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Eine Unterrichtsstunde mit Reflexion zum Thema "Lineare Gleichungssysteme" für die Klassenstufe 8

Unterrichtsentwurf 2011 24 Seiten

Mathematik - Didaktik

Leseprobe

Inhalt

1 Einleitung

2 Unterrichtsentwurf
2.1 Beschreibung der Lerngruppe
2.2 Einordnung der Stunde in den Unterrichtszusammenhang
2.3 Sachanalyse
2.4 Didaktische Analyse
2.4.1 Relevanzanalyse
2.4.2 Didaktische Konstruktion
2.4.3 Lernziele
2.5 Überlegungen zur Methode
2.6 Hausaufgabe

3 Reflexion der Stunde

4 Fazit

Anhang

1 Einleitung

Die Studienordnung des „Master Lehramt an Gymnasien“ legt fest, dass in beiden Fächern des Studiums ein fünfwöchiges Fachpraktikum an der Schule absolviert werden muss. Dabei sah ich das vor mir Liegende als eine gute Gelegenheit, sich selbst auszuprobieren und bereits wichtige Erfahrungen für das bald anstehende Referendariat zu sammeln. Bisher hatte ich, abgesehen von meiner eigenen Schulzeit, schon während des allgemeinen Schulpraktikums und des Fachprakti­kums Sport die Möglichkeit, einen Blick auf den Schulalltag zu werfen. Doch für diese Praktika hatte ich bereits im Studium ausreichend Erfahrungen gesammelt, um mich relativ sicher zu füh­len. Das Mathematikstudium jedoch beinhaltet andere Schwerpunkte, als z.B. mein Studium am Sportinstitut. In keiner mathematischen Veranstaltung musste ich ein Referat halten, geschweige denn eine Stunde anleiten, wie es in Seminare der Sportwissenschaft oder den Erziehungswis­senschaften Gang und Gebe ist. Genau wegen dieser mangelnden Erfahrung bzgl. des Mathema­tik-Unterrichtens kam ich mir im Vorfeld des Praktikums weitaus weniger selbstsicher und sou­verän vor.

Das Praktikum wurde durch ein semesterbegleitendes Seminar vorbereitet. Darüber hinaus wur­de bereits im Dezember die Schule besichtigt, wobei gemeinsam Unterricht vorbereitet, durchge­führt und ausgewertet wurde. Wegen dieses Termins, reduzierte sich die Praktikumszeit auf vier Wochen, in denen wir jeweils ca. zwölf Stunden im Unterricht verbringen sollten. Eine weitere Vorgabe war, dass wir mindestens zweimal selbst unterrichten. Ich war zusammen mit Frau Mül­ler für die Klasse 8f von Frau Meier eingeteilt. Außerdem Besuchte ich die 5a bei Frau Mayer, 7b sowie 7e bei Frau Meyer, eine 10. Klasse bei Frau Meier und die Grundkurse der Jahr­gangsstufe 11 bei Herrn Höver und Herrn Settver.

Anschließend an den folgenden Stundenentwurf möchte ich zunächst den gehaltenen Unterricht reflektieren, um anschließend das gesamte Praktikum Revue passieren zu lassen und zu prüfen, ob sich meine anfänglichen Erwartungen erfüllt haben und zu erörtern, was ich in diesem Prakti­kum für meinen zukünftigen Werdegang gelernt habe.

2 Unterrichtsentwurf

Thema „Algebraische Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme“

2.1 Beschreibung der Lerngruppe

Die Klasse 8f setzt sich aus 17 Schülerinnen und 11 Schülern zusammen. Im Rahmen meines Praktikums habe ich vor meiner Stunde bereits zwei Wochen den Mathematikunterricht dieser Klasse hospitiert, welcher in dieser Klassenstufe dreistündig erteilt wird. Das generell angeneh­me Arbeitsklima wird von kleinen, alterstypischen Schwierigkeiten getrübt. Die Mitarbeit der Schüler[1] ist nicht nur gemischt, sondern wechselt auch intrapersonell von Tag zu Tag. Während Klaus, Peter und Helga den Unterricht in hohem Maße tragen und voranbringen, gibt es eine Vielzahl von Schülern, die dem Unterrichtsgeschehen mehr oder weniger folgt und sich nur ge­legentlich beteiligt. Besonders Miriam, Agatha, Christina, Annika und Herbert sind häufig abge­lenkt und bei Fragen fallt auf, dass sie dem Unterricht nicht folgen. Eine Art Sonderstellung nimmt der neu in die Klasse gekommene Florian ein, da er sich zwar fachlich engagiert, aber häufig Probleme hat, sich zu konzentrieren und dadurch ungenau arbeitet.

