Monte Carlo Methoden in der Finanzwirtschaft

Inhaltsverzeichnis

ABKÜRZUNGSVERZEICHNIS

TABELLENVERZEICHNIS

FORMELVERZEICHNIS

1 EINLEITUNG
1.1 Gang der Arbeit
1.2 Begriffserklärung

2 KLASSISCHE FINANZINSTRUMENTE: BEWERTUNGSMODELLE
2.1 Bewertung von Anleihen
2.2 Aktien - Bewertung und Preisbildung
2.3 Bewertung derivativer Finanzinstrumente

3 ANWENDUNGSMÖGLICHKEITEN DER MONTE-CARLO-SIMULATION

4 ANWENDUNGSBEREICHE IN DER FINANZWIRTSCHAFT
4.1 NPV-Berechnungen von Investitionsvorhaben
4.2 Private Equity und Venture Capital - Szenarioanalysen
4.3 Anwendungsmöglichkeiten in der Versicherungsindustrie
4.4 Anwendungsbereiche für Fondsgesellschaften & im Bankenwesen
4.5 Monte-Carlo-Methoden im Portfoliomanagement
4.5.1 Simulation von Aktienkursen
4.5.2 Preisfindung bei Zertifikaten

5 OPTIONEN: DAS BLACK/SCHOLES MODELL & MONTE-CARLO-METHODEN
5.1 Optionsbewertungsmodelle - ein Überblick
5.2 Das Black/Scholes Modell
5.3 Beispiel: Calloption auf eine dividendenlose Aktie - Simulation
5.3.1 Funktionsweise des Modells
5.3.2 Excel-Formelübersicht
5.4 Preisfestsetzung von Anleihen mit eingebetteten Optionen
5.5 Preisfestsetzung von asiatischen Optionen
5.5.1 Grundbegriffe und Ausgangslage
5.5.2 Problemstellung
5.5.3 Forschungsergebnisse

6 VOR- UND NACHTEILE DER MC-SIMULATION

7 ZUSAMMENFASSUNG

8 AUSBLICK

LITERATURVERZEICHNIS

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1: Simulation Aktienkurs

Tabelle 2: Simulation von 10 Kursverläufen

Tabelle 3: MC vs. Black/Scholes

Tabelle 4: MC vs. Black/Scholes

Tabelle 5: Simulationsergebnisse(MAX, MIN)

Tabelle 6: Wahrscheinlichkeitsverteilung Underlying

Formelverzeichnis

Formel 1: Prozess für Aktienkurs

Formel 2: Prozess für Aktienkurs I

Formel 3: Prozess für Aktienkurs II

Formel 4: Prozess für Aktienkurs III

Formel 5: Black/Scholes Calloption

Formel 6: Black/Scholes (d1)

Formel 7: Black/Scholes (d2)

Formel 8: dividendenlose Aktie

1 Einleitung

Für jegliche Art der Entscheidungsfindung in der heutigen Geschäftswelt charakteri- stisch ist das Abwägen von Chancen und Risiken, die aus getroffenen Entscheidungen resultieren. Chancen oder Risiken kann man selten mit nur einem Parameter beschrei- ben - es sind vielmehr Bandbreiten in denen diese rangieren. Innerhalb dieser Bandbrei- ten können einzelne Werte mit höherer Wahrscheinlichkeit auftreten als andere Werte.¹ Mittels der Monte Carlo Simulation und gesteigerter Rechenleistung ist es heutzutage kein Problem mehr, Szenarien der Realwelt in einem vereinfachten Modell darzustellen. Diese Simulationen finden Anwendung in vielen wissenschaftlichen Disziplinen wie bspw. in der Physik, Chemie, Medizin, Informatik, Mathematik und Statistik - vor al- lem aber in den Bereichen, wo die Durchführung einer Studie ökonomisch nicht loh- nenswert ist, oder ein Experiment einfach zu gefährlich wäre. Auch in der Finanzwirt- schaft spielt die Monte Carlo Simulation eine bedeutende Rolle. Ob für die Prämienbe- rechnung bei Versicherungen oder für die Preisfestsetzung von Wertpapieren - die Einsatzmöglichkeiten der Monte Carlo Methoden sind vielseitig. Dank steigender Lei- stungsfähigkeit von Computern haben MC-Methoden wieder Einzug in viele Industrien gefunden.

