Diese Bachelorarbeit beschäftigt sich mit folgender Fragestellung:
„Wir suchen Rundwege (Startpunkt = Zielpunkt), die sich aus Streckenzügen der Teillängen
1, 2, 3, 4, ... n in der normalen Zählreihenfolge zusammensetzen. Nach jeder
Teilstrecke darf die Laufrichtung verändert werden.”
Der wohl einfachste Rundweg ist nicht einmal wirklich rund, denn für n = 3 gibt es die
einfache Darstellung von 1+2 in die eine Richtung und 3 wieder zurück. Dieses Beispiel
ist zwar nicht zweidimensional, ist aber trotzdem per Definition ein Rundweg. Gibt es
im eindimensionalen Raum davon noch mehr? Und ist es normal, dass man dabei erst
in die eine Richtung geht und dann in die andere? Kann man das Ganze nicht auch
mischen und wenn nicht für n = 3, dann vielleicht für ein größeres n?[...]
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Besondere Figuren im eindimensionalen Raum
2.1 Hin- und Ruckweg
2.2 Herleitung der rekursiven Formel
2.3 Entwicklung einer expliziten Formel
2.4 Entwicklung einer expliziten Formel mithilfe der Ma- trizenrechnung und dem Eigenwertproblem
3 Darstellungsweisen von zweidimensionalen und dreidimensionalen Wegen
3.1 Allgemeine Uberlegungen fur eine zweidimensionale Wegdarstellung
3.2 Der Sonderfall a = b
3.3 Der dreidimensionale Raum: Der Sonderfall a=b=c .
4 Beliebige Flachen darstellen
5 Fazit
1 Einleitung
Diese Bachelorarbeit beschaftigt sich mit folgender Fragestellung:
„Wir suchen Rundwege (Startpunkt = Zielpunkt), die sich aus Streckenzugen der Teil- langen 1, 2, 3, 4, ... n in der normalen Zahlreihenfolge zusammensetzen. Nach jeder Teilstrecke darf die Laufrichtung verandert werden.”
Der wohl einfachste Rundweg ist nicht einmal wirklich rund, denn fur n = 3 gibt es die einfache Darstellung von 1 + 2 in die eine Richtung und 3 wieder zuruck. Dieses Beispiel ist zwar nicht zweidimensional, ist aber trotzdem per Definition ein Rundweg. Gibt es im eindimensionalen Raum davon noch mehr? Und ist es normal, dass man dabei erst in die eine Richtung geht und dann in die andere? Kann man das Ganze nicht auch mischen und wenn nicht fur n = 3, dann vielleicht fur ein grofieres n?
Ein anderes Beispiel fur einen solchen Laufweg ist fur n = 7 in Abbildung 1.1 dargestellt.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Schaut man sich dieses Beispiel an, so fallt einem vielleicht auf, dass die Aussage „Nach jeder Teilstrecke darf die Laufrichtung verandert werden” fleifiig genutzt, jedoch nicht vollstandig durchgesetzt wurde, da die Teilstrecken 3 und 4 ohne Laufrichtungsanderung durchgefuhrt wurden. Die Frage ist, ob dies normal ist oder ob es sich hierbei um einen Sonderfall handelt. Ist es zwingend notwendig, so oft „abzubiegen”? Kann man n = 7 vielleicht auch eindimensional oder sogar dreidimensional darstellen?
