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Untersuchung verschiedener numerischer Filterverfahren zur Verbesserung des Signal- zum Rauschverhältnis bei Schwerefeldmessungen der Raumsonde "Mars-Express"

Studienarbeit 2008 75 Seiten

Ingenieurwissenschaften - Luft- und Raumfahrttechnik

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Symbolverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

1 Einleitung

2 Die Mission Mars Express

3 Schwerefeldmessungen mit Radio Science
3.1 Radio Science
3.2 Gravity Experiment

4 Der Mars und sein Mond Phobos
4.1 Der Mars
4.2 Der Mond Phobos

5 Filterverfahren
5.1 FIR-Filter mit Fensterfunktionen
5.1.1 Rechteckfenster
5.1.2 Hamming-Fenster
5.1.3 Hann-Fenster
5.1.4 Kaiser-Fenster
5.1.5 Tukey-Fenster
5.2 IIR-Filter mit Butterworth
5.3 Integrationsverfahren
5.3.1 Moving Average
5.3.2 Konstante Integration

6 Datenauswertung
6.1 Verwendete Daten
6.2 Vorgehensweise
6.3 Daten der einzelnen Filter
6.4 Daten der Filter kombiniert mit Moving Average und Integration

7 Zusammenfassung und Ausblick Literatur

A MATLAB-Skripte

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildungsverzeichnis

1 Die europäische Sonde Mars Express. (Aus [DLR])

2 Darstellung der Datenübertragung zwischen Bodenstation und Raumson­de. (Aus [LRT])

3 Eisfeld in polarem Krater. (Aus [DLR])

4 Der Mars-Mond Phobos. (Aus [DLR])

5 Der Effekt einer Fensterfunktion bezogen auf das Zeitfenster. (Aus [Agi00])

6 Fensterfunktionen reduzieren den Leck-Effekt der Informationen, elimi­nieren ihn aber nicht. (Aus [Agi00])

7 Beispielhafte Darstellung von Fensterfunktionen und ihren Spektren. (Aus [But91])

8 FIR-Filter (Hamming-Fenster) mit einer zu kleinen cut-off frequency

9 FIR-Filter (Hamming-Fenster) mit einer zu großen cut-off frequency

10 FIR-Filter (Rechteckfenster) mit einer optimalen cut-off frequency

11 Übersicht der Standardabweichungen beim FIR-Filter (Rechteckfenster)

12 FIR-Filter (Hamming-Fenster) mit einer optimalen cut-off frequency

13 Übersicht der Standardabweichungen beim FIR-Filter (Hamming-Fenster)

14 FIR-Filter (Hann-Fenster) mit einer optimalen cut-off frequency

15 Übersicht der Standardabweichungen beim FIR-Filter (Hann-Fenster)

16 FIR-Filter (Kaiser-Fenster) mit einer optimalen cut-off frequency

17 Übersicht der Standardabweichungen beim FIR-Filter (Kaiser-Fenster)

18 FIR-Filter (Tukey-Fenster) mit einer optimalen cut-off frequency

19 Übersicht der Standardabweichungen beim FIR-Filter (Tukey-Fenster)

20 IIR-Filter (Butterworth) mit einer optimalen cut-off frequency

21 Übersicht der Standardabweichungen beim IIR-Filter (Butterworth)

22 FIR-Filter (Moving Average) mit einer optimalen Anzahl an Samples

23 Übersicht der Standardabweichungen beim FIR-Filter (Moving Average)

24 FIR-Filter (Integration) mit einem optimalen Zeitintervall

25 Übersicht der Standardabweichungen beim FIR-Filter (Integration)

26 Übersicht der Standardabweichungen der FIR-Lowpass-Filter mit Fens­terfunktionen

27 FIR-Filter (Rechteckenster und Moving Average angewendet)

28 FIR-Filter (Rechteckfenster und Integration angewendet)

29 FIR-Filter (Hamming-Fenster und Moving Average angewendet)

30 FIR-Filter (Hamming-Fenster und Integration angewendet)

31 FIR-Filter (Hann-Fenster und Moving Average angewendet)

32 FIR-Filter (Hann-Fenster und Integration angewendet)

33 FIR-Filter (Kaiser-Fenster und Moving Average angewendet)

34 FIR-Filter (Kaiser-Fenster und Integration angewendet)

35 FIR-Filter (Tukey-Fenster und Moving Average angewendet)

36 FIR-Filter (Tukey-Fenster und Integration angewendet)

37 IIR-Filter (Butterworth und Moving Average angewendet)

38 IIR-Filter (Butterworth und Integration angewendet)

Tabellenverzeichnis

1 Übersicht der cut-off frequencies und der entsprechenden Standardabwei­chung

2 Übersicht der cut-off frequencies und der entsprechenden Standardabwei­chung in Bezug auf Moving Average und Integration

3 Übersicht der Verringerungen der Standardabweichungen bezogen auf Moving Average und Integration

1 Einleitung

Im Jahr 2003 startete die Raumsonde Mars Express um den Mars näher zu erforschen und seine Oberflache zu katalogisieren. DarUber hinaus finden Vorbeiflüge am Marsmond Phobos statt. Mit Hilfe dieser Vorbeifluge sollen Schwerefeldmessungen stattfinden und die Masse, beziehungsweise das Produkt aus Gravitationskonstante und Masse GM von Phobos bestimmt werden.