1.1 Gang der Arbeit

Nach den einleitenden Worten und der Begriffserklärung soll nun der Gang der Arbeit aufgezeigt, und in den nachfolgenden Unterpunkten die Aktualität des Themas aufge- griffen und dargestellt werden. Nach der Begriffserklärung soll ein Überblick über die vielfältigen Einsatzgebiete der Monte-Carlo Methodik - vor allem aber in der Finanz- wirtschaft - sowie deren Ziele gegeben werden. Der Hauptteil der Arbeit soll sich aber mit der Preisfindung von Wertpapieren, im Speziellen mit der Preisfindung von Optio- nen befassen. In einem praktischen Beispiel soll das Black/Schools Modell mit der MC-Simulation in Bezug auf deren Ergebnisse und der Verfahren verglichen werden. Des weiteren wird in einer Simulation ein allgemeiner Wiener Prozess am Beispiel einer dividendenlosen Aktie dargestellt und erläutert.

Abschließend sollen dann ansatzweise Kritikpunkte herausgearbeitet werden und das Geschriebene hinterfragt werden. Der Schluss soll eine kurze Zusammenfassung sowie einen Ausblick beinhalten.

1.2 Begriffserklärung

Mit dem Begriff „Monte Carlo“ wird wohl in erster Linie der kleine Stadtteil von Monaco an der französischen Mittelmeerküste in Verbindung gebracht, der vor allem durch sein Spielkasino bekannt geworden ist.²

In einem Spielkasino wird unter anderem das Glücksspiel Roulette gespielt. Durch das Einwerfen einer Kugel in den Roulettetisch, stellt dieses Spiel einen einfachen mechani- schen Zufallszahlen-Generator dar. Da das Erzeugen von Szenarien durch Zufallszahlen ein wichtiger Aspekt in dieser Methodik ist, geht der Name wohl auf diesen kleinen Stadtteil Monacos zurück. Die Bezeichnung „Monte Carlo Simulation“ wurde jedoch erst durch die geheime Arbeit der Wissenschaftler von Neumann und Ulam an der Ent- wicklung der Atombombe im 2. Weltkrieg geprägt, da das Codewort für diese Arbeiten „Monte Carlo“ war. Veröffentlicht wurden diese Aufzeichnungen erstmals im Jahr 1949. Die Forschungsarbeit beinhaltete auch die direkte Simulation von Wahrschein- lichkeiten betreffend der zufälligen Verbreitung von radioaktiven Teilchen in der Um- welt. Seither ist die dort verwendete Simulationsmethode als „Monte Carlo Simulation“ bekannt.³

2 klassische Finanzinstrumente: Bewertungsmodelle

Für die Bewertung der einzelnen Finanzinstrumente stehen uns in der Literatur zahlrei- che Methoden zur Verfügung. Die drei am häufigsten eingesetzten Instrumente und de- ren Preisbildung am Kapitalmarkt sollen in den nächsten Unterpunkten kurz erläutert werden.

2.1 Bewertung von Anleihen

Die meisten Anleger bevorzugen Finanzprodukte, deren Erträge sich einfach kalkulieren lassen. Hierzu zählen in erster Linie Anleihen, die von Banken oder großen Industrieun- ternehmen emittiert werden. Um auch Kleinanlegern die Möglichkeit zu geben, sich an diesen Kreditvergaben zu beteiligen, wird der Gesamtbetrag gestückelt und über die Börsen gehandelt. Anleihen gelten als eine der sichersten Anlagemöglichkeiten obwohl diese auch mit Risiken behaftet sein können. Die Preisentwicklung von Anleihen hängt jedoch primär vom Zinsniveau ab. Dabei kann man feststellen, dass bei Zins- und Kurs- änderungen ein gegensätzlicher Zusammenhang besteht. Wird der Zinssatz gesenkt, steigt der Kurs des Wertpapiers - und umgekehrt. Die Stärke der Kursschwankungen ist jedoch auch noch von der Restlaufzeit, der Kuponhöhe, dem Rhythmus der Zinsanpas- sung und der Bonität des Emittenten abhängig. Wenn man nun Anleihen bewerten will, muss man wissen, dass der Kurs einer Anleihe nicht zufällig entsteht, sondern vom ak- tuellen Zinsniveau abhängt. So muss bspw. eine zehnjährige Staatsanleihe mit einjähri- ger Restlaufzeit mit einem Kupon von 8% dieselbe Verzinsung bringen, wie 12- Monats-Termingeld, mit dem man derzeit 3% erzielen kann. Rechnerisch lässt sich der Preis einer Anleihe ermitteln, indem man die Gesamtrückzahlung für ein Jahr abzinst.⁴

