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Die Beiträge von Nash, Harsanyi und Selten in der Spieltheorie

von Michael Obrist (Autor) Dominic Schorneck (Autor)

Studienarbeit 2010 35 Seiten

VWL - Sonstiges

Leseprobe

Inhalt

1 Einleitung: Von Neumann und Morgenstern

2 John F. Nash
2.1 Biographie
2.2 Nashs Beiträge zum Gleichgewicht von nicht-kooperativen Spielen
2.2.1 Equilibrium points in n-person games (Nash, 1950b)
2.2.2 Auswirkungen des Nash-Gleichgewichts auf die ökonomische Forschung
2.3 Nashs Arbeiten zu kooperativen Spielen
2.4 Das Nash-program

3 John Charles Harsanyi
3.1 Biographie
3.2 Harsanyis wichtigste Publikationen im Bereich der Spieltheorie
3.2.1 Die Problematik von inkompletter Information
Beispielsituation von inkompletter Information
3.2.2 Das Bilden von expectations
3.2.3 Der alternative Ansatz von Harsanyi
Bildung von Spieler- Typen
Veranschaulichung an einem einfachen Spiel
Grafik 1: Inkomplettes Spiel aus Sicht des Arbeitnehmers
Grafik 2: Inkomplettes Spiel aus Sicht des Arbeitgebers
Die Einführung von beliefs
Grafik 3: Spiel mit kompletter aber unvollkommener Information aus Sicht des Arbeitgebers
3.2.4 Die Harsanyi-Doctrine
3.2.5 Weitere Arbeiten von Harsanyi in der Spieltheorie

4 Reinhard Selten
4.1 Biographie
4.2 Wissenschaftliche Beiträge
4.2.1 Spieltheoretische Behandlung eines Oligopolmodells mit Nachfrageträgheit (1965)
Grafik 4: Extensivform des Leere-Drohung-Spiels
4.2.2 Reexamination of iho Perfectness Concept for Equilibrium Points in Extensive Games (Selten, 1975)
4.2.3 The chain-store paradox
Aufbau des chain store Spiels
Die induction theory
Die deterrence theory
Wie verhalten sich reale Akteure?
Auswege aus dem Paradoxon
4.2.4 Gleichgewichts-Selekektion von Selten und Harsanyi
4.3 Auswirkungen der Beiträge von Reinhard Selten und John Harsanyi

5 Schlussfolgerungen

6 Literaturhinweise

1 Einleitung: Von Neumann und Morgenstern

Die grundsätzlichen Konzepte zur Analyse von spieltheoretischen Problemen wurden 1944 durch John von Neumann und Oskar Morgenstern eingeführt. In ihrer Publikation Game Theory and Economic Behavior (von Neumann und Morgenstern, 1947) definierten sie ein Konzept von indiviudell-rationalen Spielern, die ihre Nutzen maximieren. Bei Unsicherheiten über den Nutzen von verschiedenen Optionen berechnen die Spieler den erwarteten Nutzen jeder Option und maximieren diesen. Von Neumann und Morgenstern fanden in ihrem sogenannten Minimax-Theorem eine Gleichgewichtslösung für Zwei-Personen- Nullsummenspiele[1]. Der rationale Spieler, der in derselben Publikation definiert wurde, nimmt nur für sich Rationalität an. Es ist nicht definiert, wie er das Entscheidungsverhalten der Gegner einschätzt. Später erweiterte John F. Nash dieses Konzept. Er nimmt im Unterschied zu von Neumann und Morgenstern an, dass alle beteiligten Spieler rational Handeln und somit jeder Spieler von allen anderen Spieler annimmt, dass auch diese rational handeln. Von Neumann und Morgenstern haben die Grundregeln der Spieltheorie definiert und ihre Beiträge wurden die Diskussionsgrundlage für die Arbeiten von Nash, Harsanyi und Selten. Allerdings wurde von Ökonomen kritisiert „[...] that von Neumann’s [and Morgenstern’s] theory was too highly mathematical for economists.“ (Kuhn 1994, S. 161). Auch scheint es heute nicht mehr realistisch anzunehmen, dass alle Spieler in jeder Situation den Erwartungsnutzen jeder Option berechnen, bevor sie in einer Verhandlung interagieren.

