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Die Zahlbereichserweiterung zu den Rationalen Zahlen

Erläuterung, Beweise und Herleitung

Hausarbeit 2011 10 Seiten

Mathematik - Algebra

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Grundlegendes zu den rationalen Zahlen

Äquivalenzrelation: Beweise
Dazu ein Beispiel

Definition der rationalen Zahlen
Veranschaulichung als Äquivalenzklassen
Definition der Addition und Multiplikation

Rechenregeln: Beweise

Literaturverzeichnis

Grundlegendes zu den rationalen Zahlen

Die ganzen Zahlen haben die Eigenschaft, dass jede Additionsgleichung mit Koeffi- zienten aus - lösbar ist. Bei der Definition der rationalen Zahlen geht es nun darum, eine Entsprechung für Multiplikationsgleichungen zu finden. Nachfolgend wollen wir in die rationalen Zahlen einführen und den Umgang mit diesen deutlich machen. Wir halten uns dabei stark an REISS/SCHMIEDER (2007) und verweisen auf deren Publika- tion. In vorangegangenen Kapiteln bzw. Vorlesungen wurden die natürlichen Zahlen aus den Peano-Axiomen entwickelt und die ganzen Zahlen als Äquivalenzklassen von Paaren natürlicher Zahlen hergeleitet. Durch eine ganz ähnliche Überlegung wird man nun die rationalen Zahlen auf der Grundlage der ganzen Zahlen bekommen.

Es sei noch einmal daran erinnert, dass die ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen hergeleitet wurden, indem zunächst Gleichungen der Form a = b + x mit a, b ∈ ℕ be-

trachtet wurden. Die Gleichungen a 1 = b 1 + x und a 2 = b 2 + x (mit a 1, a 2, b 1, b 2 ∈ ℕ ) wurden als gleichwertig (äquivalent) bezeichnet, wenn sie dieselbe Lösung x ∈ - hat- ten. Selbstverständlich durfte man erst nach der Einführung von - von einer solchen ganzzahligen Lösung x sprechen. Man kann analog zu den ganzen Zahlen nun auch die multiplikative Gleichung a = b - x betrachten, wobei a und b ganze Zahlen be- zeichnen. Es ist offenbar vernünftig, b ≠ 0 anzunehmen, denn für b = 0 kann diese Gleichung ohnehin entweder nicht lösbar sein (für a ≠ 0 ), oder aber sie ist nicht ein- deutig lösbar (wenn auch a = 0 ist, so ist jede ganze Zahl eine Lösung).

Von den angestrebten ”Lösungen“x im Fall b ≠ 0 und a = 0 wird natürlich erwartet, dass sie unter Anderem das Distributivgesetz erfüllen. Aus diesem Gesetz und dem (auch für die zu definierenden rationalen Zahlen wünschenswerten) nach eindeutiger Lösbarkeit von Gleichungen ergibt sich, dass die Multiplikation mit 0 immer das Ergebnis 0 haben muss. Aus x - 0 + x - 0 = x - (0 + 0) = x - 0 folgt x - 0 = 0.

Um zur eigentlichen Definition der rationalen Zahlen zu kommen, wird wieder die schon beim Erzeugen der ganzen Zahlen verwendete Methode benutzt, die zu be- schreibenden Objekte (also die rationalen Zahlen) mit Gleichungen (diesmal des Typs a = b - x) zu identifizieren. Dabei sollen entsprechend Gleichungen als äquivalent an- gesehen werden, die (später einmal, wenn die rationalen Zahlen zur Verfügung ste- hen) für ein und dasselbe x erfüllt sind. Die Gleichungen 3 = 4 x und 6 = 8 x und 24 = 32 x werden vernünftigerweise äquivalent sein. Zu sagen, wann ganz genau Glei- chungen äquivalent sind, muss allerdings ein wesentlicher Bestandteil der anstehen- den Definition sein.1 Ebenso bringt es nicht weiter, sich die rationalen Zahlen als die ”Brüche“a mit a, b ∈ -, b ≠ 0 klarmachen zu wollen, es sei denn, man verbindet mit b diesem Begriff nichts anderes als die Paare (a,b). Dann müsste man allerdings noch (a,b) und beispielsweise (5 a, 5 b) als äquivalent identifizieren und danach die Rechenoperationen für diese Paare erklären. Es läuft alles darauf hinaus, die Gleichung c = d - x mit c, d ∈ -, d ≠ 0 als gleichbedeutend (äquivalent) mit a = b - x einzustufen, falls ad = bc gilt.2