Wegen dieses Leistungsgefälles kommt es häufig dazu, dass der Unterricht nur von den leis­tungsstarken Schülern getragen wird und der Rest der Klasse sich „zurücklehnt“. Darum muss im Unterricht explizit darauf geachtet werden, dass insbesondere die Gruppe der weniger­Leistungsstarken mit einbezogen wird und dass vor allem bei Miriam und Florian kontrolliert wird, ob sie die entsprechenden Arbeitsaufträge auch wirklich bearbeiten.

Die Klasse tendiert im Allgemeinen eher dazu, Mitschüler leise um Hilfe zu bitten als ihre Schwierigkeiten im Plenum bzw. dem Lehrer gegenüber zu äußern. Trotz dieser Unsicherheit gibt es keinen Schüler, der Probleme hat, Aufgaben vor der Klasse zu lösen oder Ergebnisse zu präsentieren.

2.2 Einordnung der Stunde in den Unterrichtszusammenhang

Bei der Doppelstunde handelt es sich um die letzten beiden Stunden der Unterrichtseinheit „line­are Gleichungssysteme“, für die insgesamt 18 Unterrichtsstunden geplant waren. Zu Beginn der Einheit wurden die zwei Lösungsmöglichkeiten Einsetzungsverfahren und Gleichsetzungsver­fahren für Lineare Gleichungssysteme behandelt. Hierbei lag der Schwerpunkt auf dem Um­wandeln von Textaufgaben in Gleichungssysteme z.B. bei Altersrätseln. In der Stunde vor der geplanten Einheit wurde die geometrische Lösbarkeit von Gleichungssystemen thematisiert und hier bereits zwischen den drei Fällen „keine Lösung“, „genau eine Lösung“ und „unendliche vie­le Lösungen“ unterschieden. Da eine ausführliche Besprechung der gestellten Hausaufgabe aus Zeitgründen vernachlässigt wurde, die Schüler jedoch scheinbar noch Schwierigkeiten im Um­gang mit Geradengleichung und Steigungsdreieck hatten, soll eine Wiederholung des entspre­chenden Stoffs in der geplanten Stunde nachgeholt werden.

Als Hausaufgabe zur geplanten Stunde sollten die in der Stunde vorformulierten geometrischen Begründungen zu Hause „ins Reine“ geschrieben werden. Außerdem sollten drei lineare Glei­chungssysteme (LGS) zeichnerisch gelöst werden.[2]

In der geplanten Doppelstunde sollen nun, aufbauend auf den Erkenntnissen der letzten Stunde, durch einen Transfer von geometrischem auf algebraisches Denken Begründungen für die rech­nerische Lösbarkeit von Gleichungssystemen gefunden und formuliert werden.

2.3 Sachanalyse

Ein lineares Gleichungssystem ist die Zusammensetzung mehrerer gleichzeitig zu erfüllender li­nearer Gleichungen (Gleichungen ersten Grades) und lässt sich wie folgt darstellen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dabei sind die Koeffizienten a11, a12, ..., amn und b1, ..., bm (B) Elemente eines Körpers (meistens Elemente aus IR) und xi (i ∊ {1,..,n}) Variablen.

Es wird unterschieden zwischen homogenen, inhomogenen und quadratischen Gleichungssystemen. Falls B=0 gilt, heißt das System homogen. Hier existiert immer die triviale Lösung x=0. Ein System heißt in­homogen, wenn B ≠ 0 und quadratisch, wenn m=n ist.

