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Rauschanalyse von Gravity-Daten der Mars-Express Mission

Diplomarbeit 2009 97 Seiten

Ingenieurwissenschaften - Luft- und Raumfahrttechnik

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Symbolverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

1 Einleitung
1.1 Die Mission Mars Express
1.2 Motivation und Aufgabenstellung

2 Radio-Science Messungen
2.1 Messtechnik
2.2 Gravity-Messungen mit Radio Science

3 Rauschen und periodische Vorgange
3.1 Definition und Ursache von Rauschen
3.2 Periodische Vorgange

4 Fast Fourier Transformation und Powerspektrum
4.1 Periodische Funktionen
4.2 Nichtperiodische Vorgänge
4.3 Theorie zu DFT/FFT, Zero-Padding und MATLAB
4.4 Beispielanwendung der Fast Fourier Transformation
4.4.1 Sinus-Signale
4.4.2 Sinus-Signale mit Rauschen uberlagert
4.4.3 Spektralanalyse in Abhängigkeit vom Signal-Rausch-Verhältnis

5 Kovarianzfunktionen
5.1 Stochastische Prozesse
5.2 Autokovarianzfunktion
5.3 Kreuzkovarianzfunktion
5.4 Anwendung in MATLAB
5.5 Beispielanwendung der Kovarianzfunktionen
5.5.1 Rauschen
5.5.2 Sinus-Signale
5.5.3 Sinus-Signale mit Rauschen uberlagert

6 Auswertung der Daten
6.1 Auswertung der FFT und des Powerspektrums
6.2 Auswertung der Autokovarianzfunktion
6.3 Auswertung der Kreuzkovarianzfunktion

