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Devisenoptionen mit zeitverzögerter Auszahlung unter dem Zinsänderungsrisiko

Bachelorarbeit 2012 48 Seiten

VWL - Finanzwissenschaft

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Symbolverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

1. Einleitung
1.1 Charakteristika der zugrundeliegenden Verträge

2. Modellrahmen
2.1 Das Black-Scholes Modell
2.2 Das Gauß-Zinsstrukturmodell und das Modell eines internationalen Finanzmarktes

3. Bewertung der zugrundeliegenden Verträge
3.1 Bewertung der FX-Ratio-Optionen
3.1.1 Bewertung des FX-Ratio-Call
3.1.2 Bewertung des FX-Ratio-Put
3.2 Bewertung der FX-Spread-Option

4. Hedging und Risikokennziffern / Sensitivitätsanalyse
4.1 Delta-Faktor und Delta-Hedging
4.1.1 Delta-Faktor und Delta-Hedging der FX-Ratio-Optionen
4.1.2 Delta-Faktor und Delta-Hedging der FX-Spread-Optionen
4.2 Gamma-Faktor
4.3 Vega-Faktor
4.4 Einfluss der unterschiedlichen Korrelationen

5. Fazit

Anhang
Anhang A: Begriffe
Anhang B: Beweise
Anhang C: Herleitung der Risikokennziffern
Anhang D: Optionspreise im Ho-Lee-Modell
Anhang E: Abbildung

Literaturverzeichnis

Symbolverzeichnis

Alle inländischen Größen werden im folgendem mit d (domestic) und alle ausländischen Größen mit f (foreign) bezeichnet.

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Wert des FX-Ratio-Call in t E (s, τ) in Abhängigkeit vom Wechselkurs

Abbildung 2: Wert des FX-Ratio-Put in t E (s, τ) in Abhängigkeit vom Wechselkurs

Abbildung 3: Der Gamma-Faktor der FX-Ratio-Optionen

1. Einleitung

Der Devisenmarkt1 ist ein nicht lokalisierbarer Ort2 an dem Währungen gehandelt werden. Devisenoptionen ergänzen seit Mitte der achtziger Jahre die bisher im Devisenhandel verfügbaren Instrumente von Devisenkassa- und -termingeschäften. Der Devisenhandel hat sich in den letzten beiden Jahrzenten stetig entwickelt, erreichte 2010 einen durchschnittlichen Tagesumsatz von 4 Billionen US-Dollar und ist global der umsatzstärkste Finanzmarkt3.

In ihrer einfachsten Form ist eine Devisenoption ein Kontrakt zwischen zwei Parteien, der dem Käufer (Long)4 das Recht einräumt vom Verkäufer (Short) eine bestimmte Devise zu einem vorher festgelegten Fälligkeitstag (europäische Option) oder innerhalb eines Zeitraumes (amerikanische Option) zu einem vertraglich festgelegten Kurs5 zu kaufen (Call­Option) oder zu verkaufen (Put-Option). Da es sich um ein Recht und keine Pflicht seitens des Käufers handelt, wird die Option genau dann ausgeübt, wenn sie vorteilhaft für den Käufer und nachteilig für den Verkäufer ist. Das bedeutet, dass zum Beispiel eine Call-Option genau dann ausgeübt wird, wenn die Devise auf dem Markt zu diesem Zeitpunkt zu einem höheren Preis als dem Basispreis gehandelt wird6. Da die Auszahlung für den Käufer der Option zu Vertragsschluss nie negativ werden kann und stets die Möglichkeit einer positiven Auszahlung besteht, muss der Optionspreis, den der Verkäufer erhält, stets positiv sein.