2 John F. Nash

2.1 Biographie

Geboren wurde John F. Nash 1928 in Bluefield, West Wirginia (USA), als Sohn eines Elektroingenieurs und einer studierten Englischlehrerin. Bereits in der high school interessierte sich Nash für Chemie, Physik und Mathematik. Er beherrschte wichtige mathematische Beweise lange vor dem Studium. In Carnegie begann Nash erst ein Studium in Chemieingenieurwesen, wechselte aber nach einem Jahr zu Chemie. Doch da er, wie er selbst in seiner Autobiographie schreibt, nicht geschickt genug war, eine Pipette korrekt zu führen, wechselte er den Studiengang erneut und studierte von da an Mathematik. Sein Abschluss war derart gut, dass ihm Vollstipendien in Harvard und Princeton angeboten wurden. In Princeton schloss er den Master in Mathematik ab und publizierte in verschiedenen Gebieten der Mathematik und Ökonomie. In der Folge löste er einige bis dahin ungelöste Probleme, bevor er psychisch erkrankte und über viele Jahre hinweg behandelt werden musste. Das sehr wissenschaftliche Wesen von Nash erkennt man in dem Teil seiner Autobiographie, wo er die Zeit während seiner Erkrankung beschreibt:[2]

„Now I must arrive at the time of my change from scientific rationality of thinking into the delusional thinking characteristic of persons who are psychiatrically diagnosed as "schizophrenic" or "paranoid schizophrenic". […] And it did happen that when I had been long enough hospitalized that I would finally renounce my delusional hypotheses and revert to thinking of myself as a human of more conventional circumstances and return to mathematical research. […] But after my return to the dream-like delusional hypotheses in the later 60's I became a person of delusionally influenced thinking but of relatively moderate behavior and thus tended to avoid hospitalization and the direct attention of psychiatrists. [...] So at the present time I seem to be thinking rationally again in the style that is characteristic of scientists “ (vgl. Nash 1994).

Diese Zeilen zeigen einen Wissenschaftler, der kritisch über sich nachdenkt und seine eigenen Ideen und Konzepte während seiner Erkrankung „a hopeless waste of intellectual effort“ (vgl. Nash 1994) nennt. Vielleich war es dank seines rationalen Wesens möglich, dass Nash, nachdem sein Zustand wieder stabiler wurde, noch weitere mathematische Probleme löste und als Professor an die Universität zurückkehren konnte, wo man ihn auch heute noch antreffen kann.

2.2 Nashs Beiträge zum Gleichgewicht von nicht-kooperativen Spielen

In seinen Publikationen Equilibrium Points in n-Person Games (Nash, 1950b) und
Non-Cooperative Games (Nash, 1951) zeigte Nash, dass in jedem endlichen n-Personen Spiel mindestens ein Gleichgewichtspunkt existiert. Bevor Nash seine Beiträge publizierte, galten nur Zwei-Personen- Nullsummenspiele als komplett lösbar. Nash verallgemeinert das Konzept mit den sogenannten Nash-Gleichgewichten auf eine endliche Anzahl Spieler.

