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Eine Übersicht über lineare Gleichungssysteme

Studienarbeit 2010 16 Seiten

Mathematik - Didaktik

Leseprobe

Gliederung:

1. Einleitung

2 Lineare Gleichungssysteme
2.1 Allgemeine Definition
2.2 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten historisch betrachtet
2.3 Lehrplanauskunft - was ist Pflicht und was ist schon bekannt (Vernetzungsknoten)

3. Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen

4. Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen
4.1 Geometrische Lösungsverfahren
4.2 Algebraische Lösungsverfahren

5. Lineare Gleichungssysteme mit GeoGebra

6. Fazit

Literaturverzeichnis

1. Einleitung

Lineare Gleichungssysteme begleiten uns überall im Leben, ob im Alltag oder in der Wirtschafts- bzw. Sozialwissenschaft. Fast jeder Bundesbürger besitzt ein Mobiltelefon, Bankkonto oder einen bestimmten Stromtarif. Aber wie genau kann man z.B. den besten Handytarif berechnen?

Wie werden außermathematische, aber auch innermathematische Problemstellungen, mit Hilfe des linearen Gleichungssystems im Rahmen des Mathematikunterrichts der Sekundarstufe I gelöst? Welche Mittel stehen den Schülerinnen und Schülern zur Lösung dieser Probleme zur Verfügung? Diese Fragen werden in unserer Ausarbeitung zum Seminar „Didaktik des Funktionsbegriffs“ der Universität Bielefeld, Wintersemester 2009/2010, bearbeitet. Nach der allgemeinen Definition des Begriffs „Lineares Gleichungssystem“, soll das Thema anhand von linearen Gleichungssystemen mit zwei Variablen näher erläutert werden. Es folgt ein kurzer Überblick der historischen Betrachtungsweise des Themenbereiches. Anschließend möchten wir die Einordnung in Bezug auf den Lehrplan vornehmen und beleuchten welche Voraussetzungen Schülerinnen und Schüler erfüllen müssen, wenn lineare Gleichungssysteme im Mathematikunterricht eingeführt werden.

Im darauffolgenden Abschnitt stellen wir die Lösungsverfahren linearer Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten vor. Sowohl die geometrische Lösungsmethode, als auch die drei algebraischen Verfahren werden beschrieben und im Bezug auf die jeweilige Eignung überprüft.

Der Einsatz von neuen Medien ist ein fester Bestandteil des Kernlehrplans im Fach Mathematik der Sekundarstufe I an Realschulen. Warum sich das Thema „Lineare Gleichungssysteme“ besonders für den Einsatz des Computers (insbesondere des dynamischen Zeichenprogramms „GeoGebra“) eignet, klären wir ebenfalls im weiteren Verlauf der Ausarbeitung.

Abschließend werden die wesentlichen Erkenntnisse in einem Fazit zusammengefasst.

2. Lineare Gleichungssysteme

2.1 Allgemeine Definition

Die Notwendigkeit, Gleichungen aufzustellen - und natürlich zu lösen-, die mehr als eine Unbekannte enthalten, ergibt sich in der Praxis recht häufig1. „(…)weil es manchmal vorkommt, dass man Beziehungen zwischen zwei oder mehr Größen hat und aus diesen Beziehungen die Werte der Größen berechnen muss.“2 In solchen Fällen enthält eine Gleichung statt einer, mehrere von einander abhängiger Variablen.

Lineare Gleichungen mit n Variablen (x1,…, xn) werden in der Form

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

dargestellt, wobei a und b konstante, reelle Zahlen sind.

Wenn die Variablen (x1,…, xn) gleichzeitig mehrere Gleichungen erfüllen sollen, spricht man von einem linearen Gleichungssystem. Allgemein lässt sich ein Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten immer in die folgende Form bringen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Koeffizienten azs haben zwei Indizes. Der erste Index bezieht sich auf die Gleichung (Spalte), während der Zweite die Variable (Zeile) bezeichnet. Die n-Tupel (x1,…, xn), welche alle Gleichungen erfüllen, bilden die Lösungsmenge des Gleichungssystems. Zur eindeutigen Bestimmung der n Variablen eines LGS sind genau n linear unabhängigen Gleichungen erforderlich, die einander nicht widersprechen dürfen.3

Lineare Gleichungssysteme besitzen nicht nur in verschiedenen Bereichen der Mathematik, sondern auch im Hinblick auf außermathematische Anwendungen, einen zentralen Stellenwert.4 Im Folgenden soll dieses Thema anhand von linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen näher betrachtet werden.

2.2 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen - historisch betrachtet

Im Vergleich zu anderen mathematischen Themenbereichen, wie der Geschichte der Analysis, ist die Entstehung der „Linearen Algebra“ bisher relativ wenig erforscht worden. Die Herkunft bzw. die Entstehung linearer Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten muss hauptsächlich über Umwege aus konkreten Zahlenbeispielen erschlossen werden, da nur wenige Informationen aus der Literatur hervorgehen. Folglich muss auf Sekundärliteratur zurückgegriffen und die Gesamtdarstellung der Mathematik als weitere Hilfestellung mit einbezogen werden.