In dieser Bachelorarbeit soll der Preis zwei verschiedener Devisenoptionen, dem FX-Spread und dem FX-Ratio, in einem geeigneten Modellrahmen bestimmt und analysiert werden. Dazu werden im 1. Kapitel die Charakteristiken der zugrundeliegenden Verträge und mögliche Anwendungen vorgestellt. Im 2. Kapitel wird ein geeigneter Modellrahmen zur Bewertung dieser Verträge erläutert und darauf aufbauend werden die Verträge dann im folgenden Kapitel bewertet und der Einfluss verschiedener Vertragsgrößen analysiert. Zum Schluss wird in Kapitel 4 eine Sensitivitätsanalyse durchgeführt, die anhand von verschiedenen Grafiken veranschaulicht werden. Außerdem wird eine Hedgestrategie für jeden Vertrag vorgestellt.

Dieser Arbeit ist eine Excel Datei mit den zugrundeliegenden Rechnungen für die Grafiken beigefügt.

1.1 Charakteristika der zugrundeliegenden Verträge

In diesem Kapitel sollen jeweils beide Varianten der FX-Ratio- und der FX-Spread-Option vorgestellt und erläutert werden. Es werden die drei verschiedene Zeitpunkte t0 < s < τ < T betrachtet, wobei t0 den Zeitpunkt zu Vertragsbeginn und T den Auszahlungszeitpunkt angeben. Folgender Zeitstrahl soll das Auszahlungsprofil der beiden Verträge verdeutlichen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Auszahlung in inländischer Währung ist bei beiden Verträgen abhängig von der Veränderung des Wechselkurses zwischen den zwei zukünftigen Zeitpunkten s und τ. Da die Auszahlung ab dem Zeitpunkt τ < T bekannt ist spricht man von einer zeitverzögerten Auszahlung. Unter der Annahme von nicht-negativen Zinsen sinkt der Wert des Vertrages in der Länge der Zeitverzögerung (τ-T). Diese Annahme ist unabhängig von allen Annahmen über die stochastische Verteilung der Zinsen und Wechselkurse und wird deshalb als verteilungsunabhängig bezeichnet.

Der Basispreis eines FX-Ratio wird in Form einer logarithmierten Mindestrendite g>0 angegeben. Da der Basispreis exp{g(j — 5)} zu Vertragsbeginn bekannt und konstant ist kann er zur Vereinfachung, ohne Einschränkung der Allgemeinheit, mit K bezeichnet werden. Folgende Grafiken veranschaulichen das Auszahlungsprofil der beiden FX-Ratio-Optionen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Ratio Call (Put) führt genau dann zu einer positiven Auszahlung für den Käufer, wenn die Wachstumsrate des Wechselkurses zwischen den Zeitpunkten s und τ die logarithmierte Mindestrendite g übersteigt (unterliegt). Der Ratio Call (Put) kann demzufolge als Spekulation auf stark steigende (fallende oder schwach steigende) Wechselkurse zwischen den Zeitpunkten s und τ verstanden werden. Allgemein kann gesagt werden, dass der Preis einer Call-Option im Basispreis sinkt und der Preis einer Put Option im Basispreis steigt, da sich für jeden gegebenen Wechselkurs die Auszahlung erhöht .

Folgende Grafiken veranschaulichen das Auszahlungsprofil der beiden FX-Spread-Optionen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Normal (Reverse) FX-Spread führt genau dann zu einer positiven Auszahlung, wenn der Wechselkurs zwischen den Zeitpunkten s und τ steigt (fällt). Die Auszahlung entspricht in beiden Fällen genau der Differenz zwischen den Wechselkursen zu diesen verschiedenen Zeitpunkten multipliziert mit dem Nennwert V. Der Normal (Reverse) FX-Spread entspricht einem Ratio Call (Put) mit einer logarithmierten Mindestrendite von Null mit einem (stochastischen) Nennwert von V-X(s). Analog stellt der Normal (Reverse) FX-Spread zum Zeitpunkt s eine Call (Put)-Option mit Basispreis X(s) dar. Der Normal (Reverse) FX Spread kann also als eine Spekulation auf steigende (fallende) Wechselkurse verstanden werden. In dem Fall, dass der Halter eine zusätzliche Währungsposition hält, können beide Verträge auch als Versicherung (in Form einer Kurssicherung) verstanden werden. Ein Reverse FX-Spread kann zum Beispiel von einem inländischen Exportunternehmen als Versicherung verwendet werden, wenn der exakte Preis (in Einheiten ausländischer Währung) des Exportguts erst zum Zeitpunkt s festgelegt wird, der ausländische Handelspartner aber erst nach Wareneingang, zum Zeitpunkt τ, bezahlt und das inländische Exportunternehmen durch die Überweisung den Preis erst einige Tage später, zum Zeitpunkt T, erhält. In diesem Fall ist der zum Zeitpunkt s festgelegte Preis abhängig von dem zu diesem Zeitpunkt herrschenden Wechselkurs, während der Preis, den das Exportunternehmen letztendlich erhält, nur noch von dem Wechselkurs zum Zeitpunkt τ abhängig ist. Das heißt das Unternehmen braucht eine Versicherung gegen fallende Kurse zwischen den Zeitpunkten s und τ. Mit Hilfe des Reverse-FX-Spreads kann das Unternehmen seine Einnahmen zum Zeitpunkt T auf V-X(s)€ absichern und gleichzeitig an einem Kursgewinn zwischen den Zeitpunkten s und τ partizipieren.7 8