2.2.1 Equilibrium Points in n-Person Games (Nash, 1950b)

Nashs erste Publikation in der Spieltheorie ist eine Herleitung von Gleichgewichtspunkten, die knapp zwei Seiten umfasst. Zu Beginn definiert Nash ein Spielkonzept mit n-Spielern, von denen alle über ein endliches Set von reinen Strategien verfügen, mit bestimmten Auszahlungen zur jeweiligen Strategie. Bei gemischten Strategien entsprechen die Auszahlungen den Erwartungen der Spieler, die abhängig von der Wahrscheinlichkeitsverteilung über die reinen Strategien sind. Im geometrischen Raum nehmen die Wahrscheinlichkeiten polylineare Formen an. Nash argumentiert nun, dass jene Strategie einer anderen überlegen ist, wenn sie, gegeben der Strategie des Gegners, den höchsten erreichbaren Nutzen erreicht. „One such n-tuple counters another if the strategy of each player in the countering n-tuple yields the highest obtainable expectaion for its player against the n-1 strategies of the other players in the countered n-tuple. A self-countering n-tuple is called an equilibrium point.” (Nash 1950, S. 49).

Nash definiert im weiteren Verlauf, dass das Set der countering points, also der gegenseitigen Strategieräume[3], konvex ist und der umschliessende Graph (mapping) mit allen möglichen Lösungen stetig ist. Er beweist anhand des Kakutani’s-Theorems[4] dass das mapping[5] mindestens einen Gleichgewichtspunkt haben muss. Diese Erkenntnis wendet er auf das Zwei-Personen- Nullsummenspiel an, welches von von Neumann und Morgenstern im main theorem[6] beschrieben wurde. Es zeigt, dass man mit seiner Methode zu denselben Gleichgewichtspunkten gelangt (vgl. Nash 1950, S. 1).

Der im Jahre 1951 publizierte Artikel Non-Cooperative Games (Nash, 1951) befasst sich ebenfalls mit der Existenz von Gleichgewichten in nicht-kooperativen Spielen, ist jedoch ausführlicher und enthält mehr Interpretationen und Beweise. Nash untersucht hier, im Gegensatz zu von Neumann und Morgenstern, nicht-kooperative Spielformen. „Our theory, in contradistinction, is based on the absence of coalitions in that it is assumed that each participant acts independently, without collaboration or communication with any of the others.“ (Nash 1951, S. 286).

Die Haupterkenntnis seines Papers legt er auch gleich zu Beginn dar: „The notion of an equilibrium point is the basic ingredient in our theory. This notion yields a generalization of the concept of the solution of a two-person zero-sum game. It turns out that the set of equilibrium points of a two-person zero-sume game is simply the set of all pairs of opposing 'good strategies'.” (Nash 1951, S. 286).

Nash definiert zu Beginn der Publikation wiederum einige formale Konzepte. Dies sind eine endliche Anzahl Spieler und ein Set von Strategien. Die gemischten Strategien werden als Wahrscheinlichkeitsverteilung auf die Strategien von einem jeweiligen Spieler i definiert. Ein (Nash-)Gleichgewichtspunkt ist jenes gemischte Strategieprofil s wenn gilt:

Ui(s) = max. Ui (s|s'i)

Wobei s|s’i für das Strategieprofil (s1,...,si-1 | s'i,...,s'n) steht und Ui die Payoff-Funktion darstellt (vgl. van Damme und Weibull 1995, S. 19). Nash verdeutlicht: „Thus an equilibrium point is an n-tuple s such that each player’s mixed strategy maximizes his payoff if the strategies of the others are held fixed. Thus each player’s strategy is optimal against those of the others.” (Nash 1951, S. 287).

Nash stellt im Verlauf seiner Arbeit mathematische Theoreme auf, die er anschiessend beweist. Der wichtigste Beweis ist zum Theorem 1 (vgl. Nash 1951, S.288). Dieses besagt, dass in jedem endlichen Spiel einen Gleichgewichtspunkt existiert. Er geht im Weiteren auch auf die geometrische Form der Strategievektorräume ein und beweist, dass die Gleichgewichtsstrategien in einem lösbaren Spiel polyhedrale[7], konvexe Teilmengen des gemischten Strategieraumes sind (vgl. Nash 1951, S.288).