7 Zusammenfassung und Ausblick

Literaturverzeichnis

A MATLAB-Skripte

A.1 Skript zum Testen der Fast Fourier Transformation

A.2 Skript zur Berechnung des Signal-Rausch-Verhältnis

A.3 Skript zum Test der Autokovarianzfunktion

A.4 Skript zum Test der Kreuzkovarianzfunktion

A.5 Skript zur Berechnung der FFT / Leistungsdichtespektrum der Gravity- Daten

A.6 Skript zur Berechnung der Autokovarianzfunktion der Gravity-Daten

A.7 Skript zur Berechnung der Kreuzkovarianzfunktion der Gravity-Daten

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildungsverzeichnis

1 Vorbeiflug von Mars-Express an Phobos

2 Bodenstation der ESA in New Norcia

3 Leistungsdichte für weißes Rauschen

4 Amplitudenverteilung von Gaußschem Rauschen

5 Leistungsdichte fur rosa Rauschen

6 Die urspriingliche Periode T

7 Die fur das „Zero-Padding” benötigte Periode T'

8 Zeitverlauf eines Testsignals mit 50 Hz und 120 Hz-Komponenten

9 Fast Fourier Transformation eines Testsignals mit 50 Hz und 120 Hz- Komponenten

10 Fast Fourier Transformation mit Zero-Padding” eines Testsignals mit

50 Hz und 120 Hz-Komponenten

11 Zeitverlauf einer generierten pseudorandom Sequenz

12 Fast Fourier Transformation einer generierten pseudorandom Sequenz . .

13 Leistungsdichtespektrum einer generierten pseudorandom Sequenz

14 Zeitverlauf einesTestsignals mit 50 Hz und 120 Hz-Komponenten

15 Fast Fourier Transformation eines verrauschten Testsignals mit 50 Hz und 120 Hz-Komponenten

16 Fast Fourier Transformation mit „Zero-Padding” eines verrauschten Test­signals mit 50 Hz und 120 Hz-Komponenten

17 Leistungsdichtespektrum eines verrauschten Testsignals mit 50 Hz und 120 Hz-Komponenten

18 Leistungsdichtespektrum eines verrauschtenTestsignals mit 120 Hz-Komponente und einem SNR0 = —3 dBHz

19 Leistungsdichtespektrum eines verrauschten Testsignals mit 120 Hz-Komponente und einem SNR0 = 9 dBHz

20 Leistungsdichtespektrum eines verrauschten Testsignals mit 120 Hz-Komponente und einem SNR0 = 21 dBHz

21 Zeitverlauf eines verrauschten Testsignals mit 120 Hz-Komponente und einem SNR0 = 21 dBHz

22 Mögliche Verwirklichungen eines stochastischen Prozesses (Zeit-Reihen) .

23 Autokovarianzfunktion einer generierten pseudorandom Sequenz

24 Ausschnitt der Autokovarianzfunktion einer generierten pseudorandom Sequenz

25 Autokovarianzfunktion einer generierten pseudorandom Sequenz, gefiltert

26 Ausschnitt der Autokovarianzfunktion einer generierten pseudorandom Sequenz, gefiltert

27 Kreuzkovarianzfunktion zweier generierter pseudorandom Sequenzen . . .

28 Autokovarianzfunktion eines Testsignals mit 20Hz-Komponente

29 Ausschnitt der Autokovarianzfunktion eines Testsignals mit 20Hz-Komponente

30 Kreuzkovarianzfunktion zweier Testsignale mit 20 Hz und 40 Hz-Komponenten

31 Ausschnitt der Kreuzkovarianzfunktion zweier Testsignale mit 20 Hz und 40 Hz-Komponenten

32 Kreuzkovarianzfunktion zweier Testsignale mit 50 Hz und 120 Hz-Komponenten

33 Zeitverlauf eines verrauschten Testsignals mit 20 Hz-Komponente . . . .

34 Leistungsdichtespektrum eines verrauschten Testsignals mit 20 Äz-Komponente

35 Autokovarianzfunktion eines verrauschten Testsignals mit 20 Äz-Komponente

36 Ausschnitt der Autokovarianzfunktion eines verrauschten Testsignals mit 20 Äz-Komponente

37 Autokovarianzfunktion eines verrauschten Testsignals mit 20 Äz-Komponente, gefiltert

38 Ausschnitt der Autokovarianzfunktion eines verrauschten Testsignals mit 20 Äz-Komponente, gefiltert

39 Kreuzkovarianzfunktion zweier verrauschter Testsignale mit 20 Äz und 40 Äz-Komponenten

40 Ausschnitt der Kreuzkovarianzfunktion zweier verrauschter Testsignale mit 20 Äz und 40 Äz-Komponenten

41 Kreuzkovarianzfunktion zweier verrauschter Testsignale mit 50 Äz und 120 Äz-Komponenten

42 Darstellung des ersten Datensatzes

43 Darstellung des zweiten Datensatzes

44 Fast Fourier Transformation der Gravity-Daten des ersten Datensatzes

45 Fast Fourier Transformation der Gravity-Daten des zweiten Datensatzes

46 Powerspektrum der Gravity-Daten des ersten Datensatzes

47 Powerspektrum der Gravity-Daten des zweiten Datensatzes

48 Autokovarianz des ersten Datensatzes

49 Ausschnitt der Autokovarianz des ersten Datensatzes

50 Autokovarianz des ersten Datensatzes, gefiltert

51 Autokovarianz des zweiten Datensatzes

52 Ausschnitt der Autokovarianz des zweiten Datensatzes

53 Autokovarianz des zweiten Datensatzes, gefiltert

54 Kreuzkovarianz des ersten und zweiten Datensatzes

55 Der Vulkankrater Caldera des Olympus Mons

56 Darstellung des ersten Datensatzes des Überflugs von Olympus Mons

57 Darstellung des zweiten Datensatzes des Überflugs von Olympus Mons

58 Darstellung des dritten Datensatzes des Überflugs von Olympus Mons

59 Darstellung des vierten Datensatzes des Überflugs von Olympus Mons

60 Kreuzkovarianz des ersten und zweiten Datensatzes

61 Kreuzkovarianz des ersten und dritten Datensatzes

62 Kreuzkovarianz des ersten und vierten Datensatzes

63 Kreuzkovarianz des zweiten und dritten Datensatzes

64 Kreuzkovarianz des zweiten und vierten Datensatzes

65 Kreuzkovarianz des dritten und vierten Datensatzes

1 Einleitung

1.1 Die Mission Mars Express

Seit dem Jahr 2003 liefert die Raumsonde Mars-Express wertvolle Daten zur Erforschung des Mars und seiner Monde. Mars-Express fliegt in einer polaren, elliptischen Umlauf­bahn um den Planeten Mars und absolviert unter anderem Vorbeifluge am Marsmond Phobos (siehe Abb. 1). Bei diesen Vorbeiflügen werden Schwerefeldmessungen durch­geführt, die zur Ermittlung der Masse von Phobos beitragen sollen.

Von der Raumsonde werden Signale an die Bodenstationen gesendet. Die Veründerungen dieser Signale werden ausgewertet, sodass man auf den Einfluss des Himmelskürpers auf die Raumsonde schließen kann. Eine Vorhersage der erwarteten Veränderungen ist durch physikalische Modelle hergeleitet. Das beobachtete Signal kann Abweichungen von der Vorhersage des verwendeten Modells enthalten. In diesen Abweichungen sind neue Infor­mationen enthalten, die es ermoüglichen das Modell zu verbessern. Die zu untersuchenden Daten bestehen aus dem empfangenen Signal nach dem Abziehen der Vorhersage. Diese werden im Folgenden „Residuen” genannt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Vorbeiflug von Mars-Express an Phobos. (Aus [ESA(2008)])

An der Bodenstation entsteht beim Empfänger thermisches Rauschen, das durch elek­trische Schaltungen verursacht wird. Dieses unerwünschte Stärsignal äberlagert sich mit dem ankommendem Signal, sodass die Information aus dem Rauschen gewonnen wer­den muss. Als Maß fur die Qualität des Signals gilt das Signal-Rausch-Verhaltnis (SNR, Signal-to-Noise-Ratio). Es ist definiert als Verhaltnis zwischen der Signalleistung und der Rauschleistung. Je häher der Wert des SNR ist, desto geringer ist der Einfluss des Rauschens auf die Messung. Das bedeutet, dass der prozentuale Fehler in dem Wert der ermittelten physikalischen Gräße kleiner wird.