In dieser Bachelorarbeit werden wir uns zu Beginn mit einem Spezialfall von Rundwegen im eindimensionalen Raum beschaftigen. Hierbei werden wir versuchen, eine Gleichung zu entwickeln, mit der jedes mogliche n fur diesen Spezialfall gefunden werden kann und dabei mit verschiedenen Methoden vorgehen, um die vielfaltigen Moglichkeiten, die die Bearbeitung dieses Themas bietet, deutlich zu machen. Im darauffolgenden Kapi- tel werden wir uns dann mit zweidimensionalen Rundwegen beschaftigen, den Aufbau dieser analysieren und anhand von Beispielen zeigen, mit welchen Werten fur n sich im zweidimensionalen und sogar im dreidimensionalen Raum ein Rundweg darstellen lasst. Wir werden uns der Frage widmen, ob es analytisch moglich ist, alle Wege eines beliebi- gen n bestimmen zu konnen und uns dann wieder einem Spezialfall widmen. Fur diesen Spezialfall werden wir untersuchen, ob es fur ausgewahlte n immer mindestens einen darstellbaren Rundweg gibt. Zuletzt werden wir uns einer kleinen Spielerei zuwenden, namlich der Frage, ob es auch moglich ist, einen Rundweg so zu konstruieren, dass dieser eine vorher festgelegte Flache umrandet. Anschliefiend folgt noch ein Fazit, in dem wir die aufgetretenen Probleme und Losungen nochmals zusammenfassen und Ausblicke auf weitere mogliche Themengebiete geben.
2 Besondere Figuren im eindimensionalen Raum
2.1 Hin- und Ruckweg
Die Beispielfigur n = 3 mit 1 + 2 in x-Richtung und 3 in —x-Richtung scheint zwar auf den ersten Blick allgemein, sie ist jedoch ein Sonderfall. Bei dieser Figur findet ein tatsachlicher Hin- und Ruckweg statt, was bedeutet, dass es einen Umkehrpunkt gibt, bis zu dem sich ausschliefilich in eine Richtung bewegt wird und nach diesem Umkehrpunkt ausschliefilich in die entgegengesetzte Richtung.
Ein anderes Beispiel mit n = 4 macht diesen Sonderfall deutlicher: Bei 1 + 4 in x- Richtung und 2 + 3 in —x-Richtung bewegt man sich zwar faktisch jeweils funf Schritte in x-Richtung und funf Schritte in —x-Richtung, jedoch nicht genau in dieser Reihen- folge. Hierbei wird sich erst in x-Richtung, dann in —x-Richtung und dann wieder in x-Richtung bewegt, also anders als im vorherigen Beispiel n = 3. Es ist bei n = 4 keine Moglichkeit vorhanden, auf die gleiche Art und Weise wie bei n = 3 vorzugehen. Allgemein muss hier gelten, dass der Abstand vom Startpunkt zum Umkehrpunkt genau die halbe Summe von n ist. Fur n = 4 ware dies 1+2+3+4 = 5. Wir suchen also eine Zahl p (Lange der letzten Teilstrecke vor dem Umkehrpunkt) mit p, n £ N, fur die gilt:
(2.1)
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Beide Seiten von der Gleichung (2.1) konnen wir nun durch den jeweiligen „kleinen Gaufi” ersetzen:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Anwendung der pg-Formel ergibt dann:
p2 = — 2 — 4 + n(n2+1) fallt heraus, da fur jedes n gelten wurde, dass p2 negativ ware.
Es muss jedoch gelten p £ N.
AbschlieBend wandeln wir p noch in ein Format um, das sich spater als sinnvoll erweisen wird:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Es ist jetzt notwendig, fur jedes n mit n e N zu uberprufen, ob das Ergebnis von Gleichung (2.5) fur p eine naturliche Zahl ergibt. Hierbei wird schnell deutlich, dass es nur wenige mogliche Ergebnisse gibt. Im Zahlenbereich von n = 1 bis n = 100 liefert die Formel nur zwei Ergebnisse, p = 2 mit n = 3 und p = 14 mit n = 20.
Setzen wir in Gleichung (2.5) den Wert n = 4 ein, erhalten wir fur p keine naturliche Zahl; Dies ware jedoch laut Definition dieses Sonderfalls gefordert.
2.2 Herleitung der rekursiven Formel
In diesem Abschnitt wird nun eine Rekursionsformel zu der zuvor angegebenen Aus- gangsgleichung (2.1) gesucht. Hierfur wird Gleichung (2.1) in eine diophantische Gleichung der Form x2 — dy2 = -1, eine sogenannte Pellsche Gleichung, umgeformt. Mit dieser lasst sich dann mithilfe der Kettenbruchentwicklung von \fd eine Rekursionsfor- mel bestimmen.