2.2 Aktien - Bewertung und Preisbildung

Aktien verbriefen Eigentumsrechte an Aktiengesellschaften. Diese Aktiengesellschaften sind in der Regel eigen- und fremdfinanziert. Den Wert, der für die Anteilseigner maßgebend ist erhält man, indem man vom Unternehmenswert den Wert des Fremdkapitals abzieht. Dieser Eigentümerwert wird auch als Shareholder Value bezeichnet. Der fundamentale Wert von Aktien aus der Perspektive der Unternehmensbewertung lässt sich in der Regel einfach ermitteln, indem man den Shareholder Value durch die Anzahl der sich im Umlauf befindlichen Wertpapiere des Unternehmens teilt.⁵

Weitere Bewertungsansätze für Aktien wären Dividendendiskontierungsmodelle wobei hier der Wert der Aktie gleich den abgezinsten Barwerten der zukünftigen Dividenden- renditen entspricht. Weitere Bewertungskriterien einer Aktie wären das Kurs-Gewinn Verhältnis (KGV) oder das Kurs-Cashflow-Verhältnis (KCV). Diese Kennzahlen sind eindimensionale Messgrößen und müssen daher stets in Bezug zu anderen Aktientiteln gesetzt werden.⁶

Der tatsächliche Aktienkurs liegt jedoch in der Regel über bzw. unter dem fundamental ermittelten Wert des Papiers, weil die Kurssetzung täglich über Angebot und Nachfrage an den Weltbörsen geregelt wird und Börsenkurse schlussendlich auch die Erwartungshaltung aller Marktteilnehmer widerspiegeln. Die Preisbildung - die vor allem durch rationale bzw. irrationale Entscheidungen der Marktteilnehmer beeinflusst wird - erfolgt in der Regel über s.g. Market Maker, die aufgrund des Meistausführungsprinzips die Kurse für die einzelnen Wertpapiere im Sekundentakt neu festsetzen.

Für die Entwicklung zukünftiger Renditen von Aktien kann man zusätzlich zur Funda- mentalanalyse - die sich in erster Linie mit der branchenspezifischen Situation, der Kon- junkturlage sowie wesentlicher Unternehmenskennzahlen beschäftigt - charttechnische Analysen, hinzuziehen. Die Charttechnik versucht auf Basis vergangener Kursverläufe, Trendlinien, Unterstützungsniveaus, Widerstände sowie markante Chartmuster zu iden- tifizieren um daraus zukünftige Handlungsstrategien abzuleiten. Einen alternativen An- satz für die Prognose bzw. Simulation von Aktienkursen stellt ein „allgemeiner Wiener Prozess“⁷ dar, der anhand eines Excel-Beispiels im Rahmen dieser Seminararbeit noch näher erläutert wird.

2.3 Bewertung derivativer Finanzinstrumente

Derivate sind Wertpapiere mit Hebelwirkung, deren Wert von einem „ihnen zu Grunde liegenden Basiswert“ (s.g. Underlying) abhängig ist. Derivative Finanzinstrumente spie- len in den letzten Jahren eine immer wichtiger werdende Rolle in der Finanzwirtschaft - und das nicht nur aufgrund der ständig steigenden Handelsvolumen. Futures und Optio- nen werden heute an verschiedensten Handelsplätzen weltweit gekauft und verkauft. Forward Kontrakte und Swaps werden in der Regel nicht über Börsen gehandelt, son- dern werden im s.g. „Over the Counter“ Handel direkt zwischen Finanzinstitutionen und deren potentiellen Kunden abgewickelt.⁸ Obwohl derivative Finanzinstrumente in erster Linie zur Verringerung des Risikos von Portfolios oder zur Reduzierung von Marktund Kreditrisiken eingeführt wurden, werden diese hoch effizienten Finanzvehikel immer öfter auch für den spekulativen Handel verwendet.⁹