1.2 Motivation und Aufgabenstellung

Zur Verbesserung des Signal- zu Rauschverhältnis wurde zunächst auf die Filtertheorie zuriickgegriffen. In der Verarbeitung von analogen Signalen bestehen Filter aus passiven, sowie auch aus aktiven Bauteilen. Wenn die Bandbreitenbelegung des Eingangssignals begrenzt ist, reduzieren Filter das Rauschen ohne das Signal zu beeinträchtigen. In der Digitalverarbeitung ist es moäglich denselben Effekt durch Berechnungen zu erreichen. Diese Technik ist bekannt als „Numerical Filtering“. Die Verbesserung des Signal- zu Rauschverhäaltnis mit verschiedenen numerischen Filterverfahren wurde untersucht und geeignete Filter wurden bestimmt. Dies führte dazu, dass der Fehler bei der Massenbe­stimmung von Phobos um den Faktor 2-3 reduziert werden konnte. (Siehe [Stiffel(2008)])

Um die Genauigkeit der Ergebnisse zu erhähen, werden in dieser Arbeit die Residuen weiter untersucht, um inhaärente Eigenschaften zu identifizieren, die eine noch wirkungs­vollere Verarbeitung ermoäglichen. Ziel der Analyse ist es, nuätzliche Information, die eventuell noch im Residuum enthalten ist, aus dem Hintergrundrauschen zu gewinnen. Dies fuährt zum einen zu einer Verbesserung des ausgewaählten Modells und zum anderen zu einer Optimierung des Filterverfahrens.

Die Analysen, die im weiteren Verlauf durchgefuährt werden, bedienen sich klassischen Techniken der Statistik und der Signalverarbeitung. Angewendet werden sowohl die Fast Fourier Transformation (FFT) zur Berechnung des Powerspektrums, als auch die Autokovarianz- (AKV-) und Kreuzkovarianzfunktion (KKV-Funktion), sowie die spek­trale Leistungsdichte.

Diese Studie soll zur Entwicklung eines Tools zur Analyse des Rauschens von Gravity- Daten beitragen, welches unter anderem Anwendung und Erweiterung von vorhandenen Filtern zur Verminderung des Rauschens ermöglicht.

2 Radio-Science Messungen

2.1 Messtechnik

Die Schwerefeldmessungen finden mit Hilfe der Radio-Science Technik statt. Die Ra­diosignale, die zur Kommunikation zwischen den Bodenstationen auf der Erde und der Raumsonde verwendet werden, können auch für wissenschaftliche Studien, bzw. Expe­rimente, genutzt werden. In diesem Fall wird das reine Trägersignal ohne modulierende Kommunikationssignale benutzt. Das Radio-Trägersignal wird von der Raumsonde aus­gesendet und breitet sich im interplanetaren Raum aus. Durch die Ausbreitung durch neutrale Medien, wie zum Beispiel Planetenatmosphören, und ionisierten Medien, wie zum Beispiel Ionosphören, Sonnenwind und Sonnenkorona, sowie durch Reflexion an Planetenoberflöchen entstehen Änderungen der Signalparameter. Bei der Radio-Science wird das Radio-Trägersignal auf kleine Änderungen in Frequenz (Phase), Amplitude und Polarisation untersucht. Die wissenschaftlichen Anwendungsbiete der Radio-Science Technik sind Schwerefelder der Planeten, Monde, Asteroiden und Kometen, Neutralat- mosphören, Ionosphören, Sonnenkorona, Oberflachen (Bistatisches Radar), Planetenrin­ge, Gravitationswellen und Kometenkoma (Staub und Gas).

Fur einen optimalen Signalempfang sind die Bodenstationen von großer Bedeutung. Zum Empfang der wissenschaftlichen Daten und Aussendung der Kommandos zur Tele­kommunikation der Raumsonden werden die NASA-Antennenkomplexe des Deep Space Network (DSN) und die neuen Antennen der ESA in Perth, Australien, sowie in Ceberos, Spanien, genutzt. Danach können diese Daten weiter prozessiert werden.

Die empfangenen Signale, die von der Raumsonde ausgesendet wurden, weisen nur geringe Leistungen auf. Dies liegt daran, dass die verfügbare Sendeleistung der Raum­sonde aus technischen und finanziellen Granden sehr begrenzt ist und gleichzeitig sich der Raumflugkorper viele hundert Millionen Kilometer von der Erde entfernt befindet. Die Leistung verteilt sich auf kugelförmigen Flachen, das heißt, dass sie umgekehrt pro­portional zum Quadrat der Entfernung ist. Daraus resultiert, dass die Bodenstationen mit riesigen Satellitenschuösseln ausgestattet sein muössen. Dadurch kann die Fangflaöche der Antenne mehr der einfallenden Leistung des Radiosignals aufnehmen und es koönnen kaum wahrnehmbare Signale aus dem thermischen Hintergrundrauschen herausgepickt werden. Zudem wird hierbei auf die Minimierung des Eigenrauschens geachtet und die Empfangssysteme auf 30K, etwa — 243°G, abgeköhlt.

Eine besonders hohe Praözision ist bei der Bewegung der Antenne gefragt, damit die Daten uber löngere Zeit gesendet und empfangen werden können. Der sogenannte „Tracking Error”, der bei der Nachfuhrung der Antenne entsteht, darf in Abhangigkeit von der Sendefrequenz nur wenige Tausendstel bis Hundertstel Grad betragen.

