine Umsetzungsform des Konzepts von Offenem Unterricht (KÖCK 2008, S. 479).
2.4 Schätzen im Größenbereich Längen in der 2. Klasse
Für die Klassenstufen 1/2 ist es vorgesehen, das Schätzen in Zusammenhang mit dem Messen an Objekten aus der Umwelt, Strecken und der eigenen Körpergröße vorgesehen. Als einzuprägende Körpermaße werden die Daumenbreite, die Handspanne, die Länge eines Schrittes, die Elle und der Fuß aufgeführt. Dazu sollen ergänzend Vor- und Nachteile dieser nicht-standardisierten Einheiten besprochen werden. Weiterhin sollen die SuS Vorstellungen über Längen in Meter, Zentimeter und Millimeter in Form von mentalen Repräsentanten verinnerlichen (SMK, 2019, S. 12).
2 Schätzen und Stützpunktvorstellungen
2.1 Fachliche Darstellung
Es lassen sich zwei verschiedene Typen von Schätzaufgaben voneinander abgrenzen: Grundständige Schätzaufgaben sind so konzipiert, dass sich die zu schätzende Größe bzw. Anzahl über einen gedanklichen Vergleich ermitteln lässt. Dies ist bei eingebetteten Schätzaufgaben nicht ohne weiteres möglich, da ein komplexerer Lösungsprozess mit weiteren Teilschritten erforderlich ist. Zu dieser Art von Schätzaufgaben werden die Fermi-Aufgaben gezählt.
Der oben genannte gedankliche Vergleich ist wiederum in zwei verschiedene Strategien zu unterscheiden - den direkten mentalen Vergleich und den indirekten mentalen Vergleich. Beim direkten mentalen Vergleich wird das additive Denken gefördert, da die Größe eines Gegenstandes / einer Menge durch den Vergleich einer sichtbaren bekannten Größe ermittelt wird. Der indirekte mentale Vergleich begünstigt dagegen das multiplikative Denken, da mithilfe mental verankerter Stützpunkte „vermessen“ wird (RUWISCH/FRANKE, 2010, S. 251-254). SCHIPPER beschreibt in seinen Ausführungen dazu jedoch kritisch, dass der direkte Vergleich bei der Anzahlbestimmung problematisch ist, da nur „Gleiches mit Gleichem“ verglichen werden kann. In Bezug auf den indirekten Vergleich betont er die Bedeutung von vertrauten Vergleichsgrößen, wie die eigenen Körpermaße (SCHIPPER, 2009, S. 174). BÖNIG führt daher für die Bearbeitung komplexerer Aufgaben neben dem Nutzen von Stützpunkten beim mentalen Vergleich eine weitere Schätzstrategie an - nämlich das Nutzen von Strukturierungsmöglichkeiten (BÖNIG, 2003, S. 108; BÖNIG, 2001, S. 45).
Schätzaufgaben können sich auch in Sachaufgaben wiederfinden. Sogenannte Fermi-Aufgaben (zurückgehend auf den Physiker Enrico Fermi) bilden eine Form dieser komplexeren Schätzaufgaben, da die Daten zur Ermittlung eines Ergebnisses vorerst von den SuS eigenständig ermittelt werden müssen (PETER-KOOP, 2003, S. 114).
Das Schätzen im Bereich der ungenauen Zahlen und das Berechnen von genauen Werten hängen sehr eng miteinander zusammen und bedingen sich gegenseitig. Einerseits setzt das Schätzen einige zahlbezogene Fähigkeiten, wie das Überschlagen oder Kopfrechnen voraus. Die kognitiven Prozesse des Schätzens begünstigen andererseits den Aufbau eines stabilen Zahlenverständnisses. Die Entwicklungen bedingen sich also wechselseitig (BÖNIG, 2001, S.44).
