Variablen, Terme und Rechengesetze im Mathematikunterricht

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Klassensituation

3 Unterrichtete Stoffabschnitte

4 Sachanalyse
4.1 Die Bedeutung von Variablen
4.2 Das Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz
4.3 Terme

5 Didaktische Aussagen zum Stoffabschnitt

6 Planung des Stoffabschnittes

7 Ausführlicher Stundenentwurf
7.1 Lernziele und Kompetenzen.
7.1.1 Grobziele
7.1.2 Feinziele
7.2 Vorkenntnisse und Ausblick.
7.3 Begründung didaktisch-methodischer Entscheidungen
7.4 Reflexion der Stunde

8 Hospitationen
8.1 Reflexiver Teil zum Hospitationsprotokoll 1
8.2 Reflexiver Teil zum Hospitationsprotokoll 2

9 Darstellung des Leistungstests

10 Fazit

11 Literaturverzeichnis

12 Anhang

1 Einleitung

In dem folgenden Bericht werden unter anderem die Erfahrungen und Erleb- nisse sowie die eigenen Unterrichtsversuche aus dem Unterrichtspraktikum vom 26.08.13 bis 20.09.13 reflektiert. Das Praktikum wurde an dem Oberstufenzentrum in Berlin absolviert. Diese Berufsschule bietet neben dem Berufsschulunterricht für Bank- und Versicherungsauszubildende weitere Bildungsgänge im Rahmen des beruflichen Gymnasiums, der Berufsfachschule, der Weiterbildung sowie der Berufs- und Fachoberschule an.¹

In dem Bereich der Weiterbildung ist unter anderem eine Europäische Wirt- schaftsfachschule (EWF) integriert. In Form von Wochenendunterricht werden innerhalb dieses Fachschulzweiges staatlich geprüfte Betriebswirte ausgebildet. Weiterhin bietet die Schule eine Weiterbildung im Bereich Finanzdienstleistun- gen an, wobei die Teilnahme an diesen Bildungsangeboten kostenpflichtig ist.²

2 Klassensituation

Die Schülerinnen und Schüler der Klasse OBF F WIM 6305 befanden sich im Bildungsgang der einjährigen Berufsfachschule (OBF). Bei diesem Bildungsgang handelt es sich um eine Berufsvorbereitung im Berufsfeld Wirtschaft und Verwaltung, wobei die Aufnahmevoraussetzung der erweiterte Hauptschulabschluss bzw. die erweiterte Berufsbildungsreife ist.

In dem Bildungsgang der OBF befanden sich Schülerinnen und Schüler, die von unterschiedlichen allgemeinbildenden Schulen an die Berufsschule wechselten. So- mit kannten sich die Mitschüler/innen im Regelfall erst seit Schuljahresbeginn und damit wenige Wochen. Eine Besonderheit bei den Schülerinnen und Schülern der OBF Klasse WIM 6305 bestand darin, dass bereits alle Teilnehmer/innen den mittleren Schulabschluss im Vorfeld der Berufsvorbereitung erworben hatten.

Die Klasse setzte sich aus insgesamt 23 Lernenden (12 Schüler und 11 Schüle- rinnen) zusammen. Durch Hospitationsbeobachtungen in der ersten Praktikums- woche konnten eigene Eindrücke gewonnen werden. Diese wurden durch Beur- teilungen der Lehrkraft ergänzt. Sowohl das soziale Klima innerhalb der Klasse als auch der Leistungsstand wurde insgesamt mit gut beurteilt. Die Schülerinnen und Schüler respektierten sich gegenseitig, ließen sich ausreden und hielten sich an die Unterrichtsregeln wie zum Beispiel Handzeichen bei Wortmeldungen. Die Lehrkraft hatte ein gutes Verhältnis zu den Lernenden und wurde ernst genom- men.

Insgesamt gab es 17 Schülerinnen und Schüler mit Migrationshintergrund, wobei alle die deutsche Sprache in der mündlichen Kommunikation gut bis sehr gut beherrschen. Der respektvolle Umgang unter den Klassenmitgliedern trug zu einer positiven Arbeitsatmosphäre sowie einem guten Klassenklima bei.

Innerhalb der Klasse gab es keinen Teilnehmer,³ bei dem im Vorfeld sonder- pädagogischer Förderbedarf nachgewiesen wurde. Neben dem insgesamt guten Leistungsstand der Klasse waren heterogene Leistungsstände während den Hos- pitationsbeobachtungen auffällig. Bei insgesamt drei Schülerinnen und Schülern waren die mathematischen Kenntnisse und Fähigkeiten weit über dem Klassen- niveau, wobei hingegen vier Lernende deutliche Schwierigkeiten im Mathematik- unterricht hatten.