Beim Vorbeiflug werden von der Raumsonde Frequenzen, die durch den Einfluss des Planeten und des Mondes Phobos auf die Raumsonde entstehen, erfasst und an die Bo­denstationen gesendet. Durch unterschiedliche Einflusse finden Änderungen der Signale statt und ein Rauschen entsteht. Dadurch wird das gemessene Signal verfülscht und kann daher nicht ohne entsprechende Bearbeitung genutzt werden. Dies findet mit Hilfe numerischer Filter statt.

Es gibt unterschiedliche Verfahren, um numerische Filter zu entwickeln. Im Verlauf dieser Ärbeit werden verschiedene Filterverfahren vorgestellt und zur Berechnung ge­nutzt. Dabei wird getestet, welches Filter am geeignetsten fuür die Berechnung der Schwe­refelddaten von Phobos anhand eines Vorbeiflugs ist.

Durch fruühere Missionen wurden schon Berechnungen zum Schwerefeld von Phobos durchgefuhrt. Diese Ergebnisse sind allerdings mit hohen Fehlern behaftet. Eine Do­kumentation zur Berechnung dieser Daten und die Bestimmung der Fehler ist nicht ausreichend. Mit Hilfe von geeigneten Filtern koünnen diese Fehler reduziert werden. Wenn zusatzlich ein verbessertes Modell zur Berechnung genutzt wird, kann ein Fehler von weniger als 1% erreicht werden.

Ziel dieser Arbeit ist es, ein Filter zu finden, das das Signal- zu Rauschverhaltnis ver­bessert. Das bedeutet, dass das Rauschen so weit wie möglich herausgefiltert wird, dabei aber das Signal nicht abgeschnitten wird. Durch fruühere Berechnungen ist bekannt, dass das Signal sehr langsam ist und somit ein Lowpass-Filter genutzt werden muss. Ein langsames Signal hat eine niedrige Frequenz und wird in einem Lowpass-Filter fast vollstündig durchgelassen. Frequenzen, die uber der Grenzfrequenz (cut-off frequency) des Filters liegen, wie zum Beispiel Rauschen, werden beim Durchlassen abgeschwacht. Um eine Aussage über die Güte eines Filters treffen zu künnen, ist es wichtig, mit be­kannten Daten zu rechnen. Dadurch ist erkennbar, ob das Filter das erwartete Signal durchlasst und wie viel Rauschen dann noch auf dem Signal liegt. Äls bekanntes Si­gnal wird die Vorhersage des Einflusses von Phobos auf den Satelliten genommen. Das Rauschen stammt von gemessenen Signalen bei einem Vorbeiflug der Raumsonde.

Zunaüchst wird auf die Mission Mars Express und die entsprechenden Schwerefeldmes­sungen mit Radio Science eingegangen. Zusützlich werden einige Informationen uber den Mars und seinen Mond Phobos gegeben. Danach werden die verschiedenen Filter­verfahren vorgestellt. Nachdem die Berechnungen mit den Filtern durchgefuhrt wurden, werden die Daten ausgewertet und die Ergebnisse vorgestellt. Äm Ende wird das beste Filter ermittelt und ein Ausblick auf weitere Verbesserungen gegeben.

2 Die Mission Mars Express

Mars Express ist die erste europäische Mission zum Mars. Es handelt sich hierbei um eine sogenannte „flexible Mission” im Rahmen des Langzeit-Wissenschaftsprogramm „Horizon 2000 plus” der Weltraumorganisation ESA. Man beschloss im Jahr 1999 den Start der Mission Mars Express. Dieser sollte aufgrund der besonders gunstigen Plane­tenkonstellation im Jahr 2003 stattfinden. Durch die kurze Distanz und Flugdauer ergab sich außerdem die Möglichkeit, eine große Satellitenmasse zu nutzen. Die Zeit zwischen dem Beschluss und der Startzeit gab eine kurze Projektlaufzeit vor. Zudem hatte man die Möglichkeit, Instrumente und Technologien zu verwenden, die auch schon in anderen Missionen eingesetzt oder daför entwickelt wurden. Als Beispiele sind hier die Missionen Rosetta und Mars-96-Mission zu erwahnen.