2.2 Didaktische Aspekte
Für die Behandlung des Themengebietes „Schätzen“ ist es sehr entscheidend, die SuS von Anfang an dazu zu motivieren, da zumeist eine negative Einstellung diesem Thema gegenüber verbreitet ist und die Notwendigkeit des Schätzens nicht erkannt wird (BÖNIG, 2001, S. 43). Die Verwendung konventioneller Messinstrumente wird von Kindern anscheinend bevorzugt (PETER-KOOP, 2003, S.9). Dafür gibt es mehrere Gründe. Einerseits überwiegt in der Mathematik die Bedeutung der Genauigkeit für ein „richtiges“ Ergebnis, wodurch sich die Kinder in Bezug auf „ungefähren“ Werte beim Schätzen schnell unwohl fühlen (HUNKE, 2012, S. 65; BÖNIG, 2001, S. 43). Dass geschätzte Ergebnisse von Kindern schnell als „falsch“ oder unzureichend interpretiert werden, liegt aber auch daran, dass die meisten Lehrwerke Aufgaben beinhalten, die die geschätzten Werte und die gemessenen Werte direkt gegenüberstellen. Der zahlenmäßige Unterschied zwischen diesen beiden Werten wirkt auf die SuS schnell demotivierend (RUWISCH/FRANKE, 2010, S. 250; BÖNIG, 2001, S. 43) und veranlasst sie, erst zu messen und danach einen Schätzwert einzutragen (BÖNIG, 2003, S. 106; PETER-KOOP, 2003, S. 8). Dabei geht der Lerneffekt des Schätzens insgesamt verloren.
Da es jedoch didaktisch sinnvoll ist, das Schätzen in Verbindung mit dem Messen zu behandeln (GRASSMANN,2001, S. 22), sollten bei der didaktischen Umsetzung einige Aspekte beachtet werden: Erstens sollte darauf geachtet werden, dass sich die Kinder tatsächlich im Schätzen üben und nicht zuerst den genauen Wert ausmessen. Zweitens ist es für die Motivation förderlich, Aufgaben zu wählen, welche die Notwendigkeit des Schätzens aufzeigen. Das können beispielsweise Aufgaben mit unvollständiger Datenlage (z.B. Fermi-Aufgaben) oder Aufgaben, bei denen das Schätzen mit weniger Aufwand das das Rechnen verbunden ist, sein (BÖNIG, 2001, S. 45). Auch spielerische Methoden wirken motivierend in diesem Zusammenhang (PETER-KOOP, 2003, S.10). Drittens sollten Schätzergebnisse „im Unterricht statt mit „richtig“ oder „falsch“ mit „angemessen“, „brauchbar“, „hinreichend“ oder „vernünftig“ bewertet werden“ (RUWISCH/FRANKE, 2010, S. 250).
Für die Bearbeitung von Schätzaufgaben ist es für die SuS von großer Bedeutung, eine Vielzahl an Repräsentanten für die Stützpunktvorstellungen kognitiv verinnerlicht zu haben (SCHIPPER, 2009, S. 174; WINTER, 1994, zitiert nach PETER-KOOP, 2003, S.10). Insbesondere die Größenbetrachtung der eigenen Körperteile ist laut WINTER für Kinder sehr zielführend (WINTER, 1994, zitiert nach PETER-KOOP, 2003, S.10). Dies bekräftigt auch SCHIPPER in Bezug auf den Größenbereich Längen und nennt u.a. die Fingerbreite, die Handspanne und die Armspanne als Vergleichsmaße (SCHIPPER, 2009, S. 174). Auch in Bezug auf andere Größen können Stützpunktvorstellungen nicht einfach auswendig gelernt werden, sondern sollten immer an Alltagserfahrungen der SuS anknüpfen (SELTER/ZANNETIN, 2019, S. 30). Der Aufbau von Stützpunktvorstellungen und das Trainieren der Schätzstrategien passiert dabei besonders tiefgründig, wenn die SuS in Gruppen an expliziten Aufgaben arbeiten, da der Austausch untereinander einzelne Prozesse besser nachvollziehbar macht und die Kinder so voneinander lernen (SCHIPPER, 2009, S. 174). Weiterhin sollte dieses mentale Repertoire an Vergleichsgrößen ab der ersten Klasse immer wieder im Unterricht aktiviert werden, um sie nachhaltig zu festigen (BÖNIG, 2001, S. 43).
3 Stationsarbeit: Wir werden Schätzprofis
3.1 Legitimation der Thematik und nötige Vorkenntnisse
Der thematische Schwerpunkt „Schätzen“ wird im Lehrplan bereits für die 1. bzw. 2. Klasse im „Lernbereich 3: Größen“ im Zusammenhang mit dem Größenbereich „Längen“ und „Zeit“ verortet (SMK, 2019, S. 12-13). In den Bildungsstandards werden für das Themengebiet „Größen und Messen“ als zu erlernende Kompetenzen „Größen vergleichen, messen und schätzen“, „Repräsentanten für Standardeinheiten kennen, [...]" und „in Sachsituationen angemessen mit Näherungswerten rechnen, dabei Größen begründet schätzen“ (KMK, 2004, S. 11) formuliert. Zudem ist das Schätzen als Unterrichtsthema in der Bedeutung für andere Themenbereiche des Mathematikunterrichts und für den Alltag der Kinder begründet: Das Schätzen und der flexible Umgang mit Stützpunktvorstellungen ist für die Entwicklung eines sicheren Größenverständnisses, eines differenzierten Zahlenverständnisses (SELTER/ZANNETIN, 2019, S. 128-129), einer kritischen Lesehaltung in Bezug auf Zahlenwerte und für eine bessere Orientierung im Alltag (BÖNIG, 2003, S. 102f) eine entscheidende Grundvoraussetzung.