2. Modellrahmen

In diesem Kapitel soll der Modellrahmen zur Bewertung der zwei Verträge erläutert werden. Hierzu wird zu Beginn das Black-Scholes Modell vorgestellt, welches von deterministischen Zinsen ausgeht. Um auch die in- und ausländischen Zinsen als stochastisch modellieren zu können, wird darauf aufbauend das n-Faktor Gauß-Zinsstrukturmodell und das Modell eines internationalen Finanzmarktes erläutert. Alle Modelle werden nur auf die Aufgabenstellung bezogen dargestellt, deshalb wird auch der für die Bewertung der Verträge irrelevante Aktienkursprozess vernachlässigt9.

Optionspreismodelle bestimmen den Preis einer Devisenoption als Funktion von den beobachtbaren Variablen Basispreis, Laufzeit, aktuellen Wechselkurs und den verschiedenen, als deterministisch angenommenen Volatilitäten. Da die Ausübung und damit auch die zukünftige Auszahlung einer Devisenoption vom zukünftigen Wechselkurs abhängt, der nicht eindeutig vorhersehbar ist, ist zunächst eine passende Modellierung des Wechselkurses nötig, bevor der Optionspreis bestimmt werden kann.

2.1 Das Black-Scholes Modell:

Das Black-Scholes (BS-) Modell wurde 1973 von F. Black und M. Scholes (und R. Merton)10 70 entwickelt und ist bis heute das bekannteste zeitstetige Modell für die Optionsbewertung. Obwohl es ursprünglich für die Bewertung von Aktienoptionen entwickelt wurde, lässt es sich leicht für die Bewertung von Devisenoptionen übertragen11.

Der größte Nachteil des BS-Modells ist seine idealisierte und irrationale Vorstellung des Finanzmarktes. So wird zum Beispiel der Zinssatz als deterministisch und konstant angenommen und der Finanzmarkt als reibungslos und stetig modelliert12. Im BS-Modell wird angenommen, dass die Rendite des Wechselkurses einer arithmetischen Brown'schen Bewegung entspricht und der Wechselkursprozess somit per Definition einer geometrischen Brown'schen Bewegung folgt13. Daraus folgt, dass die Zuwächse des Wechselkursprozesses und damit auch der Wechselkurs selbst log-normalverteilt sind. Eine weiter vereinfachende Annahme des BS-Modells beruht auf einer Konstanz der Volatilität σ und des Drifts μ, was so viel bedeutet, dass diese Größen zeitunabhängig sind. Unter dieser Annahme lassen sich die Kursänderungen durch folgende stochastische Differentialgleichung beschreiben:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

W(t) entspricht dabei einer eindimensionalen standardisierten Brown'schen Bewegung14. Der Drift μ gibt den Erwartungswert der stetigen Wechselkurrendite an und σ stellt die Volatilität15 des Wechselkurses dar.