Die neuen Antennen der ESA in Perth, Autralien, 35 m (siehe Abb. 2), und in Ceberos, Spanien, 35 m, und auch das Deep Space Network (DSN) der NASA, 34 m und 70 m, mit den Antennenkomplexen in Kalifornien, Spanien und Australien, gehoören zu den Bodenstationen, die als Bestandteil des sogenannten „Groundsegment”, den Betrieb einer Weltraummission wie Mars-Express ermoglichen. Die Komplexe des DSN sind so angeordnet, dass sie jeweils etwa 120 Löngengrade voneinander entfernt sind. Dadurch ist gewöhrleistet, dass trotz der Erdrotation zu jeder beliebigen Raumsonde permanent Kontakt gehalten werden kann.

Die Informationen, die aus den Messungen bei den Bodenstationen empfangen werden, sind Amplitude, Frequenz und Polarisation des Radiosignals und werden als Funktion der Zeit an der Bodenstation gespeichert. Durch Verarbeitung und Auswertung dieser Daten können Aussagen uber die untersuchten physikalischen Großen, (in diesem Fall die Masse des Mars Mondes Phobos) getroffen werden. (Aus [Radio Science Uni Kö'ln(2008)])

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: Bodenstation der ESA in New Norcia (bei Perth, Australien, 35 m Durch­messer. (Aus [Radio Science Uni Köln(2008)])

2.2 Gravity-Messungen mit Radio Science

Die Gravitationskröfte der Himmelskörper fuhren Bahnanderungen und somit auch Ge­schwindigkeitsanderungen der Raumsonde herbei. Dies wirkt sich auf die Frequenz des Trögersignals aus. Die Messungen werden im so genannten „Two-Way-Mode” durch- geföhrt. Hierbei handelt es sich um ein Phasenkohörentes Verfahren: Das von der Bo­denstation Up-Link Trögersignal wird nach dem Empfang in der Raumsonde wieder als Down-Link zuriickgesendet. Damit es nicht zu Interferenzen zwischen dem Up-Link und dem Down-Link Signalen kommt, wird die Frequenz des empfangenen Up-Link Signals um einen festen Faktor versetzt. Somit funktioniert die Raumsonde einfach als „Spiegel” und das Signal kann wieder auf der Erde empfangen und ausgewertet werden.

Da das Radio-Signal an der Bodenstation von einem H2-Maser Oszillator gesteuert wird, ist es sehr stabil (A/// ~ 10_15) und ermoglicht somit sehr genaue Messungen der Geschwindigkeit und Entfernung des Satelliten entlang der Sichtlinie zwischen der Bo­denstation und dem Satelliten selbst, sodass die Bahnönderungen mit der erforderlichen Genauigkeit untersucht werden koönnen.

Die Frequenzvorhersagen basieren auf komplexen Modellen, die neben dem Gravi­tationsfeld der Himmelskoörper auch den klassischen Dopplereffekt, sowie die Effekte der Ausbreitung der elektromagnetischen Wellen in der planetarischen Atmosphaöre mit berücksichtigen. Für jede Messung wird eine Vorhersage berechnet und dann von den gemessenen Daten abgezogen. Das daraus resultierende Residuum wird untersucht. Es wird dabei gepröft, ob noch Restinformation vorhanden ist. Dadurch kann man neue Information gewinnen und somit das Modell verbessern.

3 Rauschen und periodische Vorgänge

3.1 Definition und Ursache von Rauschen

Rauschen ist praktisch allgegenwärtig. Es tritt in unterschiedlichen Formen auf. In der Natur kann man das Rauschen eines Wasserfalls hören. Dies entsteht durch das Aufeinanderprallen vieler Tröpfchen. Die jeweiligen Schallwellen dieser Zusammenstöße öberlagern sich und sind als Rauschen hörbar. Auch in der Elektronik taucht Rau­schen auf. Bekannt sind das Rauschen im Lautsprecher der Stereoanlagen oder bei Bildubertragungen mittels Satelliten aus dem Weltraum. Allgemein kann man sagen, dass Rauschen auftritt, wenn man durch immer höhere Verstörkung beliebig kleine Si­gnale messbar, horbar oder sichtbar machen möchte. Da verschiedene Arten von Rau­schen existieren, werden im Folgenden einige Arten vorgestellt.

Zunöchst gibt es das Thermische Rauschen, das auch das Johnson- oder Nyquist- Rauschen genannt wird. Dieses Rauschen entsteht aufgrund der Brownschen Bewegung der Ladungströager in elektrischen Schaltkreisen. Dies aöußert sich besonders bei ohm­schen Widerstöanden. Im stromlosen Zustand ist eine Leerlauf-Rauschspannung an den Enden der Widerstönde messbar. Wenn die Enden kurzgeschlossen werden, fließt ein Kurzschluss-Rauschstrom. Diese Werte sind von der Temperatur abhöngig und bilden einen stochastischen Prozess (Stochastische Prozesse werden in Kapitel 5 beschrieben). Die Varianz der Rauschspannung berechnet sich wie folgt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die Boltzmann-Konstante, T die Temperatur in [K], B die Messbandbreite in [Hz] und R der Widerstand in [Q] sind. Daraus ist zu erkennen, dass bei 0K keine thermische Bewegung stattfindet und dadurch ein rauschfreier Wider­stand entsteht. Je hoöher die Temperatur ist, desto hoöher ist das Thermische Rauschen.