Der Start von Mars Express erfolgte am 02.06.2003 in Baikonur, in Kasachstan, mit einer Sojus Fregat-Trägerrakete. Nach einer Flugdauer von sechs Monaten erreichte Mars Express am 25.12.2003 den Planeten. Zunachst war die Mission flir ein Marsjahr, welches in etwa zwei Erdenjahren, bzw. 687 Tagen entspricht, geplant. Zur Zeit befindet sich Mars Express in der zweiten Verlangerungsphase. Mars Express besteht aus einem Orbiter und einem Lander, der Beagle 2 genannt wurde. Der Lander gilt seit erreichen des Mars als verloren, da keine Signale nach der Abkopplung empfangen wurden. Der Orbiter befindet sich in einer polaren, elliptischen Umlaufbahn mit einer Inklination von 87° um den Mars. Angetrieben wird der Orbiter mit Solargeneratoren, die eine Spannweite von 12m haben.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Hauptauftraggeber der Mission ist die europäische Weltraumbehörde ESA und die Firma EADS Astrium, die ihren Hauptsitz in Frankreich hat, ist der Hauptauf­tragnehmer. In New Norcia, Australien, und Ceberos, Spanien, befinden sich die ESA- Hauptbodenstationen, zudem werden auch Bodenstationen des Deep Space Networks (DSN) der NASA genutzt. Deutschland ist auch aktiv an der Mission beteiligt und hat die Hochleistungskamera HRSC (High Resolution Stereo Camera) entwickelt mit der die Oberflache des Mars mit einer sehr guten Auflösung dreidimensional kartiert wird. Au­ßerdem unterstützt Deutschland das Experiment Mars Radio Science (MaRS), an dem auch die Universitat der Bundeswehr München beteiligt ist. Der Principal Investigator des MaRS Teams ist Martin Patzold von der Universitat Koln und wird unterstutzt vom Co-Investigator und Experiment Manager Bernd Höusler von der Universitat der Bundeswehr Munchen.

Die Mission soll Aufschluss über die Klimageschichte des Mars geben. Daraus erge­ben sich die Aufgaben des Mars Express-Orbiters. Die Marsoberflache soll global, hoch­auflösend topographisch und morphologisch kartiert werden. Dies geschieht mit einer Nominalauflöosung von zehn Metern in allen drei Dimensionen und es werden außerdem auch Aufnahmen mit bis zu zwei Metern Auflosung erstellt. Mit Hilfe von Vielfarbenauf­nahmen wird eine geologische und mineralogische Kartierung erstellt. Der Orbiter soll zudem auch die atmosphörischen Vorgange und die Zusammensetzung, sowie die Unter­grundstruktur des Mars, insbesondere das Vorkommen von Permafrost, analysieren. Die atmosphöarischen Vorgöange bestehen zum Einen in der Wechselwirkung der Planeteno­berflache mit der Atmosphöre, zum Anderen in der Wechselwirkung der Atmosphare mit dem interplanaren Medium.

3 Schwerefeldmessungen mit Radio Science

Zusätzlich zur Mission Mars Express wird das Experiment Mars Radio Science MaRS durchgeführt. Vertikale Dichte, Druck und Temperaturprofile als Funktion der Hohe in der Neutralatmosphare des Mars sollen mit einem Okkultationsexperiment bestimmt werden. Zusatzlich sollen auch Rückschhisse auf das Marsinnere gezogen werden. Die In­formation daruber wird durch die genaue Bestimmung des Schwerefeldes des Planeten gewonnen. In Abhüngigkeit des wirkenden Schwerefeldes ündert sich die Geschwindigkeit der Raumsonde. Diese Änderung kann im Radiosignal detektiert werden. Im Folgenden wird auf die Radio Science Technik, sowie auf das Gravity Experiment naher eingegan­gen.

3.1 Radio Science

Als eines der wichtigsten Werkzeuge der Weltraumforschung gilt die Radio Science Tech­nik. Dabei wird ein Radiowellen-Trügersignal auf Frequenz und Phase, Amplitude, Pola­risation und Laufzeit untersucht. Dieses Signal wird von einer Raumsonde ausgesendet und breitet sich im interplanaren Raum aus. Schließlich wird es auf der Erde emp­fangen. Durch die relative Bewegung zwischen der Raumsonde und der Bodenstation kommt es zum klassischen Dopplereffekt und die Parameter des Radiosignals werden geündert. Weitere Änderungen entstehen durch die Ausbreitung in atmospharen, zum Beispiel Planetenatmosphüaren und ionisierten Medien, beispielsweise Ionosphüaren und koronales Plasma, oder durch die Ausbreitung in einer kosmischen Staubumgebung. Au­ßerdem rufen auch die Reflexionen an Planetenoberflüchen Anderungen hervor. Bei der Datenanalyse müssen sowohl die Spezielle als auch die Allgemeine Relativitatstheorie berücksichtigt werden. Die Radio Science Technik kann somit bei der Untersuchung von Schwerefeldern der Planeten und Monde, Neutralatmospharen, Ionospharen, Sonnenko­rona, Oberflachen (Bistatisches Radar), Planetenringe, Gravitationswellen und Kome­tenkoma (Staub und Gas) verwendet werden.