Die Stationsarbeit ist so konzipiert, dass sie im Zusammenhang mit der Behandlung des Größenbereiches Längen durchgeführt werden kann, was wie bereits erwähnt, bereits in den ersten beiden Schuljahren behandelt wird. Da die Arbeitsblätter sehr textlastig sind, würde ich jedoch empfehlen, die Stationsarbeit erst gegen Ende der Klasse 2 durchzuführen, da die SuS über ein relativ sicheres Leseverständnis verfügen sollten. In jedem Fall ist es eine weitere Voraussetzung für die erfolgreiche Bearbeitung der Stationsarbeit, dass die SuS den Umgang mit den Maßeinheiten des Größenbereiches Längen und deren Umrechnungen und Schreibweise sicher beherrschen. Weiterhin sollten die SuS mit dem Prinzip einer Stationsarbeit bereits vertraut sein.
3.2 Ablauf der Stationsarbeit und didaktische Anmerkungen
Die Stationsarbeit „Wir werden Schätz-Profis“ setzt sich aus zwei Stationen, die das Schätzen von Mengen trainieren und sechs Stationen, die im Zusammenhang mit dem Größenbereich Längen stehen, zusammen. Die Reihenfolge der Bearbeitung ist beliebig, lediglich Station 2 setzt die Bearbeitung von Station 1 voraus. Die Aufgaben können entweder im Rahmen eines Projekttages oder auf mehrere Mathestunden aufgeteilt durchgeführt werden. Für die Bearbeitung der Stationsarbeit werden die SuS in feste Arbeitsgruppen eingeteilt, in denen sie die Stationen durchlaufen, da die meisten Aufgaben in Gruppenarbeit gelöst werden sollen, um einen tiefgründigeren Lerneffekt zu erzielen (vgl. 2.2 didaktische Aspekte). Dabei ist es sinnvoll, darauf zu achten, dass es mehr Stationen als Gruppen gibt, sodass es durch individuelle Bearbeitungszeiten nicht dazu kommt, dass keine Station frei ist. Jedes Kind bekommt zu Beginn das Schätz-Tagebuch ausgehändigt, welches ein Deckblatt (siehe Anhang S. 14) und den Stationslaufzettel (siehe Anhang S. 15) beinhaltet und nach und nach mit den Arbeitsblättern der Stationen befüllt wird. Bis auf einen Füller und einen Bleistift sind die SuS dazu angehalten, alle Materialien einzupacken, da verhindert werden soll, dass sie bspw. das Lineal als Hilfsmittel nutzen (vgl. 2.2 didaktische Aspekte). Maßbänder liegen am Lehrertisch bereit und können nach Bearbeitung der einzelnen Aufgaben zur „Kontrolle“ ausgeliehen werden.
Die Stationen 1 und 2 befassen mit den eigenen Körpermaßen und trainieren damit den Aufbau flexibel anwendbarer Stützpunktvorstellungen. Der bastelnde Zugang in Station 1 (siehe Anhang S. 15f) soll motivierend für die Bearbeitung der Thematik wirken. An der Station liegen die Bastelbögen und Scheren bereit. Das Wissen über das Falten eines „Hosentaschenbuches“ wird hier vorausgesetzt, da es erfahrungsgemäß in vielen Unterrichtsfächern immer wieder eingesetzt wird. Sollte es doch an dieser Stelle das erste Mal verwendet werden, kann die Lehrkraft der Station eine Bastelanleitung beilegen (siehe SOMMERLATTE/LUX/MEIERING/FÜHRLICH, 2009, S. 114, Online im Internet). Das selbstständige Ausmessen der Repräsentanten, in diesem Fall das Ausmessen der Körperteile, ist unabdingbar für den Aufbau stabiler Stützpunktvorstellungen und darf nicht vorweggenommen werden (SCHIPPER/EBELING/DRÖGE, 2015, S.202).