Neue, innovative derivative Finanzinstrumente wie CFD´s¹⁰ sind sehr einfach gestaltet. Bei Optionen müssen bspw. mehrere Variablen wie die Restlaufzeit, das Bezugsver- hältnis oder die Volatiltität in die Berechnungen eines fairen Preises miteinkalkuliert werdern. Bei CFD´s hingegen ist dies nicht nötig - sie schwanken genau so stark wie der zugrunde liegende Basiswert (dies können Rohstoffe, Anleihen, Aktien oder Indizes etc. sein). Zudem haben CFD´s keine Restlaufzeit und können sozusagen unbegrenzt gehalten werden.¹¹

Für die Bewertung von europäischen Optionen gibt es mehrere Ansätze. Das Black/Scholes Modell¹² oder das Binomialmodell¹³ von Cox/Ross/Rubinstein spielen hier eine wesentliche Rolle und gelten als akzeptierte Bewertungsmodelle in der Fi- nanzwirtschaft. Schwieriger hingegen ist die Bewertung exotischer Optionen mit kom- plexen Auszahlungsstrukturen - eine alternative Methode, wie bspw. die Monte Carlo Simulation kann hierbei hilfreich sein. In einem praktischen Beispiel in Kapitel 5 der Arbeit soll aufgezeigt werden, wie mithilfe des Einsatzes von MC-Methoden Options- preise berechnet bzw. überprüft werden können. Außerdem soll gezeigt werden, wie eine zusätzliche Information - die Wahrscheinlichkeit - genutzt werden kann, um Chancen und Risiken besser abzuwägen.

3 Anwendungsmöglichkeiten der Monte-Carlo-Simulation

Monte Carlo Verfahren finden heutzutage in vielen wissenschaftlichen Disziplinen Verwendung und kommen in den unterschiedlichsten Bereichen zum Einsatz. Einige Anwendungsmöglichkeiten der MC Simulation sind:

- Numerische Probleme wie die Berechnung bestimmter Integrale oder die Lö- sung von Differentialgleichungen
- Zuverlässigkeitsuntersuchungen von technischen Systemen
- Untersuchung von Naturphänomenen wie Tornados oder Erdbeben
- Entscheidungsfindung durch Simulation
- Risikobewertung von Finanzinstrumenten
- Prämienkalkulation in der Versicherungsindustrie¹⁴

Als einführendes und anregendes Beispiel für eine reale Problemstellung kann die Be- stimmung der Kreiszahl herangezogen werden. Durch eine einfache Simulation lässt sich die Zahl näherungsweise ermitteln. Ein Beispiel für eine Monte Carlo Simulation zur Berechnung von ist folgende: Es werden 400 Pfeile mit zufälligen Koordinaten zwischen -1 und 1 in ein Quadrat mit Seitenlänge von 2 „geworfen“. Das Verhältnis zwischen der Anzahl der Punkte innerhalb des Kreises (mit Radius 1) und der Gesamt- zahl der geworfenen Pfeile wird ungefähr dem Verhältnis der Flächeninhalte beider Figuren (Quadrat, Kreis) entsprechen. Damit sollte dieses Verhältnis ein Näherungswert für /4 sein.¹⁵

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: M. Online [MC o.J.] o.S.