Eine andere Art des Rauschens ist das Schrotrauschen. Dies tritt nur auf, wenn Strom fließt und dieser eine Potentialschwelle uberwinden muss. Hierbei müssen die Ladungströger eigene kinetische Energie nutzen, die keine deterministische Große ist, sondern durch eine statistische Verteilung charakterisiert ist. Daraus ergibt sich eine geringe Schwankung der Flussdichte um einen Mittelwert. Beim Schrotrauschen höngt die Größe des Rauschens von der Größe des fließenden Stromes ab. Eine direkte Tempe- raturabhaöngigkeit wie beim Thermischen Rauschen ist nicht erkennbar. Das Auftreten von Schrotrauschen ist typisch bei Sperrstromen bei Dioden und Transistoren, Bias­und Gateleckstroömen, Photostrom und Dunkelstrom bei Photodioden und Vakuum­Photozellen, sowie bei Anodenstrom von Hochvakuum-Röohren.

Das Funkelrauschen ist eine weitere Form des elektronischen Rauschens und tritt be­vorzugt in tieferen Frequenzbereichen auf. Es entsteht bei Elektronenroöhren, wenn durch spontane Umkristallisationen langsame verönderliche Emissionen einzelner Gebiete der geheizten Kathode stattfinden. Die emittierten Elektronen funkeln an der Oberflöche der Kathode.

Als einen idealisierten regellosen Vorgang (zufalliger Prozess) definiert man das „weiße Rauschen”. Charakteristisch för dieses Rauschen ist, dass die spektrale Leistungsdichte konstant uber das gesamte Frequenzspektrum ist: Im weißen Rauschen sind alle Fre­quenzen enthalten. Aus diesem Grund ist der Name entstanden, da die Summe aller Wellenlängen im sichtbaren Bereich vom menschlichen Augen als weiße Farbe wahrge­nommen wird. Eine weitere wichtige Eigenschaft, über die das weiße Rauschen definiert wird, ist die „Stationarität”: Ein Prozess wird als stationar definiert, wenn seine sta­tistischen Parameter konstant über der Zeit bleiben (Für eine genauere Definition zu Stationarität siehe Kapitel 5).

In der Realitat kann kein derartiger Prozess existieren, da jedes physikalische System nur äber eine beschrankte Bandbreite verfugt. Demzufolge wird der Begriff in der Pra­xis eher zur Kennzeichnung von stationären Zufallsprozessen verwendet, die in einem beschränkten Frequenzbereich eine konstante Leistungsdichte aufweisen (siehe Abb. 3). Statistisch weist das weiße Rauschen eine Gaußsche Verteilung, auch „Normalverteilung” genannt, der Amplitudenwerte auf (siehe Abb. 4).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3: Leistungsdichte für weißes Rauschen. (Aus [HAMEG Instruments(2005)])

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 4: Amplitudenverteilung von Gaußschem Rauschen. (Aus [HAMEG Instruments(2005)])

Zusätzlich zum weißen Rauschen, zu dem das Thermische Rauschen und das Schro­trauschen gehären, existieren noch das so genannte „Rosa Rauschen” und das „Rote Rauschen”. Das rosa Rauschen ist im Bereich der Akustik nuätzlich, da das Rauschsignal die gleiche Leistung nicht im absoluten Frequenzintervall, das in Hz angegeben wird, enthält, sondern pro relativem Frequenzintervall, wie einer Oktave oder Terz. Es wird daher auch 1/f-Rauschen genannt. Beim roten Rauschen nimmt der Amplitudenverlauf umgekehrt proportional zum Quadrat der Frequenz ab, sodass dieses Rauschen auch als 1/f2-Rauschen bezeichnet wird. (siehe [HAMEG Instruments(2005)])

Wesentlich häufiger kommen Prozesse in der Natur vor, bei denen die Leistungsdich­te im Bereich niedriger Frequenzen am gräßten ist und nach häheren Frequenzen hin gleichmäßig abnimmt. Dies entspricht dem beschriebenem roten Rauschen. Da viele regellose Vorgange in der Natur kein rotes Spektrum mit monoton nach häheren Fre­quenzen abfallender Leistung besitzen, sondern in gewissen Bandbereichen dominierende Amplituden haben, spricht man auch von farbigen Rauschen (siehe Abb. 5).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 5: Leistungsdichte für rosa Rauschen (beide Skalen logarithmisch). (Aus [HAMEG Instruments(2005)])

3.2 Periodische Vorgänge

Da es bei manchen stochastischen Prozessen einen Zusammenhang gibt zwischen dem Zeitablauf des Signals und dessen statistischen Eigenschaften, ist es mäglich die zeitliche Korrelationsfunktion als statistische Korrelation zu interpretieren. Es handelt sich dabei um besondere Prozesse, unter denen auch das weiße Rauschen zahlt, die der Eigenschaft der „Ergodizitat” besitzen. (In dieser Arbeit wird nicht auf die Therorie der ergodischen Prozesse eingegangen; fur eine Betrachtung des Themas sei auf Fachliteratur hingewie­sen.)

