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Beweis zum Feuerbachkreis im Dreieck mit elementaren Eigenschaften

Besondere Punkte eines Dreiecks

Seminararbeit 2010 18 Seiten

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Definition Feuerbachkreis

Satz 1 (6 besondere Punkte liegen auf dem Feuerbachkreis)

Satz 2 (Die Höhenfußpunkte liegen auf dem Feuerbachkreis)

Satz 3 (Der Feuerbachkreis berührt Inkreis und die drei Ankreise des Dreiecks Δ ABC)

Anhang
Lemma 1.0 (Strahlensätze)
Lemma 1.1 (Satz des Thales)
Lemma 1.3 (Eigenschaften der Winkelhalbierenden)
Lemma 1.4 (Winkelhalbierende 2. Teil)
Lemma 1.5 (Mittendreieck)
Lemma 1.7 (Tangenten an den Kreis)
Eigenschaften der Kreisinversion

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Umkreis des Mittendreiecks A'B'C'

Abbildung 2: Vierecke PaPbB'A' und PbPcB'C'

Abbildung 3: Strahlensatzfigur mit Zentrum in H

Abbildung 4: Strahlensatzfigur mit Zentrum in A

Abbildung 5: Strahlensatzfigur mit Zentrum in B

Abbildung 6: Viereck PaPbA'B'

Abbildung 7: Strahlensatzfigur mit Zentrum in C

Abbildung 8: Strahlensatzfigur mit Zentrum in B

Abbildung 9: Gemeinsame Diagonale PbB'

Abbildung 10: Höhenfußpunkte

Abbildung 11: Höhenfußpunkte auf dem Thaleskreis (Feuerbachkreis)

Abbildung 12: Konstruktionsschaubild

Abbildung 13: Kreis w mit Durchmesser XXa

Abbildung 14: Gleiche Tangentenabschnitte

Abbildung 15: Fortsetzung der Tangentenabschnitte

Abbildung 16: Strecke BX = CXa

Abbildung 17: Durchmesser von Kreis w

Abbildung 18: Halbe Differenz SA'

Abbildung 19: Spiegelung von Dreieck ASC an der Winkelhalbierenden wa

Abbildung 20: Strahlensatzfigur

Abbildung 21: Strahlensatzfigur 2

Abbildung 22: B'' und C'' sind Bildpunkte von B' und C' bei Inversion an Kreis w

Der Feuerbachkreis

Definition Feuerbachkreis:

Der Feuerbachkreis ist der Umkreis des Mittendreiecks АА'В'С' eines Dreiecks ААВС.

Wir werden uns im folgenden stets auf das Dreieck Δ ABC beziehen.

Satz 1

Die Mittelpunkte PaPbPc der Strecken HA, HB und HC, wobei H der Höhenschnittpunkt des Dreiecks AABC ist, liegen ebenfalls auf dem Feuerbachkreis.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Umkreis des Mittendreiecks A'B'C'

Beweis:

Gegeben ist das Dreieck mit den Punkten A',B' und C' als Mittelpunkte der Strecken ВС, AC und AB. Der Höhenschnittpunkt ist H und die Punkte PaPbPc sind als die Mittelpunkte der Strecken HA, HB und definiert.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: Vierecke PaPbB'A' und PbPcB'C'

Man betrachte die beiden Vierecke □ PaPbA'B' und □ PbPcB'C'.

Bemerkung:

Das Ziel ist es zu zeigen, dass beide Vierecke Rechtecke sind, denn dadurch dass in beiden Vierecken die Diagonale vorhanden ist, würden sie folglich einen gemeinsamen Umkreis

besitzen, der durch A',B' und C' geht und somit der Feuerbachkreis wäre. Dann würden die Punkte Pa, Pb, Pc auch auf diesem Kreis liegen und man wäre fertig.

Für das Viereck □ PaPbA'B' gilt:

Die Seite ist parallel zur Seite AB aufgrund der Parallelität der Seiten des Mittendreiecks AA'B'C' zum Ausgangsdreieck AABC (Lemma 1.5)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3: Strahlensatzfigur mit Zentrum in H

Unter Verwendung des ersten Strahlensatzes (Lemma 1.0) mit Zentrum in H folgt, dass die Geraden PaPb und AB bzw. PaPb und AB parallel zueinander sind. Aufgrund dessen das „Parallelität“ eine Äquivalenzrelation ist, ergibt sich dass wenn A’B‘ || AB und PaPb || AB auch A'B‘ || PaPb ist.

Bisher haben wir zwei parallele Seiten eines Vierecks, also ein Trapez.

Für die anderen beiden Seiten des Vierecks gilt:

AC : AB’ = 2:1 , nach Wahl von B‘ als Mittelpunkt der StreckeAC AH : APa = 2:1 , nach Wahl von Pa als Mittelpunkt der Strecke AH

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 4: Strahlensatzfigur mit Zentrum in A

ВС \BA' = 2:1, nach Wahl von A‘ als Mittelpunkt der StreckqBC BH .BPb = 2:1 , nach Wahl von Pb als Mittelpunkt der Strecke HB

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 5: Strahlensatzfigur mit Zentrum in B

Unter Verwendung der Umkehrung des ersten Strahlensatzes mit Zentrum in B sind die Geraden PaB‘ und HC bzw. nach Lemma 1.0 mit Zentrum in H sind die Geraden PbA‘ und HC parallel zueinander. Damit folgt dass PaB‘ || PbA‘ bzw.Paß' || PbA‘

Wir haben zwei Paar parallele Seiten eines Vierecks, also ein Parallelogramm, da beide Seiten und PbA‘ parallel zur Gerade HC sind und diese die Höhe des Dreiecks AABC senkrecht zu AB und damit auch zu A’B‘ ist, folgt dass auch beide SeitenPaß' und PbA‘ senkrecht zu den Seiten A’B' bzw. PaPb sind. Damit ergeben sich vier 90° Winkel in dem Viereck □ PaPbA'B' also ist es ein Rechteck.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 6: Viereck PaPbA’B’

Für das Viereck □ PbPcB'C' wird dies analog gezeigt:

Die Mittendreiecksseite ist parallel zur Dreiecksseite . (Lemma 1.5) Weiterhin gilt:

= 2:1 , aufgrund der Wahl von Pb als Mittelpunkt der Strecke HC: BPc = 2:1 , aufgrund der Wahl von Pc als Mittelpunkt der Strecke HC

Nach Anwendung der Umkehrung des ersten Strahlensatzes mit Zentrum in H folgt, dass die Gerade PbPc parallel zur Geraden BC bzw. die Dreiecksseiten PbPc || BC. Es folgt, dass auch B'C Parallel zu PbPc ist.

Weiterhin gilt:

CA: CB' = 2:1, aufgrund der Wahl von A‘ als Mittelpunkt der StreckeAC CH: CPc = 2:1 , aufgrund der Wahl von Pc als Mittelpunkt der Strecke HC

[...]

Details

Seiten
18
Jahr
2010
ISBN (eBook)
9783640621309
ISBN (Buch)
9783640621705
DOI
10.3239/9783640621309
Dateigröße
963 KB
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v150736
Institution / Hochschule
Justus-Liebig-Universität Gießen – Mathematisches Institut
Note
Schlagworte
Feuerbachkreis Dreieck Geometrie Neunpunktekreis Dreiecksgeometrie Kreis im Dreieck Eulerkreis Feuerbachkreis beweis

Autor

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Titel: Beweis zum Feuerbachkreis im Dreieck mit elementaren Eigenschaften