Abbildung 2: Simulation von 400 Pfeilwürfen

Abbildung 2 illustriert den Beschuss des Kreises mit 400 Pfeilen. Möchte man jetzt nicht wirklich 400 Pfeile abschießen, um auf das Ergebnis zu kommen, bietet sich fol- gende Möglichkeit: Dieser „Beschuss“ lässt sich mittels einer einfachen Simulation in einem Tabellenkalkulationsprogramm erzeugen, indem durch das Generieren von Zu- fallszahlen 400 Pfeile auf das Rechteck abgefeuert werden. Je mehr Punkte bzw. Pfeile geworfen werden, desto genauer wird die Berechnung. Für eine endliche Anzahl von Pfeilen lässt sich annähernd berechnen. Dies geschieht dadurch, dass das Verhältnis zwischen den Pfeilen in der Fläche des Einheitskreises und aller Pfeile im Quadrat das Verhältnis zwischen den Flächen des Einheitskreises und des Quadrates annähernd be- stimmt. Wenn wir also 400 Pfeile im Rahmen einer Computersimulation in das Recht- eck werfen wovon 315 den Kreis treffen, so ergibt sich für diese Simulation ein Wert von 0,7875 für /4. Für die Zahl ermitteln wir somit einen approximativen Wert von 3,15.¹⁶

4 Anwendungsbereiche in der Finanzwirtschaft

Die Verwendung von MC Methoden in der Finanzwirtschaft wurde im Jahr 1977 auf- grund der Forschungsarbeit von Phelim Boyle eingeführt. Im Jahr 1995 befassten sich die beiden Wissenschaftler Paskov und Traub mit der Preisfeststellung von Obligatio- nen mittels „Quasi-Monte-Carlo Methoden“. Mit QMC¹⁷ -Methoden erhielten sie annä- herungsweise bessere Ergebnisse, als mit der Standard Methode. Seither sind QMC Si- mulationen eine vielversprechende Alternative für die Bepreisung von Finanzinstru- menten.¹⁸

4.1 NPV-Berechnungen von Investitionsvorhaben

Die NPV-Methode „dient zur Beurteilung von Investitionsalternativen hinsichtlich der monetären Zielgröße Kapitalwert. Der Kapitalwert ist die Summe aller auf einen Zeitpunkt ab- bzw. aufgezinsten Ein- und Auszahlungen, die durch die Realisation eines Investitionsobjektes verursacht werden.“¹⁹

NPV (Net Present Value) Berechnungen unter Miteinbezug von Monte-Carlo Simula- tionen sind mittlerweile gängige Methoden, um die Wirtschaftlichkeit von Projekten bzw. von Investitionen zu überprüfen. Durch die Berechnung dieses Wertes wird ein Vergleich von Szenarien oder Investitionsvorhaben in Bezug auf deren Wirtschaftlich- keit ermöglicht. Geplante Investitionsprojekte können mittels MC-Simulationen aufge- wertet werden, was die Entscheidungsfindung diverser Projektvorhaben unterstützt.²⁰

4.2 Private Equity und Venture Capital - Szenarioanalysen

Unter Private Equity ist die Beteiligung an (noch) nicht börsennotierten Wachstumsun- ternehmen zu verstehen. Monte-Carlo Simulationen finden Anwendung in der Private- Equity Branche als auch im Venture Capital Bereich, da die Methodik der „unterlegten

Unternehmensbewertungen“ durch Investoren und der Öffentlichkeit immer stärker hin- terfragt wird. Jedoch lässt sich der „einzig faire Wert“ eines Unternehmens mit nur einer Methode schwer berechnen, da die meisten Bewertungsmethoden den Strukturen von Private Equity und Venture Capital Investoren nur teilweise gerecht werden. Monte- Carlo-Methoden können in diesen Branchen eingesetzt werden, um die berechneten Hauptmethoden zu kontrollieren bzw. zu verifizieren.²¹ Mittels Risikoanalysen und Auszahlungsprojektionen lassen sich Wahrscheinlichkeitsverteilungen für zukünftige Renditen generieren. Da die Implementierung aller Beteiligungsrisiken in ein Simulati- onsmodell möglich ist, können Beteiligungsgesellschaften neben den erwarteten Band- breiten der Renditen auch deren Eintrittswahrscheinlichkeiten bestimmen. Die Ergeb- nisse der Simulation liefern dem Beteiligungsmanager verschiedenste Szenarien (Best Case, Erwartungswert und Worst Case), was die Risikoanalyse der einzelnen Vorhaben erleichtert, weil zusätzliche Informationen aufgrund der „Wahrscheinlichkeiten“ bereit stehen.²²