Umformung von[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] = in eine Pellsche Gleichung:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Wir fuhren auf beiden Seiten eine quadratische Erganzung durch:
Der Teil innerhalb der Klammer n + 2 auf der rechten Seite wird durch n' ersetzt, der Teil in der Klammer auf der linken Seite p + 1 mit p' und das — 2 wird auf die andere Seite gebracht. Es gilt also mit p = p + 2 und n' = n + 1:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
(n')2 wird nun auf die linke Seite gebracht und die Gleichung wird mit 4 multipliziert.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Nun wird jeweils eine 4 in die Klammer, also unter das Quadrat, gebracht und die Klammerinhalte werden jeweils durch p" und n" ersetzt. Daraufhin wird die Gleichung mit —1 multipliziert. Es gilt nun mit p" = 2p' und n" = 2n':
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Es gilt nach Umformung der vorher definierten Gleichungen fur n',p,n" und p":
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Wir benotigen nun die Kettenbruchentwicklung von pd, in unserem Falle laut Gleichung (2.6) mit d = 2. Damit lassen sich alle Werte fur n" und p" und somit auch fur n und p bestimmen, in denen die oben hergeleitete Pellsche Gleichung (2.6) gilt.
Die ersten Ergebnisse der Kettenbruchentwicklung von \/2 lauten:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Wir setzen fur n" jeweils den Zahler, bspw. 3, und fur p" den Nenner, also 2 ein. Es wird klar, dass jedes zweite Ergebnis der Kettenbruchentwicklung in der Gleichung (2.6) als Losung den Wert —1 hat, also nur diese Ergebnisse fur uns relevant sind. Setzen wir diese Werte von n" und p" in die Gleichung (2.9) und (2.10) ein, so erhalten wir unsere ersten Werte fur n und p.
Um nun eine rekursive Formel herzuleiten, beginnen wir mit der Matrizendarstellung einer Pellschen Gleichung und formen diese anschliefiend in ein Gleichungssystem um.
Mithilfe der Matrizendarstellung lasst sich allgemein bei einem bekannten Ergebnis der jeweiligen Gleichung jeder weitere Nachfolger einzeln bestimmen.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Allgemeine Form der Pellschen Gleichung in Matrizendarstellung:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Unsere Rekursionsvorschrift lautet also:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Gleichung (2.11) aufgelost als Gleichungssystem ergibt:
Nach dem Einsetzen von Gleichung (2.7) und Gleichung (2.8) in Gleichung (2.12) und Gleichung (2.13) und dem Auflosen nach ni+i und pi+i ergibt sich:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Wir wollen jetzt aber nur jeden zweiten Schritt der Abbildungsgleichung 2.11, da fur uns nur die Werte der Kettenbruchentwicklung von \[2 interessant sind, die als Ergebnis in der Pellschen Gleichung —1 ergeben. Wir uberspringen also immer eine Zahl, lassen unser i jedoch immer nur um einen Wert steigen, anstatt um zwei. Wir berechnen also A ■ A, denn es gilt nun:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Daraus folgt die neue Abbildungsgleichung:
Einsetzen von Gleichung (2.7) und Gleichung (2.8):
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Als Gleichungssystem:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Wir haben nun zwei Gleichungen fur die Nachfolger von ni und pi, die jeweils von n und pi abhangen. Es ist jedoch auch moglich zu erreichen, dass die Gleichung (2.14) nur von ni abhangig ist, indem wir pi durch die Gleichung (2.5) ersetzen. Wir erhalten:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Also:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Wir erhalten damit eine Rekursionsformel, die nur vom Vorganger abhangig ist. Jedoch sieht der Wurzelterm etwas unschon aus. Deshalb versuchen wir nun eine Rekursionsformel zu finden, die von den letzten beiden Vorgangern abhangig ist, vielleicht sieht diese ja besser aus. Aus Gleichung (2.14) und Gleichung (2.15) erhalten wir:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
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