Ob ein System lösbar ist oder nicht, lässt sich über die Betrachtung der Koeffizientenmatrix A und deren Rang entscheiden.[3] Der Rang (kurz rg) einer Matrix A ∊ M(m x n, IK) ist die Maxi­malzahl linear unabhängiger Spalten. Es gilt also rg A = Spaltenrang A. Zusätzlich gilt: Spalten­rang A = Zeilenrang A. Der Rang einer Matrix lässt sich als Dimension des Bildes von A:

IKn^ IKm interpretieren und ist deshalb auch definiert durch rg A := dim Bild(A) für A ∊ M(m x n, IK).[4] Der Rang einer Matrix wird bspw. über den Gauß-Algorithmus bestimmt, der eines der elementarsten und häufigsten Lösungsverfahren darstellt und auch Gauss'sches Eliminationsver­fahren genannt wird. Hierbei wird durch Äquivalenzumformungen[5] eine obere Dreiecksmatrix bzw. die Zeilenstufenform hergestellt, mit der man die Lösungsmenge leicht berechnen kann. Zu den Umformungen gehört (U1) Vertauschen zweier Gleichungen des Systems, (U2) Multiplika­tion einer Gleichung mit einer reellen Zahl k^0 und (U3) Addition einer Gleichung zu einer an­deren Gleichung.[6]

Neben der oben genannten trivialen Lösung (nur bei homogenen Systemen) wird unterschieden zwischen einer eindeutigen Lösung, unendlich vielen Lösungen und einem unlösbaren Glei­chungssystem. Bei einem unlösbaren Gleichungssystem gilt rg A ^ rg Ae (erweiterte

Koeffizientenmatrix), wodurch eine falsche Aussage (z.B. 0=1) entsteht. Sind die beiden Ränge gleich, folgt im Umkehrschluss, dass das System lösbar ist. Weist eine Matrix A vollen Rang auf, existiert ein eindeutiges Ergebnis. Die Lösungsmenge enthält unendlich viele Elemente, wenn der Rang der Matrix nicht voll ist.[7]

In Klasse 8 werden überwiegend 2x2- und 3x3-Systeme betrachtet, in denen über Einsetzungs- Gleichsetzungs- und Additionsverfahren inhomogene lineare Gleichungssysteme gelöst werden. Über diese Verfahren wird der Rang der Matrix bestimmt (der hier jedoch noch nicht so genannt wird), wodurch eine Aussage über die Lösung getroffen werden kann. Die Lösbarkeit der Systeme der linearen Algebra wird in dieser Klassenstufe hauptsächlich über Geraden definiert, d.h. falls ein 2x2-System eine Lösung besitzt, schneiden sich die Geraden, falls der Rang eins ist, sind sie iden­tisch und falls eine falsche Aussage existiert, liegen die Geraden parallel. Diese Interpretation muss im weiteren Verlauf jedoch aufgegeben bzw. neu thematisiert werden, sobald größere Systeme im Unterrichtsverlauf auftauchen.[8]

2.4 Didaktische Analyse

2.4.1 Relevanzanalyse

Lineare Gleichungssysteme sind Bestandteil vieler Gebiete der Mathematik. Beispielsweise sind sie bei der Übertragung auf quadratische Funktionen[9], die später in Klasse 8 auftauchen, oder be­sonders in der linearen Algebra der höheren Klassen von Bedeutung. Außerdem werden Glei­chungssysteme benötigt, um Lagebeziehungen von Geraden oder Ebenen anhand von Vektoren zu bestimmen. Die schriftlichen Rechnungen hierzu sind im Abitur relevant. Außerdem spielen LGS bei der Betrachtung mathematischer Prozesse und somit in der Matrizenrechnung, die eben­falls in der Oberstufe thematisiert werden, eine wichtige Rolle.

Das Kerncurriculum nennt für das Ende der achten Klasse im inhaltsbezogenen Kompetenzbe­reich folgende Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler:

- beschreiben Sachverhalte durch Terme und Gleichungen,
- nutzen Terme und Gleichungen zur Problemlösung,
- wenden algebraische, nummerische und grafische Verfahren oder geometrische Konstrukte zur Problemlösung an,
- formen Terme mit Rechengesetzen um,
- lösen lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen algebraisch,
- untersuchen Fragen der Lösbarkeit von Gleichungen und Gleichungssystemen und formulieren diesbezüglich Aussagen.[10]