Wird bei dem Diffusionsprozess (1) zusätzlich der Anfangswert X(t0) als bekannt angenommen, so ist die Lösung der stochastischen Differentialgleichung gegeben durch:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten16

Zu beachten ist, dass es sich hier lediglich um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung des zukünftigen Wechselkurses und nicht um eine Kursprognose handelt.

Die Kursprognose; also der Erwartungswert des Wechselkurses ist gegeben durch:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten17

Nach der Modellierung des Wechselkurses folgt nun die Frage nach der Bestimmung des theoretisch richtigen Optionspreises. Als fairer Optionspreis, wird der Preis einer Option verstanden unter dem keine Arbitrage möglich ist. Das bedeutet, dass keine Preisunterschiede für gleiche Waren existieren („law of one price“) und so keine risikolosen Gewinne erzielt werden können. Der Arbitragepreis einer Option muss also genau dem Preis des selbstfinanzierenden Duplikationsportfolios18 entsprechen. Würde die Option zu einem anderen als genau diesen Preis gehandelt werden, so könnten rational handelnde Marktteilnehmer diese Fehlbewertung ausnutzen und risikolose Arbitragegewinne erzielen. Wird die Existenz von mindestens einem Marktteilnehmer mit wachsenden Präferenzen (mehr wird gegenüber weniger strikt bevorzugt) angenommen, so können im Gleichgewicht keine Arbitragemöglichkeiten existieren19. Daraus folgt, dass der Optionspreis unter Arbitragefreiheit, bei jeder möglichen Risikoneigung der Marktteilnehmer, dem Preis des selbstfinanzierenden Duplikationsportfolios entsprechen muss20 21. Insofern spielt die Risikoneigung der Marktteilnehmer für die Optionsbewertung keine Rolle und es kann ohne Einschränkung der Allgemeinheit auch Risikoneutralität der Marktteilnehmer unterstellt werden . Diese Bewertungsergebnisse gelten also nicht nur in einer risikoneutralen, sondern auch in der realen Welt. Der Arbitragepreis einer Option entspricht demzufolge dem diskontierten Erwartungswert der Auszahlung der Option unter einem risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaß. Dieses risikoneutrale Wahrscheinlichkeitsmaß heißt äquivalentes Martingalmaß und soll im folgendem mit P* bezeichnet werden. Unter P* wird also der Marktpreis des Risikos gleich Null gesetzt. Daraus folgt, dass der arbitragefreie Terminwechselkurs22 dem erwarteten zukünftigen Wechselkurs unter P* entsprechen muss:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aus (4) folgt, dass der Drift des Wechselkurses unter P* der Zinsdifferenz der in- und ausländischen konformen Zinsrate entsprechen muss {μ = rd— ry). Begründen lässt sich dies damit, dass eine zum Zeitpunkt t erworbene und zum Zeitpunkt T veräußerte Fremdwährungsposition eine Verzinsung in diesem Zeitraum in Höhe des ausländischen Zinssatzes erhält. Durch Einsetzen dieses Ergebnisses in (1) erhält man den Preisprozess des Wechselkurses:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.2 Das Gauß-Zinsstrukturmodell und das Modell eines internationalen Finanzmarktes

In diesem Unterkapitel soll das BS-Modell um die Zinsunsicherheit erweitert werden, um die Optionsbewertung realistischer zu gestalten. Dazu wird der Preisprozess einer Nullkuponanleihe, analog zum Wechselkursprozess, als geometrische Brown 'schen Bewegung modelliert. Zu beachten ist hierbei, dass der Kurs einer Nullkuponanleihe zum Fälligkeitszeitpunkt T bekannt ist, da er immer den Wert 1 hat.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dies ist gleichbedeutend damit, dass die, als deterministisch angenommene, Volatilität zu diesem Zeitpunkt Null ist und damit abnehmend in der Restlaufzeit sein muss. Dieses Phänomen wird als Endwertproblem bezeichnet und kann wie folgt dargestellt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da der Wechselkursprozess nicht nur vom inländischen sondern auch vom ausländischen Zinssatz abhängt, muss sowohl der Preisprozess der inländischen als auch der ausländischen Nullkuponanleihe modelliert werden. Die Preisprozesse beider Nullkuponanleihen verhalten sich analog und sind gegeben durch:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Wechselkursprozess aus Sicht des Inlands entspricht Gleichung (5), wobei die Zinsen und die Volatilität des Wechselkurses jetzt nicht mehr als zeitunabhängig modelliert werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zu beachten ist hier, dass die inländischen (d=domestic) Kursprozesse vom inländischen äquivalenten Martingalmaß und der ausländischen (f=foreign) Kursprozesse vom ausländischen äquivalenten Martingalmaß Pf abhängen. Hierbei stellt W¿*(t) eine n- dimensionale Brown "schen Bewegung unter dem äquivalenten Martingalmaß P¿* in Land i (i=d,f) dar und auch die Volatilitätsfunktionen Vi(t,T) und σχ(ΐ) stellen einen n- dimensionalen Vektor dar.