Heutzutage wird für die Lösung von Gleichungssystemen mit zwei Variablen das Einsetzungsverfahren, das Additionsverfahren oder das Gleichsetzungsverfahren genutzt.

Allerdings reicht das Lösen von linearen Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten weit in die Zeit zurück, denn bereits um 1700 v. Chr. konnten die Unbekannten der zwei Gleichungen von den Babyloniern entschlüsselt werden.5

Weiter ist bekannt, dass die Griechen 300 n. Chr. bestimmte Symbole für die unterschiedlichen Rechenoperationen zur Hilfe nahmen, um bei linearen Gleichungssystemen zu einem Ergebnis zu gelangen.6

Es besteht durchaus die Möglichkeit, dass schon in anderen Kulturen vor dieser Zeit lineare Gleichungssysteme gelöst werden konnten. Dennoch ist es durch wenige bzw. vielleicht auch unverständliche Überlieferungen immer noch praktisch unmöglich dieses herauszufinden.

2.3 Lehrplanauskunft - was ist Pflicht und was ist schon bekannt (Vernetzungsknoten)

Im Bereich der linearen Gleichungssysteme lassen sich viele Vernetzungsknoten zu anderen Themenbereiche der Schulmathematik der Sekundarstufe 1 ziehen. Bereits nach der sechsten Klasse haben Schülerinnen und Schüler (SuS)7 Terme kennen gelernt und können diese in mathematische Modelle übersetzen, sowie mathematische Modelle auf eine Realsituation übertragen.8 Dazu ist es notwendig mengentheoretische Begriffe, wie Lösungsmenge, Grundmenge, Schnittmenge usw. zu kennen. Des Weiteren sollten nach Ende der Jahrgangsstufe 6 die Begriffe, wie Gerade, Punkt usw. bekannt sein, die zur Vernetzung notwendig sind.

Am Ende der Jahrgangsstufe 8 sollten die SuS lineare Funktionen und Gleichungen in mathematische Modelle übersetzen können und umgekehrt. „SuS übersetzen einfache Realsituationen in mathematische Modelle (Zuordnungen, lineare Funktionen, Gleichungen, Zufallsversuche)“.9 „SuS ordnen einem mathematischen Modell (Tabelle, Graf, Gleichung) eine passende Realsituation zu“.10 Ebenfalls sollten die SuS Termumformungen mithilfe der Rechengesetze, sowie die Äquivalenzumformungen zum Lösen einer linearen Gleichung verinnerlicht haben und bei inner- und außermathematischen Problemen anwenden können.

Dies trägt dazu bei, dass das Kennenlernen und Verstehen der verschiedenen Verfahren zur Eliminierung einer Variablen, wie das Additionsverfahren, das Gleichsetzungsverfahren oder das Einsetzungsverfahren, leichter fällt. Zusätzlich soll das graphische lösen zum besseren Verständnis beitragen.

Explizit wird dies an zwei Stellen im aktuellen Lehrplan aufgeführt:

„SuS lösen lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen sowohl durch Probieren als auch algebraisch und grafisch und nutzen die Probe als Rechenkontrolle.“11

[...]


1 Vgl. Brück 2009, S. 162

2 Rießinger 2007, S. 263

3 Vgl. Kreul/Zierbach 2006, S.327

4 Vgl. Tietze/Klika/Wolpers 2000, S. 33

5 Vgl. v.d. Warerden 1956; S. 101ff

6 Vgl. Popp 1981

7 Um den Lesefluss im Weiteren Verlauf nicht zu stören, werden Schülerinnen und Schüler wie folgt Abgekürzt (SuS)

8 Vgl. Kernlehrplan für die Realschule in Nordrhein-Westfalen, Mathematik, Sekundarstufe I, Heft 3302, S. 19

9 Kernlehrplan für die Realschule in Nordrhein-Westfalen, Mathematik, Sekundarstufe I, Heft 3302, S. 23

10 Kernlehrplan für die Realschule in Nordrhein-Westfalen, Mathematik, Sekundarstufe I, Heft 3302, S. 23

11 Kernlehrplan für die Realschule in Nordrhein-Westfalen, Mathematik, Sekundarstufe I, Heft 3302, S. 29

Details

Seiten
16
Jahr
2010
ISBN (eBook)
9783656020394
ISBN (Buch)
9783656020554
Dateigröße
536 KB
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v179570
Institution / Hochschule
Universität Bielefeld
Note
2,3
Schlagworte
Gleichungen GeoGebra Gleichungssysteme Funktionen

Autor

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Titel: Eine Übersicht über lineare Gleichungssysteme