4.3 Anwendungsmöglichkeiten in der Versicherungsindustrie

Die Preisfestsetzung, das Hedging und das Risikomanagement von derivativen Finanz- instrumenten sind wichtige Tools um verschiedene Risiken auf den Finanzmärkten zu transferieren. Von großem Interesse sind diese Derivate (ebenfalls deren Preisermitt- lung) auch für Versicherungsgesellschaften, da viele Versicherungsprodukte in sich eingebettete Optionen beinhalten. Dabei handelt es sich nicht nur um s.g. „Plain Vanilla Optionen“ europäischen Typs - es sind immer öfter asiatische Optionen, deren Auszah- lungsstrukturen auf einem Durchschnittspreis beruhen. Auch s.g. „Lookback Optionen“ spielen in der Versicherungsindustrie mittlerweile eine bedeutende Rolle. Hierbei be- zieht sich die Auszahlung auf ein Maximum des Basiswerts, das während der Laufzeit erreicht worden ist.²³

[...]

¹ Vgl. Frey/ Nießen [MC Simulation 2004] S.14

² Vgl. Frey/ Nießen [MC Simulation 2004] S.16.

³ Vgl. Frey/ Nießen [MC Simulation 2004] S.16.

⁴ Vgl. Beike [Aktienanleihen 2000] S.3-9.

⁵ Vgl. Seppelfricke [Aktienbewertung 2005] S.3.

⁶ Vgl. Grundmann/ Luderer [Formelsammlung 2003] S.116.

⁷ Vgl. Wiedemann [Financial Engineering 2007] S.441f.

⁸ Vgl. Hull [Derivative Securities 1993] S.1.

⁹ Vgl. Levy/ Post [Investments 2005] S.754.

¹⁰ Ein CFD ist eine künstliche Aktie mit Hebelwirkung, die den gleichen Kurs und Preis hat wie der un-

terlegte Basiswert. Durch den Wegfall von Zeitwertkomponente und impliziter Volatilität, wie es bspw. bei Optionen der Fall ist, ist die Preisbildung so fair wie die Preisbildung des Underlyings. Das Underlying wird jedoch nie physisch ausgeliefert womit alle Rechte die mit dem Besitz einer Aktie in Verbindung stehen entfallen. CFD´s sind keine Termingeschäfte und eignen sich daher besonders fürs Daytrading. CFD´ s werden „OTC“ gehandelt - damit gelten diese Finanzprodukte als nicht standardisiert. Vgl. Gresser [CFD Trading 2005] S.25f.

¹¹ Vgl. Gresser [CFD Trading 2005] S.47.

¹² Vgl. Black/ Scholes [pricing of options 1973] S.635ff.

¹³ Vgl. Cox/ Ross/ Rubinstein [Option Pricing 1979] S.229ff.

¹⁴ Vgl. Lutz [MCM o.J] o.S.

¹⁵ Vgl. Goldsman [Simulation 2007] S.26ff.

¹⁶ Vgl. M. Online [MC o.J.] o.S. ; Goldsman [Simulation 2007] S.26ff.

¹⁷ QMC-Methoden unterscheiden sich nur in Bezug auf die Art und Weise der Ermittlung der Zufallszah- len gegenüber der Standard MC-Methode. Die Ziehung der Zufallszahlen erfolgt hier weniger zufällig. Zudem muss hinzugefügt werden, dass die in den Beispielen getroffen Annahmen einer Normalvertei-

lung in der MC-Simulation ohne Schwierigkeiten geändert werden können. Vgl. Diggelmann [VaR 1999] S.161.

¹⁸ Vgl. Lemieux/ L'Ecuyer [QMC in Finance 2001] S.607ff.

¹⁹ Götze/ Bloech [Investitionsrechnung 2004] S.71.

²⁰ Vgl. Hurley [Martingales in MC 1998] o.S.

²¹ Vgl. Kofler/ Polster-Grüll [Private Equity 2003] S.190.

²² Vgl. VCM [MC Simulation 2006] S.3.

²³ Vgl. Boyle/ Thangaraj [exotic options 2007] S.267ff.