Würde WfÇt) weiterhin als eindimensional modelliert werden, würden alle Kursänderungen von derselben Schockgröße abhängen und es wäre zum Beispiel möglich mit dem Wechselkurs den Zinsmarkt zu hedgen. Würde man alle Kursprozesse in Abhängigkeit von drei verschiedenen Brown "schen Bewegungen modellieren, so würde man davon ausgehen, dass sich alle drei Kursprozesse vollkommen unabhängig voneinander bewegen. Da sich die Preisprozesse der Nullkuponanleihen und des Wechselkurses sowohl abhängig, als auch unabhängig voneinander bewegen, müssen die Preisprozesse mindestens in Abhängigkeit von einer dreidimensionalen standardisierte Brown "sche Bewegung modelliert werden und die Brown "schen Bewegungen Wf*(t) muss als Funktion von Wd*(ť) darstellbar sein. Die Beziehung zwischen den beiden Brown"schen Bewegungen ist wie folgt definiert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten23

Damit kann der Preisprozess der ausländischen Nullkuponanleihe auch in Abhängigkeit des inländischen Martingalmaßes Pd dargestellt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die durch (8), (10) und (12) spezifizierten Kursprozesse sind unter der Wahrscheinlichkeitsverteilung Pd lognormal verteilt. Darüber hinaus sind die diskontierten Kursprozesse des inländischen Finanzmarktes unter P^ Martingale. Da die ausländischen Nullkuponanleihen nicht in inländischer Währung notiert sind und somit aus Sicht des Inlands auch keine inländischen Wertpapiere darstellen, kann auf diese die Martingaleigenschaft nicht übertragen werden. Der inländische Wert einer ausländischen Nullkuponanleihe stellt wiederum ein inländisches Wertpapier dar und erfüllt somit auch die Martingaleigenschaft :24

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten 25

Analog gilt natürlich, dass alle diskontierten Kursprozesse ausländischer Wertpapiere unter P^* Martingale sind.

Der Arbitragepreis einer Option entspricht dem mit der inländischen konformen Zinsrate diskontierten Auszahlungsbetrag unter dem inländischen äquivalenten Martingalmaß Pd:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Bestimmung dieses Erwartungswertes ist im Allgemeinem sehr schwierig, da sowohl die Zinsen als auch Variablen in der Auszahlung stochastische Größen darstellen. Ein sehr häufig gutes Hilfsmittel ist die Anwendung eines Maßwechsels26, um die stochastischen Zinsen zu eliminieren. Ein für die Bewertung der vorliegenden Verträge geeignetes Wahrscheinlichkeitsmaß ist das Forward Risk Adjusted Measure27 QT, welches als Numeraire einen Nullkuponanleihenpreis mit Ausübungszeitpunkt T verwendet. Da {B(t,r)}t ein stochastischer Prozess ist, der für alle t und τ strikt größer Null ist, kann der vereinfachte Fall behandelt werden28, in dem durch folgende Dichtefunktion das zu Pd äquivalente Wahrscheinlichkeitsmaß QT definiert wird durch:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Darüber hinaus gilt für den stochastischen Prozess einer Brown'schen Bewegung unter QT :

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten29

Der Übergang von der Wahrscheinlichkeitsverteilung Pd zu QT entspricht also einer linearen Verschiebung des Erwartungswertes um die Volatilität des stochastischen Prozesses Β(τ,τ). Da sich die Volatilität des Erwartungswertes nicht verändert stellt die Brown'sche Bewegung unter dem Wahrscheinlichkeitsmaß QT (WT(t)) lediglich eine Verschiebung der Brown'schen Bewegung unter dem Wahrscheinlichkeitsmaß P¿ dar.