Da die Fourier Transformation der Spektralleistungsdichte laut dem Wiener-Kintchine Theorem” gleich die Zeitkorrelation ist, kann man aufgrund der o.g. Ergodizität zeigen, dass die einzelnen Werte der Rauschamplitude keinen Zusammenhang mit den vorheri­gen Werten zeigen, unabhaängig davon wie kurz das Zeitintervall zwischen den Samples ist (Korrelation = 0). Daraus ergibt sich, dass idealerweise kein periodisches Rauschen an sich existiert. In der Tat erlaubt die Begrenzung der Bandbreite der mit hineingezo­genen Systemen keine unendliche Signalgeschwindigkeit. Das heißt, dass die einzelnen Rauschen-Samples einen gewissen Korrelationsgrad aufweisen. Trotzdem kann man in der folgenden Analyse des Rauschen als nicht periodisch (unkorreliert) betrachten, da die gesuchte Information einen hoäheren Korrelationsgrad aufweist.

Demzufolge nimmt man an, dass periodische Vorgange, die eventuell in den Residu­en auftauchen, die Anwesenheit von nuätzlicher Information verraten. Zu diesem Zweck wird eine Spektralanalyse der Residuen durchgeführt: Sollten sich im Powerspektrum ei­nige Frequenzen deutlich vom Hintergrundrauschen abheben, ist anzunehmen, dass sich periodische Vorgänge dahinter verbergen. Diese gilt es zu selektieren und in die Mo­dellfunktionen einzurechnen, damit so viel wie möglich vom Signal aus den gemessenen Daten genommen werden kann. Eine andere Mäglichkeit, die sich anbietet, ist, dass man die Information äber die erkannten Frequenzen nutzen kann, um optimal abgestimmte Filter zu berechnen. Die somit hergestellten numerischen Filter kann man auf die Resi­duen anwenden, um das Signal deutlicher aus dem Hintergrundrauschen auftauchen zu lassen.

4 Fast Fourier Transformation und Powerspektrum

4.1 Periodische Funktionen

Periodische Funktionen können mit Hilfe der Fourierreihe entwickelt werden. Dabei wird die periodische Funktion in Sinus- und Cosinus-Anteile zerlegt und aufsummiert. Um die entsprechende Funktion als Fourierreihe darstellen zu können, mussen bestimmte Voraussetzungen gelten. Die periodische Funktion x(t) ist eindeutig und besitzt die un- abhöngige Variable t mit der Periode T. Zudem genugt sie den Dirichletschen Bedingun­gen. Das bedeutet, x(t) besitzt höchstens endlich viele Diskontinuitöten, Maxima und Minima in einem endlichen Intervall. Die letzte Voraussetzung ist die Beschränktheit der Funktion Nun kann x(t) in Form der Fourierreihe dargestellt werden. Aufgrund der vorherigen Bedingungen konvergiert diese Reihe. Wo x(t) stetig ist, nimmt die Reihe auch den Wert x(t) an. In den Unstetigkeitsstellen wird das Mittel des rechts- und linksseitigen Grenzwertes der Funktionen an diesen Unstetigkeitsstellen angenommen.

Die Fourierkoeffizienten sind die Konstanten an und bn und sind aus x(t) bestimmbar. Die Gleichung 3 wird auf beiden Seiten mit cos (2nf0mt) bzw. sin (2nf0mt) multipliziert. Durch die Integration bezuglich t von 0 bis T erhölt man für die Fourierkoeffizienten die Ausdrücke

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Es ist allerdings vorteilhafter x(t) in komplexer Fourierreihen-Darstellung anzugeben, da es mathematisch besser gehandhabt werden kann.

Unter Anwendung von

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

lasst sich die Gleichung 3 in folgender Form darstellen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

folgt für den letzten Term der Gleichung 6

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Damit ergibt sich für die periodische Funktion

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch Einsetzten der Beziehungen aus 4 in die Gleichung 10, erhalt man

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Damit kann eine gegebene periodische Funktion x(t), die den Dirichletschen Bedin­gungen genugt, im Intervall von 0 bis T durch die Fourierreihe 9 mit den komplexen Fourierkoeffizienten 10 dargestellt werden. Die periodische Funktion x(t) wird mit Hilfe von Gleichung 11 und der Multiplikation von x(t) mit e—i2nnfot und Bildung des Mittel­wertes dieses Produkts über der Periode T in ihre spektralen Anteile zerlegt. Es entsteht ein diskretes Linienspektrum, da n nur ganzzahlige Werte annehmen kann. Dieses Spek­trum stellt die Zerlegung von x(t) mit der Grundfrequenz f0 und deren ganzzahlige Vielfache nf0 dar.

Laut des Parsevalschen Theorem ist die Leistung von x(t) gleich der Summe uber das Absolutquadrat des komplexen Spektrums X(f). Die Größe \X(f)|2 wird als Po­werspektrum der Funktion x(t) bezeichnet. (vgl. [5a^er(1990)]) Es gilt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Powerspektrum zeigt ein diskretes Spektrum, das Peaks bei den entsprechenden Frequenzen bildet. Zusätzlich zum Powerspektrum unterscheidet man das Amplituden­spektrum, das mit \X(f)| gebildet wird, und das Phasenspektrum, das den Winkel der Fourier Transformierten arg(X(f)) darstellt.

4.2 Nichtperiodische Vorgänge

Bei nichtperiodischen Vorgängen ist die Darstellung eines diskreten Linienspektrums gemäß Gleichung 11 nicht mäglich. Hier ist allerdings die Möglichkeit gegeben eine kon­tinuierliche Spektralverteilung anzugeben. Eine Funktion x(t) muss auf einem beliebigen Intervall den Dirichletschen Bedingungen genügen und kann dann als Fourier-Integral

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

bzw. in der Form

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

dargestellt werden. In einer modifizierten Form gilt auch hier, dass das Integral \x(t)\dt beschränkt ist. In diesem Fall konvergiert das Integral und x(t) gehärt zu der Klasse der absolut integrierbaren Funktionen. Vorgänge, die zu einem festen Zeitpunkt beginnen und eine endliche Energie besitzen, gehären zu dieser Klasse.