Eine Raumsonde steht durch einen Up- bzw. Downlink mit den Bodenstationen auf der Erde in Kontakt. Bei einem Uplink handelt es sich um die Signale, die von der Bodenstation aus zur Raumsonde gesendet werden und Kommandos fuür Manüover ent­halten. Als Downlink werden die Signale bezeichnet, die von der Raumsonde an die Bodenstation gesendet werden und gespeicherte Informationen, wissenschaftliche Daten oder auch nur das Trüagersignal enthalten. Zudem werden regelmüaßige Messungen der Entfernung uüber Ranging und der Geschwindigkeit der Raumsonde uüber den Doppler­effekt durchgefuhrt.

Fur den Uplink werden in den Bodenstationen die Kommandos hir die Telekommu­nikation auf eine Trügerfrequenz moduliert. Wenn das Uplink-Signal empfangen wurde, wird es von der Raumsonde demoduliert und die Uplink-Tragerfrequenz als Frequenz­standard für den Downlink benutzt. Das Kernstuck der Radio Science-Ausrüstung ist ein redundanter, phasenkoherüanter Transponder. Dabei steht die Frequenz des Uplink Si­gnals zur Frequenz des Downlink Signals in einem speziellen Verhältnis, das durch den typischen Faktor y dargestellt wird. Der Transponder kann in beiden Betriebsarten, dem Ein- und Zwei-Wege-Modus (one- or two-way-mode), bei zwei unterschiedlichen Frequenzen betrieben werden. Die Frequenzen, die hier genutzt werden sind S-Band mit ca. 2.1GHz und X-Band mit ca. 7.1GHz. Damit werden die Effekte, die durch die klassische Dopplerverschiebung hervorgerufen werden, von denen, die durch die Aus­breitung eines Signals durch ein dispersives Medium, zum Beispiel Plasma, entstehen, getrennt. Die Güte der Sende- und Empfangssysteme an Bord der Raumsonde und in der Bodenstation bestimmt den Rauschhintergrund des Radiosignals und somit die Messungenauigkeit.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: Darstellung der Datenübertragung zwischen Bodenstation und Raumsonde.

(Aus [LRT])

Zusützlich zum Betrieb im Ein-Wege-Verfahren wird ein ultrastabiler Oszillator (ultra stable oscillator, USO) der Raumsonde benötigt. Die Mars Express Sonde besitzt kei­nen USO, sendet daher nur im Zwei-Wege-Verfahren. Eine Hochgewinn Reflektorantenne (High Gain Antenna, HGA) dient als Hauptsende- und Empfangsinstrument und alle wichtigen Signale hir die Radio Science werden über diese Antenne abgestrahlt und emp­fangen. Für die S-Band-Frequenzen wird auch eine Niedriggewinn-Antenne (Low-Gain Antenna, LGA) benotigt. Das Ein-Wege-Verfahren wird hauptsachlich hir Okkultati- onsexperimente genutzt, bei denen Signale nur von der Raumsonde zur Bodenstation gesendet werden. Beim Zwei-Wege-Verfahren werden Signale von der Bodenstation zur Raumsonde gesendet und im Gegenzug dazu sendet die Raumsonde Signale im S- und X-Band Bereich zurück. Dies findet Anwendung im Bereich koronaler Untersuchungen (siehe [RSU]).

3.2 Gravity Experiment

Eine Raumsonde, die sich auf einer hoch inklinierten Bahn um einen abgeplatteten Pla­neten bewegt, erfahrt über dem Äquator dieses Planeten eine höhere Beschleunigung, als wenn sie sich über die Pole bewegt und den Abstand zum Planetenzentrum beibehalt. Wenn sich die Raumsonde uber dem Äquator befindet, ist der Abstand zur Oberflache des Planeten und somit zum Gravitationsfeld kleiner als wenn sie sich uber einem Pol be­findet. Dadurch kann die Gravitationskraft starker auf die Raumsonde einwirken. Dieser Effekt resultiert aus dem Gravitationspotential des Planeten. Das Gravitationspotential ergibt sich aus der Gesamtmasse eines Himmelskorpers und wird durch die räumliche Verteilung bestimmt. Dadurch zeigt sich, dass eine inhomogene Massenverteilung und das daraus resultierende Gravitationsfeld die Bahnen von Raumsonden beeinflusst. Die Wirkung ist eine Abweichung von der klassischen ungestörten Kepplerbahn, die mit der Zeit immer großer wird.