Seine Beweisführung macht Nash in dieser Publikation (1951) nicht mehr anhand Kakutani’s fixed point theorem, sondern mit einem Beweis basierend auf dem Brouwer’s fixed point theorem[8]. Der Spieler wählt demnach seine Strategie so, dass er alle Strategiemöglichkeiten berücksichtigt. Er schliesst so lange die anderen Alternativen aus, bis ein Gleichgewicht resultiert, das ihm den höchsten Nutzen stiftet und hat somit keinen Anreiz mehr, unilateral abzuweichen. Geometrisch ist der Strategieraum wiederum konvex, stetig und kompakt und auch wenn der Raum sich verkleinert, muss ein fixer (Gleichgewichts-)Punkt resultieren (vgl. Nash 1951, S. 292ff.).

Bei diesen Berechnungen muss stets angenommen werden, dass die Spieler die gesamte Spielstruktur kennen, also komplette Informationen besitzen, was Nash als ziemlich idealistische Annahme betrachtete. Die Arbeit von Harsanyi, auf die wir weiter unten eingehen (vgl. S. 13), nimmt sich diesem Problem genauer an.

2.2.2 Auswirkungen des Nash-Gleichgewichts auf die ökonomische Forschung

Nashs Gleichgewichtsbeweise ermöglichten es, nicht mehr bloss Zwei-Personen-Nullsummenspiele zu analysieren, sondern Spiele mit mehreren Spielern und arbiträren (beliebigen) payoff s[9] zu lösen.. Durch seine Methode der gegenseitig besten Antwort schuf er die Möglichkeit, nicht nur „Spiele“, sondern reale ökonomische Probleme zu analysieren (vgl. Gul 1997, S.164).

Nash-Gleichgewichte oder konkret die Lösungsansätze zu den n-Personen-Spielen, sind das Hauptwerkzeug, um den Konflikt zwischen individuellen Anreizen und Effizienz, das Problem der Koordination oder die Bedeutung der Einberechnung der Überlegungen des Gegners etc. zu analysieren (vgl. Gul 1997, S.164).

Diese beiden Beiträge zur nicht-kooperativen Spieltheorie waren insbesondere für die Ökonomie bahnbrechend. Bevor Nash seine spieltheoretischen Beiträge publizierte, waren sich Ökonomen uneinig, wie man mit den Problemen oligopolistischer Interaktionen umgehen sollte. Der Fokus lag oftmals auf extremen Marktsituationen, in denen individuelle Spieler oder Händler nicht Gegenstand der Untersuchung waren, wie in stark kompetitiven Märkten, oder in Situationen, in welchen oligopolistische Interaktionen nicht existierten, wie etwa im Fall eines Monopols. Nashs Beiträge (1950 und 1951) verbesserten die Analysemöglichkeiten enorm. Die Ökonomie hatte fortan ein Instrument um oligopolistische Interaktionen zu analysieren und konnte sich von der Analyse extremer Marktsituationen etwas distanzieren und realistischere Fälle untersuchen (vgl. Güth 1994, S.256).

2.3 Nashs Arbeiten zu kooperativen Spielen

In seiner Arbeit The Bargaining Problem (Nash, 1950a) stellt John Nash ein Lösungskonzept für Verhandlungsspiele vor. Nash definiert dafür ein Spiel mit zwei Personen, die nun nicht mehr in einem nicht-kooperativen Umfeld, sondern in einem kooperativen Verhandlungsspiel interagieren. Die Nutzenfunktionen der Spieler werden als Vektoren in einer kartesischen Ebene dargestellt. Ähnlich wie bei den Publikationen Equilibrium Points in n-Person Games (Nash, 1950b) und Non-Cooperative Games (Nash, 1951) verwendet Nash auch hier einen mathematischen Fixpunktsatz um seine Gleichgewichte zu beweisen.

Vorerst definiert Nash einige Bedingungen, damit die Spieler ihre Nutzen, die sie aus den verschiedenen möglichen outcomes[10] des Spiels erwarten, eindeutig einteilen können (vgl. Nash 1950, S. 155).