Man beachte, dass die dort definierte Äquivalenzrelation nicht dieselbe ist wie die in Kapitel 6 definierte Relation zur Einführung der ganzen Zahlen. Diese Relation dient ja auch einem ganz anderen Ziel. Man möchte im Ergebnis so etwas wie gleich große Brüche beschreiben, also wissen, wann (a, b) und (c, d) derselben Zahl entsprechen, also (a, b) ~ (c, d) sind. Die für Lösungen aus - gefundene Setzung für ~ wird dann auf alle (a, b), (c, d) ∈ - × (- \ {0}) übertragen. Äquivalenzrelation: Beweise Satz 1 Auf der Menge - × (- \ {0}) = { z 1, z 2 ) | z 1 ∈ -, z 2 ∈ - \ { 0}} ist durch (a, b) ~ (c, d) :⇔ ad = bc eine Äquivalenzrelation definiert. Beweis 1 Es ist nachzuweisen, dass diese Relation auf - × (- \ { 0}), b ≠ 0 reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

Die Äquivalenz (a, b)~(a, b) bedeutet ab = ba,was für alle a, b ∈ - mit b ≠ 0 richtig ist. Also ist die Reflexivität erfüllt.

Die Symmetrie einer zweistelligen Relation R auf einer Menge ist gegeben, wenn aus x ~ y stets y ~ x folgt. Man nennt R dann symmetrisch. In unserem Fall ist zu zeigen, dass (a, b) ~ (c, d) ⇒ (c, d) ~ (a, b) für alle (a, b), (c, d) ∈ - × (- \ {0}) gilt. Die Aussage (c, d) ~ (a, b) heißt also nichts anderes als cb = daad = bc, also zu (a, b) ~ (c, d). Damit ist die Symmetrie gegeben.

Die Transitivität einer zweistelligen Relation R auf einer Menge ist gegeben, wenn aus x R y und y R z stets x R z folgt. Man nennt R dann transitiv. Schließlich gilt mit ad = bc und cf = de auch adf = bcf und bcf = bde, also ist adf = bde. Dann ist (afbe) - d = 0 . Da d ≠ 0 vorausgesetzt ist, folgt afbe = 0 und damit af = be. Also ist auch die Transitivität gezeigt.

Dazu ein Beispiel

Bezüglich der Relation ~ ist (−1, 2) äquivalent zu(1, −2), (−2, 4), (3, −6) , allgemein zu (− n, 2 n) ,wenn n eine ganze Zahl ungleich 0 ist. Es stimmt jedoch nicht, dass die Paare (a,b) und (c,d) genau dann äquivalent sind, wenn ein n ∈ - existiert mit (na, nb) = (c, d). So ist zwar (3,−6) zu (−1,2) äquivalent, aber einen Faktor n ∈ - mit (3 n, −6 n) = (−1, 2) gibt es nicht, außer wenn der ggT (c, d) = 1 ist.

[...]


1 Dazu sei angemerkt: „Es wäre nun nicht in Ordnung, an dieser Stelle eine rationale Zahl als das Ergebnis der Division einer ganzen mit einer natürlichen Zahl zu erklären, da eben diese Division in den vorangegangenen Kapiteln nicht eingeführt wurde.“, REISS/SCHMIEDER (2007), S. 300.

2 Das lässt sich begründen, wenn man sich auf x ∈ - beschränkt.

Details

Seiten
10
Jahr
2011
ISBN (eBook)
9783656031468
ISBN (Buch)
9783656031697
Dateigröße
389 KB
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v179930
Institution / Hochschule
Universität Bremen
Note
1,0
Schlagworte
zahlbereichserweiterung rationalen zahlen erläuterung beweise herleitung

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Titel: Die Zahlbereichserweiterung zu den Rationalen Zahlen