Die Kreisfrequenz u = 2nf wird eingefuhrt und die Gleichungen 13 und14 lassen sich wie folgt schreiben

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Fourier-Integral 14 konvergiert für alle reellen Werte von f, wenn x(t) absolut integrierbar ist. X(f) ist die Darstellung von x(t) im Frequenzbereich. Dies wird als komplexes Spektrum von x(t) bezeichnet. Die Synthese einer nichtperiodischen Funk­tion aus einem unendlich breiten kontinuierlichen Spektrum X(f) stellt die Gleichung 13 dar. Die Zeitfunktion x(t) erscheint als Superposition von komplexen Schwingungen ei2nft. Dabei ist aus Gleichung 13 erkennbar, dass jede Schwingung einen infinitesi­malen Faktor X(f)df hat anstatt eines endlichen. Gleichung 14 zufolge lässt sich die nichtperiodische Funktion unter den Dirichletschen Bedingungen in ein kontinuierliches Frequenzspektrum zerlegen. (siehe [Buttkus(1991)])

4.3 Theorie zu DFT/FFT, Zero-Padding und MATLAB

Die Daten, die analysiert werden sollen, bestehen aus Sequenzen. Diese entstehen durch die Abtastung des analogen Signals. Das bedeutet, dass keine kontinuierlichen Signale vorliegen und die Diskrete Fourier Transformation angewendet werden muss. Dadurch kommt es zu einer diskreten Darstellung. Die Werte des diskreten Spektrums entspre­chen den Koeffizienten der Fourierreihenentwicklung des unterliegenden kontinuierlichen Signals. Bei der DFT wird eine Anzahl ,,N” von Samples analysiert, die eine Zeitspanne von ,,T” Sekunden entspricht. Der Abstand zwischen den Spektralsamples (Frequenz­auflösung) ist gleich T. Ein wichtiger Aspekt ist, dass sich die Signaleigenschaften uber die Periode T andern konnten. Dadurch kommt es zu einem Konflikt zwischen der Sta- tionaritöt und der Auflösung des Spektrums. Hier muss fur jeden einzelnen Fall ein Kompromiss geschaffen werden.

Wenn die Auflöosung im Frequenzbereich nicht optimal ist, koönnen nahe aneinander liegende Peaks zu einem verschmelzen. Um eine bessere Auflösung zu bekommen, wird auf die Methode des „Zero-Padding” zuriickgegriffen.

Da die Frequenzauflösung die Inverse der Beobachtungszeit (Periode T) ist, gilt es zur Verbesserung der Spektralauflösung die Periode zu verlöngern ohne dass sich die zu untersuchenden Signalparameter signifikant veröndern. Dies kann erreicht werden, wenn Nullen zur beobachteten Periode hinzugefugt werden. Somit wird die urspriingliche Periode in T' verlangert und die Frequenzauflösung um den Faktor T verbessert (siehe Abb. 6 und 7). Dazu muss beachtet werden, dass durch „Zero-Padding” keine neue Information hinzugefugt wird: Diese Methode dient nur zu einer besseren Darstellung der schon vorhandenen Information.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 6: Die ursprüngliche Periode T

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 7: Die für das ,,Zero-Padding” benötigte Periode T'

Somit wird es möglich eine genauere Aussage über den Spektralinhalt der Signale zu treffen.

Fur die Berechnungen wird MATLAB verwendet. Hierbei ist zu beachten, dass nur mit diskreten Werten gerechnet werden kann. Analog zu den vorgestellten Formeln 13 und 14 berechnet MATLAB die FFT wie folgt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um diese Berechnung durchzufuhren, wird folgender Aufruf in MATLAB genutzt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zur Berechnung des Powerspektrums wird der Absolutwert des Produkts der FFT mit seiner konjugiert komplexen Darstellung genutzt. Dies ist wie folgt umgesetzt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

4.4 Beispielanwendung der Fast Fourier Transformation

4.4.1 Sinus-Signale

Bevor mit den Messdaten der Mars-Express Mission gerechnet werden kann, müssen die Rechenverfahren verifiziert werden. Das bedeutet, dass Testfunktionen geschaffen werden, bei denen das Ergebnis bekannt ist. Dadurch ist es moglich die erreichbare Re­chengenauigkeit der angewendeten Rechenverfahren festzustellen. Dies und das nüchste Beispiel gelten auch zur Veranschaulichung der enormen Wichtigkeit der Frequenz- Domünen-Analyse, die sich als Bestandteil der Signal-Verarbeitung durchgesetzt hat.