Aus (14) können mit Hilfe des Maßwechsels zum T-Forward-Risk-Adjusted-Measure, die stochastischen Zinsen folgendermaßen eliminiert werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In Abhängigkeit davon, wie das Auszahlungsprofil zum Zeitpunkt T aussieht, lässt sich Gleichung (18) mit Hilfe der BS-Formel30 oder der Margrabe-Formel31 lösen.

3. Bewertung der zugrundeliegenden Devisenoptionen

In diesem Kapitel soll der Arbitragepreis der zugrundeliegenden Devisenoptionen unter dem Zinsänderungsrisiko mit Hilfe des erläuterten Modellrahmens bestimmt werden.

Die im nächsten Kapitel vorgestellten Risikokennziffern und Hedgestrategien erfordern eine kontinuierliche Marktüberwachung und -analyse. Aus diesem Grund muss der Preis der Devisenoption nicht nur zu Vertragsbeginn, sondern zu jedem Zeitpunkt innerhalb der Vertragslaufzeit (t G (t0,T)) hergeleitet werden.

3.1 Bewertung der FX-Ratio-Option

Nun soll schrittweise die Bewertungsformel des FX-Ratio Calls für jeden Zeitpunkt t G (t0, T) hergeleitet und anschließend die Bewertungsformel des FX-Ratio Put mit Hilfe der Put-Call-Parität ermittelt werden.

3.1.1 Bewertung des FX-Ratio-Call

Der Arbitragepreis des FX-Ratio-Calls zum Zeitpunkt t G (t0, T) ist gegeben durch:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da die Option in Einheiten inländischer Währung bewertet wird, muss der Term noch mit einer Einheit ausländischer Währung (= Β^(τ,τ)) multipliziert werden, damit er auch in Einheiten inländischer Währung angegeben ist.

Zu jedem Zeitpunkt t G (τ,Τ) ist die Auszahlung der Option bereits bekannt32 33. Das heißt der Arbitragepreis entspricht einfach der bekannten zukünftigen diskontierten Auszahlung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zu den Zeitpunkten t G (£0,τ) kann der Arbitragepreis in Gleichung (19) durch einen Maßwechsel zum T-Forward-Risk-Adjusted-Measure berechnet werden.

Zu den Zeitpunkten t G (5, r)ist nur der Wechselkurs zum Zeitpunkt τ unbekannt, deshalb kann X(s) bei dem stochastischen Prozess Υ(τ) als Konstante behandelt werden. Da für die Zeitpunkte t G (t0,5) beide Wechselkurse unbekannt sind, muss für die Bestimmung des Arbitragepreises in diesem Zeitraum der gesamte stochastische Prozess Y(r) unter dem T- Forward-Risk-Adjusted-Measure bestimmt werden. Da der gesamte Prozess Y(r) sehr schwer zu bestimmen ist, kann alternativ für die Zeitpunkte t G (t0,5) auch ein anderer stochastischer Prozess verwendet werden, der zum Zeitpunkt s denselben Wert hat wie dieser. Denn unter Ausschluss von Arbitrage gilt, dass zwei verschiedene Dinge, die zum Zeitpunkt s denselben Wert haben, auch zu allen früheren Zeitpunkten denselben Wert haben müssen. Dies ist unabhängig davon, wie sich die beiden Prozesse nach dem Zeitpunkt s weiter entwickeln.