Die Bahnanderungen, die durch die Gravitationskräfte verursacht werden, konnen mit Hilfe des Zwei-Wege-Verfahrens der Radio Science-Messung untersucht werden. Dabei werden sehr genaue Daten über Entfernung und Geschwindigkeit entlang der Sichtlinie zwischen Raumsonde und Bodenstation ubermittelt und ausgewertet. Ruckschlüsse auf den inneren Aufbau des Planeten konnen aus den Zusammenhangen zwischen Masse und Gravitationskräften gezogen werden. Dadurch ist eine Bestimmung der Dichteverhült- nisse der Planeten oder deren Monde moglich.

4 Der Mars und sein Mond Phobos

Der Mars besitzt zwei Monde. Sie heißen Phobos und Deimos und bedeuten aus dem Griechischen Furcht und Schrecken. Im folgenden Abschnitt werden ein paar Informa­tionen zum Mars selbst und zum Mars-Mond Phobos gegeben, da sich auf diesen die Berechnungen und Daten in dieser Arbeit beziehen.

4.1 Der Mars

Der Mars ist ein besonders interessantes Forschungsobjekt, da er sich hinsichtlich der Planetologie mit der Erde vergleichen lasst. Aufgrund der Rotationsdauer, den Jahreszei­ten, der Atmosphare und der Entfernung zur Sonne gilt er als erdahnlichster Planet des Sonnensystems. Mars Express soll außerdem feststellen, ob es Wasser in flussiger Form auf dem Mars gab und ob sich daraufhin primitive Lebensformen entwickeln konnten.

Der mittlere Abstand zwischen Sonne und Mars beträgt 1.524AE. Der Durchmesser des Mars ist etwa halb so groß wie der der Erde und liegt bei etwa 6794km. Mit einer Masse von etwa 6.419 . 1023kg ist der Mars nur ein Zehntel so schwer wie die Erde. Die siderische Rotationsdauer betragt 24h und 37min und fiir einen Umlauf um die Sonne benötigt der Mars 687 Tage, das etwa zwei Erdenjahre entspricht. Durch die Neigung der Rotationsachse gegenuber der Bahnebene, existieren wie auf der Erde Jahreszeiten auf dem Mars. Diese haben durch die doppelte Umlaufdauer auch die doppelte Dauer im Vergleich mit der Erde. Der Mars besitzt eine Atmosphare. Diese ist sehr dunn und besteht zum größten Teil aus Kohlendioxid (95.3%). Hinzu kommen etwa 2.7% Stickstoff und 1.6% Argon. Sauerstoff ist nur in sehr geringen Anteilen vorhanden. [?]

An den Polkappen haben sich Eisplatten entwickelt. Diese bestehen zum gräßten Teil aus gefrorenem Kohlendioxid, das auch als Trockeneis bekannt ist. Allerdings hat Mars Express Ablagerungsschichten entdeckt, die Wassereis enthalten. Dieses Wasservolumen wird auf bis zu 1.6 . 106km3 geschatzt und kännte die gesamte Marsoberflache unter einer Wasserschicht, die 11m tief ware, verbergen. [Sci]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

4.2 Der Mond Phobos

Phobos ist der größere und innere Mond der beiden Mars-Monde. Sein Abstand vom Marszentrum betragt 9378km, das bedeutet, dass er in einer Hohe von etwa 6000km über dem Mars fliegt. Die Umlaufdauer betragt 7h und 39min. Anhand der Abbildung 4 ist erkennbar, dass eine inhomogene Massenverteilung vorliegt. Die Radien ergeben sich zu [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

Zudem ist zu erkennen, dass ein großer Krater existiert, Stickney genannt. Dies resul­tiert hochstwahrscheinlich aus einem Einschlag. Die erkennbaren Rillen und Schlieren sind vermutlich dabei entstanden. Allerdings ist dies nicht eindeutig geklart und es existieren weitere Theorien zu dieser Entstehung. Phobos ist übersüht mit Kratern und Rillen, sodass angenommen wird, dass mehrere Einschlage und Streifungen kleinerer As­teroiden stattfinden. Es ist noch nicht ausreichend geklart, woher Phobos und Deimos stammen. Es wird vermutet, dass sie eingefangene Asteroiden sind, da sie entsprechende Eigenschaften aufweisen.