Zur Berechnung der Fast Fourier Transformation wird ein Signal generiert, welches aus der Summe zweier Sinus-Signale besteht. Die Frequenzen der einzelnen Signalkom­ponenten wurden auf 50 Hz und 120 Hz gesetzt; Die Amplituden Ai und A2 werden auf 1 und 0.7 festgelegt. Hierbei sei darauf hingewiesen, dass ein Signal eine zeitliche Veränderung einer beobachteten physikalischen Grüße ist. Daher ist die Einheit der Am­plitude nicht relevant, da es sich um jede physikalische Große handeln kann. Es wird eine Sekunde Daten mit 1000 Punkten generiert, was einer Abtastrate von 1000 samples/s entspricht. Laut des Nyquist-Shannonsche Abtasttheorems folgt, dass die maximale dar­stellbare Frequenz in der Spektralanalyse 500 Hz ist. In MATLAB wird dies wie folgt realisiert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Als Beispiel wird hier die Zeitfunktion, die beide Frequenzkomponenten enthalt, dar­gestellt (siehe Graphik 8). Dabei ist es nicht klar erkennbar, welche Frequenzen in dieser periodischen Funktion enthalten sind. In Graphik 9 ist das diskrete Spektrum nach der FFT der periodischen Funktion zu sehen. Im Gegensatz zur Zeit-Domäne-Darstellung sind hier die zwei Komponenten des analysierten Signals deutlich zu sehen. Jedoch kann keine Aussage uber die Zwischenraume der einzelnen Samples gemacht werden, weil hier kein kontinuierliches Spektrum vorliegt. Die Auflösung kann aber durch die Me­thode des „Zero-Padding” erhäht werden. Dies wird in Graphik 10 dargestellt. Es sind die enthaltenen Frequenzen, sowie deren Amplituden klar zu erkennen. Ebenfalls ist zu entnehmen, dass keine weiteren Signalkomponenten in diesem Spektrum enthalten sind. Allerdings weist das Spektrum keine Darstellung von Dirac-Impulsen auf, wie es bei Sinus-Signalen zu erwarten wäre, sondern zeigt einen typischen Trend, der der Funktion smXx) = sinc(x) ahnelt. Das geschieht dadurch, dass die Daten in Abschnitten analy­siert werden und somit implizit mit einer Rechtecksfunktion multipliziert sind, die die sinc-Funktion als Fouriertransofrmierte besitzt. Aufgrund des „Zero-Paddings” sind im Gegensatz zu Graphik 9 side-lobes (Nebenmaxima) zu erkennen (siehe Graphik 10).

Testfunktion mit 50 Hz und 120 Hz

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4.4.2 Sinus-Signale mit Rauschen überlagert

Die Analyse der Testfunktionen wird im folgenden durch Berücksichtigung des Rau­schens erweitert. Dazu wurde eine zufällige Sequenz (Pseudo Random) durch MATLAB generiert und als Rauschen zum Testsignal addiert. Die Leistung des Rauschens wur­de festgelegt und die Signalleistung wurde an das gewänschte SNR angepasst. Um die verrauschten Sinus-Signale zu erzeugen, werden die gleichen Parameter (Amplitude, Fre­quenz) wie oben äbernommen. Somit wurde eine Vergleichsmäglichkeit geschaffen.

In MATLAB wird dies wie folgt erzeugt:

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In Graphik 11 ist die generierte Sequenz, die im weiteren Verlauf als Rauschen zum Signal addiert wird, dargestellt. Die dazu gehörige Fast Fourier Transformation und das Leistungsdichtespektrum sind in den Graphiken 12 und 13 zu sehen. Dies dient zusätzlich der Anschauung, sodass verglichen werden kann, wie die zu analysierenden Daten zu interpretieren sind. Es ist erkennbar, dass sich die generierte Sequenz um einen Mittelwert bewegt und sich keine eindeutigen Frequenzen hervorheben.

Das verrauschte Sinus-Signal wird zunächst in der Zeitdomäne gezeigt (siehe Graphik 14). Hierbei ist nicht zu erkennen, welche Frequenzkomponenten enthalten sind. Dazu wird in den Graphiken 15 bis 17 die Analyse mit Hilfe der vorgestellten Werkzeuge durchgefuhrt. Zur Veranschaulichung, dass ,,Zero-Padding” wichtig fur die Darstellung ist, dienen die Graphiken 15 und 16. Auch hier sind die Nebenmaxima gut erkennbar. Alle weiteren Rechnungen werden mit Zero-Padding” durchgefuährt und dargestellt, ohne dass dies explizit genannt wird.

Bei den verrauschten Sinus-Signalen werden die Frequenzen mit Hilfe der FFT und des Leistungdichtespektrums exakt erkannt und auch in der Amplitude richtig wieder­gegeben. Dies wurde anhand der Graphik in MATLAB überprüft.

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Abbildung 12: Fast Fourier Transformation einer generierten pseudorandom Sequenz

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Abbildung 13: Leistungsdichtespektrum einer generierten pseudorandom Sequenz

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Abbildung 15: Fast Fourier Transformation eines verrauschten Testsignals mit 50 Hz und 120 Hz-Komponenten

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Details

Seiten
97
Jahr
2009
ISBN (eBook)
9783640625994
ISBN (Buch)
9783640626205
Dateigröße
7.5 MB
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v151056
Institution / Hochschule
Universität der Bundeswehr München, Neubiberg – Raumfahrttechnik
Note
1,8
Schlagworte
Mars-Express Mars Phobos Schwerefeldmessungen Gravity-Daten Fast Fourier Transformation Autokovarianzfunktion Kreuzkovarianzfunktion

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Titel: Rauschanalyse von Gravity-Daten der Mars-Express Mission