In Station 2 (siehe Anhang S. 17f) sollen Längen von selbst gewählten Gegenständen geschätzt werden und im Anschluss nachgemessen werden, da das Schätzen nicht getrennt vom Messen geübt werden sollte. Für die Lehrkraft ist es wichtig, darauf zu achten, dass das Maßband für Aufgabe 2 erst ausgehändigt wird, wenn die Spalte der Schätzwerte ausgefüllt ist (siehe 2.2 didaktische Anmerkungen). Dieser Vorgang trainiert die Strategie des indirekten mentalen Vergleichs (vgl. 2.1 Fachliche Darstellung). Im Anschluss sollen die SuS erst jeder für sich die Werte reflektieren und im Anschluss sollen sie gemeinsam Vor- und Nachteile von ungenauen Werten diskutieren. Dabei ist das Ziel, dass den Kindern zwar auffällt, dass die Schätzwerte von den Messwerten abweichen, sie jedoch trotzdem nicht in ihrer Richtigkeit abgewertet werden, da es Situationen im Alltag gibt, in denen diese geschätzten Werte zielführender sind als das genaue Nachmessen. Diese Erkenntnis ist für die Motivation zum Schätzen von großer Bedeutung (vgl. 2.2 Didaktische Anmerkungen).
In Station 3 (siehe Anhang S. 19f) sollen die SuS mithilfe eines sichtbaren Vergleichsobjektes die Größe eines anderen Objektes schätzen, wobei es sich in den Abbildungen um alltägliche Situationen handeln sollte (SCHIPPER/EBELING/DRÖGE, 2015, S.203). Damit wird die Strategie des direkten mentalen Vergleichs geübt (vgl. 2.1 Fachliche Darstellung). Außerdem zielt die Aufgabe auf den Aufbau von realistischen Größenvorstellungen ab.
In Station 4 (siehe Anhang S. 21) benötigen die SuS das Tafellineal als Hilfsmittel. Dieses dient gleichzeitig als einzuprägender Repräsentant für die Länge von einem Meter und kann sowohl in dieser Situation für den direkten mentalen Vergleich als auch in späteren Schätzsituationen für den indirekten mentalen Vergleich als Vergleichsgröße genutzt werden (vgl. 2.1 Fachliche Darstellung). Das Messen wird hier wieder integriert, da die SuS nach der Bearbeitung der Aufgabe 2 mit dem Maßband nachmessen können.
Die Station 5 (siehe Anhang S. 22) muss von der Lehrkraft insofern vorbereitet werden, dass 5 Behälter verschiedener Form und Größe mit Steckwürfeln gefüllt werden müssen. Jedes Gefäß bekommt einen Buchstaben von A bis E zugeteilt. Hier soll nicht, wie in den bisherigen Stationen, eine bestimmte Größe, sondern eine Anzahl geschätzt werden. Den Kindern sind die Steckwürfel als Material aus dem Unterricht vertraut, weshalb sie eine Größenvorstellung zu ihnen mental verankert haben. Dadurch kann hier eine weitere Schätzstrategie, nämlich das Nutzen von Strukturierungshilfen, trainiert werden (vgl. 2.1 Fachliche Darstellung). Die Struktur und Größe des Steckwürfels kann in Beziehung mit der Struktur und Größe des Gefäßes gesetzt werden; die SuS können Untereinheiten bilden und damit auf die Gesamtzahl der Steckwürfel schließen (z.B.: „Auf den Boden des Kartons passen ungefähr xy Steckwürfel. Es passen ungefähr xy solcher Schichten in dem Gefäß übereinander...") (vgl. Schipper, 2009, S. 175). Diese individuellen gedanklichen Prozesse sollen von den SuS jeweils in Aufgabe 2 als Ergebnissicherung festgehalten werden.
Station 6 (siehe Anhang S. 23-25) bietet einen spielerischen Zugang zur Festigung von Stützpunktvorstellungen (vgl. 2.2 Didaktische Aspekte). Die Kärtchen für das Memory können entweder schon vorab von der Lehrkraft zugeschnitten und zu Stapeln geheftet werden (Vorlage siehe Anhang S. 25), oder notfalls auch von den Kindern, wenn sie die Station bearbeiten. Um die verinnerlichten Repräsentanten des Größenbereichs Längen (für die Einheiten Meter, Zentimeter und Millimeter) auch langfristig festzuhalten, sollen die SuS die gefundenen paare im Anschluss an das Spiel in ihr Schätz-Tagebuch auf das dafür vorgesehene Arbeitsblatt kleben (siehe Anhang S. 26).
In Station 7 (siehe Anhang S. 26f) soll erneut eine Anzahl geschätzt werden, in diesem Fall die Zahl der Wallnüsse in diesem Glas. Hier soll die Strategie der Nutzung von Strukturierungshilfen geübt werden (siehe Ausführungen zu Station 5).
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