Lineare Gleichungssysteme bieten vielfältige Darstellungsmöglichkeiten im Unterricht. Anwen­dungssituationen führen zu Gleichungssystemen, die durch einen Graphen, eine Tabelle oder symbolisch gelöst werden können. Über diese Darstellungsformen gelangt man in der 8. Klasse und auch in den späteren Klassenstufen zu symbolischen Verfahren (Gleichungen), stückweise definierten Funktionen, Lagebeziehungen, Lösbarkeit und Matrizen. Zur Einführung der Thema­tik sind realitätsnahe Anwendungen und deren Modellierung sehr sinnvoll.[11] Im prozessbezogenen Bereich sind im Kerncurriculum die Kompetenzen „Mathematisch argu­mentieren“ und „Kommunizieren“ verankert. Hierunter fallen beim Erstgenannten das Nutzen mathematischen Wissens für Begründungen sowie das Finden von Begründungen durch Zurück­führung auf Bekanntes. In den Bereich des Kommunizieren fallen das verständliche Mitteilen von Überlegungen (durch Fachsprache), das Präsentieren von Lösungsansätzen und -wegen so­wie das Strukturieren, Interpretieren, Analysieren und Bewerten von Daten und Informationen aus Texten.[12]

2.4.2 Didaktische Konstruktion

Die vorliegende Stunde konzentriert sich vor allem auf die inhaltsbezogene Kompetenz „Schüle­rinnen und Schüler untersuchen Fragen der Lösbarkeit von Gleichungen und Gleichungssyste­men und formulieren diesbezüglich Aussagen“.[13] Den Schwerpunkt der Stunde bildet hierbei die schülerzentrierte Erarbeitung von Begründungen über die Lösbarkeit von LGS. Da die geometri­sche Deutung bereits in der letzten Stunde thematisiert wurde, geht es in der geplanten Stunde lediglich um algebraische Begründungen. Die gezeichneten Geraden werden daher ausschließ­lich für Verständnistransfer und Kontrolle genutzt. Die Lernschrittabfolge orientiert sich am Prinzip „vom Speziellen zum Allgemeinen“. Das bedeutet, dass von konkreten Beispielaufgaben auf allgemeine Aussagen zur Lösbarkeit von LGS geschlossen werden soll.

Die geplante Stunde beginnt mit der Besprechung der zu Hause formulierten Regeln. Dies dient, neben der üblichen Kontrollfunktion, dazu, die Schüler dafür zu sensibilisieren, was es beim Formulieren mathematischer Regeln zu beachten gilt. Um den Transfer von einem geometri­schen auf ein algebraisches Verständnis möglichst simpel zu halten, wähle ich als Beispiele für den algebraischen Weg bewusst die Aufgaben, die in der Hausaufgabe bereits zeichnerisch ge­löst wurden (diese sind Beispiele für je einen der drei Fälle). Damit dieser Transfer bei allen Schülern funktionieren kann, muss also zuvor gewährleistet sein, dass jeder Schüler die korrekte zeichnerische Lösung vorliegen hat. Deswegen wird auch zu diesem Hausaufgabenteil eine Ver­gleichs- und Besprechungsphase stattfinden. Wie schon in Kapitel 2.2 angesprochen, wird hier genügend Zeit eingeplant, um den aus Klassenstufe 7 bekannten Stoff kurz aufzufrischen. Dazu werden die Lösungen präsentiert sowie die Arbeitsschritte (LGS umstellen zu Geradengleichung, Zeichnen des Steigungsdreiecks) erläutert. Als Vorbereitung für den Hauptteil der Stunde wer­den im nächsten Schritt die LGS aus der Hausaufgabe rechnerisch gelöst und präsentiert. Nun sollen die Schüler zunächst den drei unterschiedlichen Ergebnissen einen der drei Fälle „genau eine Lösung“, „keine Lösung“ und „unendliche viele Lösungen“ zuordnen. Wenn dies gelungen ist, soll vom Beispiel auf die Allgemeinheit geschlossen und so für jeden der drei Fälle eine all­gemeingültige Aussage formuliert werden. In einer selbst konstruierten Anwendungsaufgabe werden die Arbeitsschritte der letzten Wochen zusammengeführt wodurch die gesamte Unter­richtseinheit abgeschlossen wird.

