Lade Inhalt...

Wertorientierte Lösungskonzepte zur Aufteilung von Koalitionsgewinnen in der kooperativen Spieltheorie

Bachelorarbeit 2012 38 Seiten

VWL - Sonstiges

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Symbole

1 Einführung
1.1 Verhandlungsspiele
1.2 Koalitionsspiele
1.3 Lösungskonzepte zur Aufteilung von Koalitionsgewinnen

2 Verschiedene wertorientierte Ansätze
2.1 Shapley-Wert und Shapley-Shubik-Index
2.1.1 Shapley-Wert
2.1.2 Shapley-Shubik-Index
2.2 Banzhaf-Indizes
2.2.1 Nicht-normalisierter Banzhaf-Index
2.2.2 Banzhaf-Coleman-Index
2.3 Deegan-Packel-Index
2.4 Public-Good-Index
2.5 Public-Help-Index
2.6 Anwendungsbereiche der verschiedenen Indizes

3 Zur einfachen Berechnung des Shapley-Wertes für spezielle Spiele
3.1 Vorüberlegungen und Berechnungsmethode
3.2 Beweis
3.3 Beispiel

4 Fazit

Literaturverzeichnis

Schriftliche Versicherung

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1: Nobelpreise für Forschungen im Gebiet der Spieltheorie 2

Tabelle 2: Daten zu Landegebühren am Flughafen Birmingham, 1968-1969 28

Symbole

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1 Einführung

„What happens when two rational minds meet in conflict,

with the destiny of each dependent upon the decision of both?“

Paul Samuelson[1]

Seit John von Neumann und Oskar Morgenstern im Jahr 1944 in ihrem Werk „Theory of Games and Economic Behavior“[2] erstmals die mathematischen Methoden der Spieltheorie zur Analyse ökonomischer Fragestellungen eingesetzt haben, ist die Spieltheorie aus den Wirtschaftswissenschaften nicht mehr wegzudenken. Nicht nur in diesem Fachgebiet finden sie Verwendung; bereits im Jahr 1945, kurz nach Erscheinen des Werkes erkannte Hurwicz (2007, S. 647):

„The techniques applied by the authors in tackling economic problems are of sufficient generality to be valid in political science, sociology or even military strategy.”

Ausgehend von der Mathematik[3] hat die Spieltheorie also Einzug in eine Vielzahl von Wissenschaften gehalten. Mitunter wurden sogar Grundlagen neu definiert, um sie in bestimmten Gebieten nutzen zu können: Die Biologie beispielsweise hat ein eigenes Teilgebiet der „evolutionären Spieltheorie“ geschaffen, das die Methodik der Spieltheorie entnimmt, aber wesentliche Bestandteile zu eigenen Zwecken abwandelt.

Die Relevanz der Spieltheorie stellt eine Reihe von Wirtschaftsnobelpreisen[4] in den letzten zwei Jahrzehnten eindrucksvoll heraus:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 1: Nobelpreise für Forschungen im Gebiet der Spieltheorie[5]

Allgemein bedienen sich Ökonomen der Spieltheorie, um strategische Entscheidungssituationen zu analysieren. Eine solche liegt vor, wenn das Ergebnis der Situation von den Entscheidungen mehrerer Akteure abhängig ist und jeder Akteur (oder „Spieler“) sowohl diese Abhängigkeit erkennt als auch den Gegenspielern ihrerseits diese Fähigkeit zuschreibt[6]. Die Handlungsmöglichkeiten eines Spielers werden als seine „Strategien“ bezeichnet.

Die einfachste Form eines Spiels ist ein 2-Personen-Spiel, mit einem Spieler A und seinem Gegenspieler B, in dem jeder Akteur die Wahl zwischen zwei Alternativen treffen muss: oder für A; oder für B. Allgemein werden mit dem Index die verschiedenen Spieler eines Spiels gekennzeichnet, hier also . Durch die Kombination ihrer Entscheidungen tritt ein Fall ein, der für die beiden Spieler zu gewissen Nutzen oder Auszahlungen führt. Dieser Nutzen wird mit (für „utility“) für den jeweiligen Spieler bezeichnet. Ist der Nutzen des einen Spielers gleichsam Disnutzen des anderen, so spricht man von einem Nullsummenspiel. Ein Spiel kann in einer Nutzenmatrix[7] dargestellt werden. Die Alternativen des Spielers A bestimmen die Zeilen, die des Spielers B die Spalten, so entsteht für jede mögliche Kombination von Entscheidungen ein Matrixwert.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