Für t G (t0,5) wird alternativ für Y(t) folgender Prozess betrachtet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Betrachte nun den neuen stochastischen Prozess der abschnittsweise definiert ist:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Damit der Arbitragepreis in Gleichung (23) bestimmt werden kann muss der stochastische Prozess Y(t) unter dem T-Forward-Risk-Adjusted-Measure des Inlands hergeleitet werden. Dieser ist, wie der Prozess selbst, abschnittsweise definiert34:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da der Prozess Y(t) log-normalverteilt ist, kann mit Hilfe der BS-Formel35 der Arbitragepreis der Option für alle Zeitpunkte t G (£0,τ) bestimmt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]


1 Internationale Bezeichnung: Foreign Exchange (FX) Market

2 Der Devisenmarkt ist nicht an eine bestimmte regionale Börse bzw. Börsenplatz gebunden

3 Datenquelle: Bank for International Settlements (BIS)

4 Man sagt, dass der Käufer einer Option eine Long Position und der Verkäufer eine Short Position eingeht

5 Der festgelegte Kurs, zu dem die Devise in der Zukunft gekauft werden kann nennt man Basispreis oder Strike

6 Eine Put-Option wird analog genau dann ausgeübt, wenn der aktuelle Marktpreis der Devise unterhalb des Basispreises liegt

7 Auch hierbei handelt es sich um eine verteilungsunabhängige Eigenschaft

8 g=0 exp{g(r — s)} = exp{0} = 1

9 Der Aktienkursprozess verhält sich analog zum Wechselkursprozess

10 R. Merton war ebenfalls an der Ausarbeitung beteiligt, veröffentlichte jedoch einen separaten Artikel

11 Siehe Garman/Kohlhagen

12 Die genauen Annahmen des BS-Modells finden sich bei Black/Scholes S. 640

13 Vgl. Anhang A.1

14 Vgl. Anhang A.1.1

15 Eine Erläuterung des Begriffs der Volatilität befindet sich im Anhang A.2

16 Vgl. Sandmann (3.Auflage) Beispiel 7.2 S.300f.

17 Beweis siehe Anhang B.1

18 Ein selbstfinanzierendes Duplikationsportfolio stellt ein Portfolio aus verschiedenen Finanzprodukten dar, welches zur selben Auszahlung führt wie die eigentliche Option und keine Zwischenfinanzierung erfordert.

19 Vgl The New Palgrave Dictionary of Economics „arbitrage“

20 Für den Beweis, dass dieses Duplikationsportfolio tatsächlich existiert: vgl. Irle, S.231 ff

21 vgl. Cox/Ross, 1976, S.153 und Trautmann

22 Bestimmung des Terminwechselkurses siehe Anhang B.2

23 Beweis siehe Anhang B.3

24 Vgl Sandmann S.527,528

25 Beweis siehe Anhang B.4

26 Dies ist analog zu einem Numerairewechsel

27 Unter dem Forward-Risk-Adjusted-Measure QT sind die Forwardpreise mit Endzeitpunkt TMartingale

28 Es handelt sich hierbei um einen Spezialfall des Satzes von Girsanov. Ein allgemeiner Beweis dieses Satzes findet sich bei Lipster und Shiyayev

29 Vgl Sandmann Satz 10.1 S.470

30 Vgl Black/Scholes, S.644, Gleichung (13)

31 Vgl. Margrabe, S.179, Gleichung (7)

32 Vgl. Anhang A.3

33 Vgl. Zeitstrahl auf Seite 2

34 Siehe Beweis im Anhang B.5 und B.6

35 Vgl. Black/Scholes, S.644, Gleichung (13)

Details

Seiten
48
Jahr
2012
ISBN (eBook)
9783656334644
ISBN (Buch)
9783656336631
Dateigröße
845 KB
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v199526
Institution / Hochschule
Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn
Note
1,0
Schlagworte
FX Spread FX Ratio Devisenoption Martingalmaß Black Scholes Modell Gaußzinsstrukturmodell Modell eines internationalen Finanzmarktes

Autor

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Titel: Devisenoptionen mit zeitverzögerter Auszahlung unter dem Zinsänderungsrisiko