Im Verlaufe der Jahre gab es viele Missionen zum Mars und auch Phobos wurde dabei erforscht. Vorrangig sind dabei Mariner 9 und die Viking Missionen zu nennen. Diese machten auch Vorbeiflüge an Phobos und man konnte erste Daten erfassen. Bis heute ist die Masse nicht eindeutig bestimmt. Es gibt viele Annaherungen, die einige Unterschiede aufweisen. Mit Hilfe des Einflusses, den Phobos auf die Raumsonde ausubt, kann eine Aussage uber das Schwerefeld getroffen werden. Da die Gravitationskonstante G ebenfalls mit einem Fehler behaftet ist, empfiehlt es sich das Produkt aus Masse und Gravitationskonstante GM zu bestimmen. Mit Hilfe der Mission Mars Global Surveyor (MGS) wurde ein GM = (7,16 ± 0, 005) . 10-4kg3 ermittelt. [KYS+06]. Dieser Wert ist weit verbreitet und es lasst sich auf eine Masse von M = 1.08 . 1016kg schließen. Dieser Wert wurde mit Hilfe einer Messung der Bahndaten berechnet. Das Radio Science Experiment MaRS liefert nun direkte Daten. Dadurch kann der bereits vorhandene Wert verifiziert oder gegebenenfalls neu bestimmt werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

5 Filterverfahren

Die Signale, die von der Raumsonde an die Bodenstationen gesendet werden, sind ver­rauscht. Das bedeutet, dass verschiedene Schwingungen mit unterschiedlichen Ampli­tuden und Frequenzen überlagert sind. Diese Schwingungen sind nicht bekannt, aber messbar und verzerren das eigentliche Signal, das gemessen werden soll. Mit Hilfe eines Filters kann nun das gesamte Signal abhangig von der Frequenz in der Amplitude und Phase verändert werden und das Rauschen herausgenommen werden. Dadurch erhält man ein abgeschwachtes Signal. Dabei ist zu beachten, dass nichts vom eigentlichen Signal abgeschnitten wird.

In diesem Fall werden Digitalfilter verwendet, die das Filtern numerisch durchfähren. Beschrieben wird das Digitalfilter im Zeitbereich durch die diskrete Impulsantwortfunk­tion und im Frequenzbereich durch die diskrete Fourier-Transformierte der diskreten Impulsantwortfunktion. Lässt sich die Systemfunktion H(z), die als z-Transformierte der diskreten Impulsantwortfunktion definiert ist, als Verhaltnis zweier Polynome in z darstellen, wird die wichtigste Klasse der Digitalfilter beschrieben:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese Filter werden als rationale Filter bezeichnet, da sich deren Systemfunktion als gebrochen rationale Funktion darstellen lasst. Aus der Eingang-Ausgang-Beziehung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

folgt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Nach dem Translationstheorem X(z)zk (xj—k), ergibt sich:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hieraus folgt, dass zu jedem Zeitpunkt n die folgende rekursive Filtergleichung gelten muss:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Filter können nun anhand der Koeffizienten bk des Nennerpolynoms in rekursive und nichtrekursive Filter eingeteilt werden. Fur nichtrekursive Filter endlicher Lange sind alle bk, k > 1 Null, das bedeutet, dass H(z) ein Polynom in z ist und nur Nullstellen, aber keine Pole hat:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wenn einer der Koeffizienten bk, k = 0, ungleich Null ist, dann ist das Filter rekursiv. Diese Filter weisen unendlich lange Impulsantworten auf und werden „Infinite Impulse Response” (IIR)-Filter genannt. Die Filter, die durch (6) beschrieben werden, werden als „Finite Impulse Response” (FIR)-Filter bezeichnet. Um diese Filter zu realisieren muss k0 > 0 sein.

FIR- und IIR-Filter haben unterschiedliche Eigenschaften, die Vor- und Nachteile mit sich bringen. Da beim FIR-Filter keine Pole existieren, sondern nur Nullstellen, ist dieser stets stabil. Zudem sind Rundungs- und Quantisierungsfehler beim FIR-Filter in der Regel kleiner und Einschwingvorgange können höchstens bis zu dem Zeitpunkt, der der Lange des FIR-Filters entspricht, dauern. Der Phasengang ist beim FIR-Filter exakt linear und die Amplitudencharakteristik wird approximiert. Dadurch entsteht eine Welligkeit auf der Amplitude. Dies ist beim IIR-Filter umgekehrt. Hier gibt es eine glatte Amplitudencharakteristik, aber die Phase wird approximiert. Außerdem werden bei einem IIR-Filter nicht so große Operatorlangen wie beim FIR-Filter benotigt. [But91]

Im Folgenden sind Lowpass-Filter beschrieben, da das gemessene Signal sehr langsam ist.