zeigt ein Nullsummenspiel, wobei die Matrix in diesem Fall nur die Nutzenwerte für Spieler A enthält, doch diese gleichzeitig den negativen Nutzen für B darstellen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

hingegen ist ein Bimatrixspiel. Hier werden die Nutzen beider Spieler aus jeder Kombination von Alternativen explizit aufgeführt. Der vordere Wert steht hierbei für den Nutzen von Spieler A, der hintere für den von Spieler B.

Nun wird im Normalfall jeder Spieler diejenige Strategie spielen, die für ihn unter Einbezug der Entscheidung seines Gegenspielers (in einem Spiel mit nur zwei Akteuren) individuell rational ist. Das heißt, er wird für jede mögliche Entscheidung seines „Gegners“ überlegen, welche Entscheidung für ihn selbst am profitabelsten wäre.

Im Fall der Nutzenmatrix (1-2)[8] ist es für Spieler A immer vorteilhaft, Alternative (die untere Zeile) zu spielen: Wenn der Gegenspieler wählt, so ist für ihn der Nutzen in der unteren Zeile ([Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]) größer ([Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]), und wird gewählt, ist auch vorteilhafter ([Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]). Verfährt man ebenso aus Sicht des Spielers B, dann gelangt man zu der Erkenntnis, dass dieser spielen wird. Es wird also der Fall realisiert, der eintritt, wenn die Alternativen gespielt werden und der beiden Spielern einen Nutzen von jeweils 1 garantiert.

Betrachtet man die Matrix jedoch genauer, so kann man erkennen, dass für die Entscheidungskombination ein jeweils höherer Nutzenwert erreicht werden könnte. Dieser wäre kollektiv rational, ist aber für die Spieler (vorerst) nicht erreichbar. Obwohl also beide Spieler für sich individuell rational entscheiden, ist es möglich, dass sie nicht das aus kollektiver Sicht beste Ergebnis verwirklichen.

1.1 Verhandlungsspiele

Beispiele wie das obige entstammen der nichtkooperativen Spieltheorie. Wenn allerdings für die Spieler die Möglichkeit besteht, ihre Strategien zu koordinieren und verbindliche Absprachen zu treffen, spricht man von kooperativer Spieltheorie. Eine getroffene Vereinbarung muss dabei für alle Spieler so bindend sein – etwa mithilfe von durchsetzbaren Strafen –, dass keiner der Akteure davon abweicht. Sind diese Bedingungen gegeben, dann können durch Kooperation unter Umständen höhere Nutzengewinne erzielt werden, als ohne eine Absprache möglich wäre. Bestes Beispiel ist das oben betrachtete Spiel mit der Nutzenmatrix (1-2).

Ein solches Verhandlungsspiel wird formal festgelegt durch die Menge aller potenziellen Auszahlungsvektoren[9] und den Konfliktpunkt , der das Ergebnis des Spiels darstellt, falls keine Einigung stattfindet. Es kann nun untersucht werden, ob dieses Ergebnis pareto-optimal ist. Als pareto-optimal gilt ein Zustand, in dem es nicht möglich ist, dass ein Spieler seinen Nutzen erhöht, ohne dass gleichzeitig ein anderer schlechter gestellt wird. Ist nicht pareto-optimal, so entsteht daraus die Möglichkeit der Pareto-Verbesserung und das Verhandlungsproblem: Es existiert ein Punkt aus , in dem alle Spieler einen höheren Nutzen als im Konfliktpunkt erreichen können, es gilt . Durch eine Absprache kann ein für beide Spieler besseres Ergebnis realisiert werden.[10]

Der grundlegende Ansatz zur Lösung solcher Verhandlungsspiele stammt von John F. Nash und ist als Nash-Verhandlungslösung bekannt. Sie beruht auf vier Axiomen[11]:

(a) Unabhängigkeit von äquivalenter Nutzentransformation: Das Ergebnis wird nicht durch eine äquivalente Nutzentransformation substanziell beeinflusst. Eine äquivalente Transformation der Verhandlungsmenge führt auch zu äquivalent transformierten Verhandlungslösungen.[12]
(b) Symmetrie: Durch das Vertauschen von und in allen Vektoren wird die Lösung nicht verändert. Wenn also die Bezeichnungen der Spieler vertauscht werden, so erhält man durch Vertauschen der Werte der ursprünglichen Nash-Verhandlungslösung wiederum die Nash-Verhandlungslösung für diese beiden Spieler.[13]
(c) Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen: Nur der Konfliktpunkt und das Verhandlungsergebnis sind relevant.[14]
(d) Pareto-Optimalität: Es gibt keine Lösung, in der sich mindestens ein Spieler besser stellen kann als in und der andere Spieler gleichzeitig nicht schlechter gestellt wird; keine Lösung aus also mit für einen Spieler und gleichzeitig für den anderen Spieler.

In einigen Schriften wird zusätzlich das Axiom der individuellen Rationalität aufgeführt. Es besagt, dass für jeden Spieler der Nutzen aus der Nash-Verhandlungslösung mindestens so groß sein muss wie der im Konfliktpunkt: .

Der Satz von Nash (1950) besagt nun: Genau ein Punkt erfüllt alle diese Axiome.[15]

Er ist derjenige Punkt, der das Nash-Produkt minimiert. Anhand dieser Vorgaben ist es folglich möglich, die Nash-Verhandlungslösung zu berechnen.

1.2 Koalitionsspiele

„The question of games with two players being thus solved, the authors attack the problem of a game with more than two players. In such a game, it may happen that the players agree to divide in two coalitions, the coalitions playing against each other. In this case, the game really becomes a game between two players (…).”[16]

Betrachten wir nun Spiele mit mehr als zwei Akteuren, die so konzipiert sind, dass sich die Spieler untereinander zu einer Koalition zusammenschließen können, so sprechen wir von Koalitionsspielen. Hierbei bewertet man das Verhalten einer Koalition ähnlich dem eines Spielers in der nichtkooperativen Spieltheorie, denn die einzelnen Mitglieder stimmen geschlossen ab, als wären sie ein einziger großer Spieler.

[...]


[1] Samuelson 2007, S. 675.

[2] Vgl. von Neumann und Morgenstern 1967, die 2. Auflage des genannten Werkes.

[3] Der Mathematiker John von Neumann gilt als Begründer der Spieltheorie.

[4] Der „Preis für Wirtschaftswissenschaften der schwedischen Reichsbank in Gedenken an Alfred Nobel“ ist kein Nobelpreis im engeren Sinne, wird jedoch seit 1969 zusammen mit den anderen Nobelpreisen und nach den gleichen Kriterien vergeben. Vgl. hierzu Lindbeck 2007, o. S.

[5] Diese Auflistung ist Sieg (2010, S. 4) entnommen.

[6] Vgl. Holler und Illing 2009, S. 1.

[7] Matrizen werden in Großbuchstaben und fett ausgewiesen.

[8] Dieses Spiel ist ein Entwurf des wohl bekanntesten Spiels der Spieltheorie: des Gefangenendilemmas.

[9] Vektoren werden in Kleinbuchstaben und fett ausgewiesen.

[10] Vgl. Sieg 2010, S. 92.

[11] Vgl. Sieg 2010, S. 93f.

[12] Vgl. Berninghaus, Erhart und Güth 2010, S. 162.

[13] Vgl. Güth 1999, S. 238.

[14] Vgl. Holler und Illing 2009, S. 188.

[15] Vgl. Krapp 2012, S. 74.

[16] Chevalley 2007, S. 684.

Details

Seiten
38
Jahr
2012
ISBN (eBook)
9783656345992
ISBN (Buch)
9783656346388
Dateigröße
690 KB
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v204298
Institution / Hochschule
Universität Augsburg
Note
1.3
Schlagworte
wertorientierte lösungskonzepte aufteilung koalitionsgewinnen spieltheorie game theory ökonomie wirtschaftswissenschaften mathematik volkswirtschaftslehre decision making entscheidungstheorie spieltheory decision theory shapley

Autor

Zurück

Titel: Wertorientierte Lösungskonzepte zur Aufteilung von Koalitionsgewinnen in der kooperativen Spieltheorie