1. Jedes Individuum im Spiel kann zwei Erwartungen A und B so bewerten, dass gilt:
A > B, A = B oder A < B.
2. Die Präferenzordnung ist transitiv. Wenn A > B > C, dann gilt auch A > C.
3. Alle möglichen Kombinationen von gleich hohem Nutzen sind genau gleich viel wert. Wenn A = B, dann ist auch 0.5 × A + 0.5 × B = A = B.
4. Wenn A > B > C, dann gibt es eine Wahrscheinlichkeitskombination von A und C, die genau gleich viel wert ist wie C. Es gibt Wahrscheinlichkeiten p und q die zu
p × A + q × C = C führen.
5. Wenn 0 ≤ p ≤ 1 und A = B, dann gilt p × A + (1-p) × C = p × B + (1-p) × C. Mit anderen Worten: Wenn A = B, dann kann A durch B oder B durch A substituiert werden.

Nash zeigt, dass diese Annahmen ausreichen, um eine eindeutige Nutzenfunktion für jeden Spieler zu generieren (vgl. Nash 1950, S.157). Sind die Nutzenfunkionen definiert, so können sie als Vektoren dargestellt werden. Die Funktion sollte konvex und stetig sein, ansonsten kann keine mathematische Lösung gefunden werden. Diese Annahmen sind laut Nash aber bereits erfüllt, wenn die Nutzen der Spieler endlich sind und keinem der oben erwähnten Punkte (1.-5.) wiedersprechen. Weiter werden alle Alternativen ausgeschlossen, bei welchen die Spieler bei einem Gleichgewicht ohne Kooperation eine höhere Auszahlung erhalten als bei einem Gleichgewicht mit Kooperation (vgl. Nash 1950, S. 158).

Nun stellt Nash weitere drei Annahmen auf, damit solche Spiele zu einem eindeutigen Ergebnis des Nutzenvektors im ersten Quadrant der zuvor definierten kartesischen Ebene gelangen. Dazu definiert er vorerst den Lösungspunkt c(S) der sich im kompakten und konvexen Raum S befindet, der den Nullpunkt beinhaltet. Die Nutzenfunktionen von Spieler i wird als Ui dargestellt.

[...]


[1] Die Auszahlungen der aller Spieler summieren sich auf Null.

[2] vgl. Autobiographie John F. Nash, aus: Les Prix Nobel, The Nobel Prizes 1994, Editor Tore Frängsmyr [Noble Foundation], Stockholm 1995.

[3] Alle Strategien, die ein Spieler wählen kann, inklusive aller Strategien, die unter den Annahmen des nutzenmaximierenden Spielers niemals gespielt werden.

[4] Ein mathematischer Fixpunktsatz.

[5] Das eintragen von Strategie-, outcome - oder Entscheidungs-Vektoren in ein Koordinatensystem.

[6] Grundtheorem der Spieltheorie (vgl. von Neumann und Morgenstern, 1947).

[7] Räumliche geometrische Form. Die wohl bekannteste polyhedrale Form ist das Dodekaeder.

[8] Ein mathematischer Fixpunktsatz.

[9] Auszahlungen für die Spieler am Ende des Spiels.

[10] Die Ergebnisse, die am Ende des Spiels resultieren.

Details

Seiten
35
Jahr
2010
ISBN (eBook)
9783640963546
ISBN (Buch)
9783640963645
Dateigröße
542 KB
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v175415
Institution / Hochschule
Universität Bern – Volkswirtschaft
Note
1.5
Schlagworte
Spieltheorie Nash Selten Harsanyi Nobelpreisträger 1994 Ökonomie VWL Mikroökonomie Nash-Gleichgewicht Tremble-Hand Nobelpreis Volkswirtschaft Gleichgewicht Nobel Preis Information

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Titel: Die Beiträge von Nash, Harsanyi und Selten in der Spieltheorie