5.1 FIR-Filter mit Fensterfunktionen

Um in diesem Fall die Filter zu entwerfen, werden Fensterfunktionen genutzt. Diese werden benotigt, um Daten durch ein zeitlich enges Fenster zu betrachten. Dadurch ist gewahrleistet, dass auch periodische Signale, die innerhalb eines Zeitfensters betrachtet werden, auch periodisch wieder abgebildet werden. Dies lasst sich anhand der Graphik 5 erkennen. Zunachst wird bei a) ein periodisches Signal, in diesem Fall ein Sinus-Signal, als Input gegeben. Bei b) kann man erkennen, dass das Signal phasenverschoben zum Zeitfenster ist und somit nicht periodisch wiedergegeben wird. In c) ist eine beispiel­hafte Fensterfunktion dargestellt, die an den Enden Null betragt und in der Mitte die großte Amplitude hat. Diese Funktion wird mit dem Zeitfenster multipliziert. Somit entsteht in d) ein periodisches Signal, dass in der Mitte mit der Amplitude fast der des Input-Signals entspricht und bei einer Fast Fourier Transformation das fast vollstandige Frequenzspektrum angezeigt wird. Dies kann man in der Graphik 6 erkennen. Bei a) ist das Frequenzspektrum des Signals gezeigt, das periodisch im Zeitfenster gemessen wurde und ohne Fensterfunktion dargestellt werden kann und bei b) ist das Frequenzspektrum des Signals gezeigt, das nichtperiodisch im Zeitfenster gemessen wurde und zusatzlich mit einer Fensterfunktion gewichtet wurde. Wenn das Eingangssignal phasenverschoben abgetastet wird, entstehen aufgrund der Seitenbänder zusatzliche Frequenzkomponen­ten bei der Fast Fourier Transformation. Dieses Auftreten wird Leck-Effekt genannt und mit Hilfe der Fensterfunktion reduziert.

Eine gute Fensterfunktion zeichnet sich dadurch aus, dass sie ein mäoglichst scharfes Hauptmaximum besitzt und dabei stark reduzierte Nebenmaxima aufweist. Dieser Ide­alfall existiert allerdings nicht, sodass Kompromisslosungen angestrebt werden mussen. Es ist moglich die effektive Signaldauer L zu minimieren oder aber die Nebenmaxima.

Nachfolgend werden die Fensterfunktionen dargestellt, die zur Berechnung genutzt wurden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 5: Der Effekt einer Fensterfunktion bezogen auf das Zeitfenster. (Aus [Agi00])

5.1.1 Rechteckfenster

Das Rechteckfenster ist die einfachste Fensterfunktion. Die Rechteckfunktion ist im Fens­terbereich 1 und außerhalb 0. In MATLAB wird die Funktion wie folgt aufgerufen:

w = rectwin (L)

Dies erzeugt ein Rechteckfenster mit der Lange L, das die Daten in den Spaltenvektor w schreibt. Daraus ergibt sich der folgende Algorithmus:

Zum Zeitpunkt n werden Einsen erzeugt, die über der Lange L = N + 1 des Fensters bestehen und das Signal durchlassen. Das Rechteckfenster besitzt das scharfste Haupt­maximum, besitzt aber auch die grüßten Nebenmaxima. Zudem blendet es das Signal am Anfang nicht ein und blendet es am Ende nicht aus. Dadurch kann es zum Leck-Effekt kommen.

5.1.2 Hamming-Fenster

Das Hamming-Fenster ist nach Richard Hamming benannt und wird in MATLAB mit:

w = hamming (L)

aufgerufen. Dabei wird wieder ein Fenster der Lüange L in einen Spaltenvektor w umge­wandelt. Dies geschieht mit folgender Formel:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dabei ist die Fensterlüange L = N + 1 und L sollte eine positive Integervariable sein. Der aktuelle Wert des Eingangssignal ist n. Die Hamming-Fensterfunktion gehürt zu den Cosinus-Funktionen. Sie sind aus einer Linearkombination mit Cosinus-Anteil zu­sammengesetzt. Das Signal wird hier ein- und ausgeblendet und der Leck-Effekt somit verringert.

5.1.3 Hann-Fenster

Das Hann-Fenster ist auch als Hanning-Fenster bekannt und wurde nach Julius von Hann benannt. Um diese Fensterfunktion in MATLAB zu nutzen, gilt folgender Aufruf:

w = hann (L)

Hier gelten die gleichen Eigenschaften wie beim Hamming-Fenster. Das bedeutet, dass die Fensterlüange L = N + 1 ist und auch hier eine positive Integervariable sein sollte. Der Spaltenvektor w wird hier mit der Formel:

w(n) = 0.5 ^1 — cos , 0 < n < N (9)

erzeugt. Hier gilt ebenfalls, dass n der aktuelle Eingangswert ist. Das Hann-Fenster gehüort ebenso zu den Cosinus-Funktionen. Der Leck-Effekt wird durch das Aus- und Einblenden verringert.