Da der Hausaufgabenvergleich nicht nur zur Sicherung der letzten Stunde dient, sondern elemen­tare Grundlage für den geplanten Unterricht ist, ist an dieser Stelle besonders darauf zu achten, dass alle Schüler die hier behandelten Grundlagen verstehen.[14]

In der Erarbeitungsphase, in der die LGS rechnerisch gelöst werden, ist der Zeitbedarf der Schü­ler wahrscheinlich sehr unterschiedlich. Grund hierfür ist neben der unterschiedlichen Rechenge­schwindigkeit die Tatsache, dass wahrscheinlich nicht alle in der Hausaufgabe die Gleichungen bereits nach y aufgelöst haben und diese direkt gleichsetzen können. Deswegen sollen bereits die Lösungen angeschrieben werden, während noch gerechnet wird, um so Zeit zu sparen.

Die größten Schwierigkeiten sind beim Hauptteil der Stunde zu erwarten. Zwar hat die Klasse schon durch die vergangene Stunde und die Hausaufgabe sowie deren Besprechung eine gewisse Vorkenntnis und Übung in Bezug auf das Formulieren mathematischer Begründungen, doch muss für ein erfolgreiches Unterrichtsgespräch durch die vorherigen Lernschritte das gewünschte Verständnis erzeugt worden sein. Außerdem zeigten die Erfahrungen der letzten Stunde, dass viele Schüler Probleme hatten, ihre Sätze auf den Punkt zu bringen. Sollte dies im Verlauf des Unterrichtsgesprächs erneut der Fall sein, werde ich durch Hinweise den Schülern dabei helfen, sich auf eine Struktur zu einigen und durch gezielte Fragen die Nennung von Schlüsselwörtern[15], durch die eine mathematische Begründung an Präzision gewinnt, initiieren. Ein weiteres Problem besteht darin, dass es in der Klasse sehr von der Tagesform abhängig ist, ob die Schüler bereit sind, sich mündlich zu beteiligen.[16] Während der gesamten Erarbeitungsphase sollen jedoch alle wichtigen Argumente von der Schülerseite kommen. Ich als Lehrkraft übernehme lediglich die Funktion des Gesprächsleiters. Falls erhebliche Probleme bei der Abstraktion auftauchen, erfolgt wieder ein Schritt zurück, indem zunächst die Begründungen der Beispiele wiederholt werden. Trotz der Behandlung aller notwendigen Arbeitsschritte erwarte ich Probleme bei der Bearbei­tung der Anwendungsaufgabe, da viele Schüler zwar dem aktuellen Unterricht folgen, aber den­noch Schwierigkeiten bei den zuvor behandelten Themen haben.[17]

[...]


[1] Der Begriff Schüler ist im Folgenden geschlechtsneutral zu verstehen.

[2] Vgl. Abb. 2 im Anhang

[3] Vgl. Bermann 2004, S. 255-257

[4] Vgl. Jänich 2004, S. 61/117

[5] Äquivalenzumformungen verändern nicht die Lösungsmenge eines Systems.

[6] Vgl. Bermann 2004, S. 258-261 und Holz&Wille 1993a, S. 91/92

[7] Vgl. Holz& Wille 1993b

[8] Vgl. Röttger 2004, S. 1

[9] Vgl. Niedersächsisches Kultusministerium 2006, S. 25-27

[10] Niedersächsisches Kultusministerium 2006, S. 15-28

[11] Vgl. Röttger 2004, S. 1-3

[12] Vgl. Niedersächsisches Kultusministerium 2006, S. 14, 23

[13] Niedersächsisches Kultusministerium 2006, S. 28

[14] Vgl. S. 3, Zeile 5-8 dieser Arbeit

[15] z.B. „Widerspruch“, „wahre Aussage“, „genau dann, wenn“

[16] Vgl. S. 3, Zeile 2-3 dieser Arbeit

[17] Als Reaktion auf diese Erwartung siehe Kapitel 2.5

Details

Seiten
24
Jahr
2011
ISBN (eBook)
9783656137665
ISBN (Buch)
9783656138891
Dateigröße
515 KB
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v188526
Institution / Hochschule
Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover – Didaktik der Mathematik und Physik
Note
3,0
Schlagworte
Lineare Gleichungssysteme LGS Unterricht Entwurf Algebra Lösbarkeit

Autor

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Titel: Eine Unterrichtsstunde mit Reflexion zum Thema "Lineare Gleichungssysteme" für die Klassenstufe 8