5.1.4 Kaiser-Fenster

Beim Kaiser-Fenster gibt es zusätzlich zur Fensterlänge L noch die Parametereinstellung ß, sodass der MATLAB-Aufruf wie folgt ist:

w = kaiser (L, beta)

Dabei wird ein Kaiser-Fenster mit der Lange L in den Spaltenvektor w umgewandelt. Das beta ist der Kaiser-Fenster-Parameter ß, der die Dampfung der Nebenmaxima der Fourier Transformation des Fensters beeinflusst. Der Standardwert für ß liegt bei 0.5 und wird auch in diesem Fall genutzt.

Um ein Kaiser-Fenster zu bekommen, dass einen FIR Filter mit einer Nebenmaxi- madampfung von a dB beschreibt, muss folgendes ß genutzt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ein größeres ß verbreitert das Hauptmaximum und lasst die Amplitude der Neben­maxima sinken. Wenn ß = 0.5 ist, dann ergibt sich a = 21.542. Wie die numerische Umsetzung in MATLAB durchgeführt wird, ist in der MATLAB-Hilfe nicht ersichtlich. Die im Folgenden angegebene Funktion ist der Literatur (siehe [Jac87]) entnommen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Kaiser-Fenster gehort zu den optimalsten Fensterfunktionen, da mit Hilfe des Pa­rameters ß die Nebenmaxima reduziert werden küonnen. In dieser Arbeit wird nur mit ß = 0.5 gerechnet um einen Vergleich zu den anderen Fensterfunktionen ziehen zu konnen. Es ist sinnvoll sich speziell mit dem Kaiser-Fenster zu beschaftigen und den Pa­rameter ß anzupassen um optimalere Ergebnisse zu erhalten. Auch bei diesem Fenster wird der Leck-Effekt verringert, da das Signal ein- und ausgeblendet wird.

5.1.5 Tukey-Fenster

Das Tukey-Fenster gehort zu den Cosinus-Funktionen und ist mit dem Hann- und Hamming-Fenster, sowie auch mit dem Rechteckfenster sehr verwandt. Dies liegt an dem Parameter r, der bei einem MATLAB-Aufruf angegeben wird. Der Aufruf fuür das Tukey-Fenster ist:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Es wird das Tukey-Fenster mit der Fensterlänge L in den Spaltenvektor w geschrieben. Die Tukey-Fenster sind abflachende Cosinus-Fenster. Der Faktor r dient der Abflachung des Cosinus auf konstanten Gebieten und liegt zwischen 0 und 1. Für r = 0 entspricht das Tukey-Fenster einem Rechteckfenster und für r = 1 entspricht es dem Hann-Fenster. Der Algorithmus für das Tukey-Fenster ist in MATLAB wie folgt beschrieben:

Aus MATLAB ist nicht erkennbar, ob der Parameter r dem a in der Formel entspricht. Sollte man a = 1 setzen, so wurde eine Division durch Null erfolgen und nicht die Formel fur das Hann-Fenster entstehen. In weiterer Literatur sind Abweichungen der Formel 14 zu finden, die aber keine naheren Erklürungen liefern (vgl. [Bos85]). Beispielhaft wird in diesem Fall mit dem Standardwert r = 0.5 in MATLAB gerechnet. Dieser Wert wird ebenfalls als Vergleichswert fur die verschiedenen Fensterfunktionen genutzt und kann ebenfalls einzeln betrachtet und angepasst werden.

Die Graphik 7 zeigt unterschiedliche Fensterfunktionen. In a) sind die Funktionen im Zeitbereich dargestellt. Die Fensterlange betragt jeweils 1s. Die dazugehürigen Spek­tren im Frequenzbereich sind in b) gezeigt. Diese Graphik soll als Anschauungsbeispiel dienen.

[...]

Details

Seiten
75
Jahr
2008
ISBN (eBook)
9783640629145
ISBN (Buch)
9783640629442
Dateigröße
3.8 MB
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v151065
Institution / Hochschule
Universität der Bundeswehr München, Neubiberg – Raumfahrttechnik
Note
1,3
Schlagworte
Mars-Express Mars Phobos Schwerefeldmessungen Gravitiy-Daten Filtertheorie Radio Science Fensterfunktion Rechteckfenster Hamming-Fenster Hann-Fenster Kaiser-Fenster Tukey-Fenster Butterworth Moving Average Konstante Integration Filterverfahren Signal- zu Rauschverhältnis

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Titel: Untersuchung verschiedener numerischer Filterverfahren zur Verbesserung des Signal- zum Rauschverhältnis bei Schwerefeldmessungen der Raumsonde "Mars-Express"