Es erschien sinnvoll im Vorfeld der eigenen Unterrichtsstunden eine Lehrerein- schätzung einzuholen. Hierbei wurde darum gebeten, jeden einzelnen Schüler und jede einzelne Schülerin hinsichtlich des aktuellen Leistungsstandes einzuschätzen. Die Hospitationsbeobachtungen bestätigten sich dabei durch die Lehrereinschät- zungen. Von den 23 Lernenden schätzte die Lehrkraft hinsichtlich der mathema- tischen Kompetenzen 10 Teilnehmer positiv, 8 Teilnehmer durchschnittlich und 5 Teilnehmer als schwach ein. Die jeweils zugeordneten Schülerinnen und Schü- ler stimmten dabei mit den persönlichen Einschätzungen aus den Hospitationen überein.

Positiv innerhalb der Hospitationen wurde die Arbeitshaltung dieser Klasse wahrgenommen. Ausgegebene Arbeitsaufträge wurden selbständig und fast durchgängig ohne auftretende Unterrichtsstörung bearbeitet. Die Klasse war im Unterricht aktiv und einzelne Personen zeichneten sich durch kritische Betrachtungsweisen aus. Inhaltliche Bestandteile wurden konstruktiv hinterfragt und diskutiert, wobei der Mathematikunterricht immer Dienstag und Freitag in der ersten Unterrichtsstunde stattfand. Die Arbeitsbedingungen innerhalb der Klasse waren aus den genannten Gründen durchweg positiv zu bewerten.

Die Ausstattung des Klassenraums war einfach. Es stand eine Tafel mit Krei- de zur Verfügung, die als Hauptmedium für Unterrichtsstunden genutzt wurde. Weiterhin konnten die Lehrkräfte einen Overheadprojektor (OHP) als Medium gebrauchen. Weitere Medien gab es innerhalb der Klasse nicht. Der Klassenraum war ruhig gelegen und lautere Diskussionen störten dadurch keine Nachbarklas- sen.

3 Unterrichtete Stoffabschnitte

Das Thema der unterrichteten Stundenreihe waren die Rechengesetze, der Va- riablenbegriff und Terme sowie Termumformungen, wobei das Verständnis von Variablen sich in dem fachbezogenen, genauer prozessbezogenen, mathemati- schen Kompetenzbereich des Berliner Rahmenlehrplans widerspiegelt. Schülerin- nen und Schüler sollen die nötigen Kompetenzen erwerben, um mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen zu können.⁴

Der sichere Umgang mit Variablen und Termen ist direkt im Berliner Rahmenlehrplan unter den prozessbezogenen mathematischen Kompetenzbereichen zu finden.⁵ Das Lösen von Problemen mit Hilfe von Variablen und Termen ist inhaltlich im Pflichtbereich der Jahrgangsstufe 7/8 unter der zentralen Leitidee „Zahl“ des Berliner Rahmenlehrplans wiederzufinden. Übergreifend dazu gehört die Kompetenz „Erfassen und beschreiben von Funktionen durch Terme“ in die zentrale Leitidee des funktionalen Zusammenhangs, genauer in den Bereich „Mit Funktionen Beziehungen und Veränderungen beschreiben“.⁶

Da die Schülerinnen und Schüler der in Abschnitt 2 thematisierten OBF Klas- se bereits den mittleren Schulabschluss erreicht hatten, wurden die Inhalte der Stundenreihe an das schulinterne Curriculum angepasst. Aus diesem Grund wur- de das Thema der Stundenreihe verkürzt behandelt, da die Lernenden bereits Erfahrungen mit diesen Inhalten aus der vorherigen Schulzeit hatten. Die Stun- denreihe gliederte sich nach dem Thema Bruchrechnung ein. Im Anschluss folgt das Thema lineare Gleichungen.

Inhaltlich ging es dabei vielmehr um eine Wiederholung der Themen, wobei das Vorwissen der einzelnen Klassenmitglieder sehr unterschiedlich war. Deshalb wur- de der Variablenbegriff und die Rechengesetze grundlegend eingeführt, als seien sie zuvor unbekannt gewesen. Die Schülerinnen und Schüler sollten durch die Un- terrichtsreihe sicher mit Variablen in verschiedenen Sachzusammenhängen um- gehen können. Speziell bei dem Thema Terme und Termumformungen sollte der sichere Umgang erprobt werden.

Für die Stundenreihe zu den Rechengesetzen, Variablen und Termen waren drei Doppelstunden eingeplant. Im Anschluss fanden zwei weitere Doppelstunden zum Thema Termumformung statt, wobei das Thema Gleichungen direkt anschließen sollte. Unabhängig von der verkürzten Unterrichtsreihe in der einjährigen OBFKlasse wird der Unterrichtsverlauf im Folgenden so dargestellt wie er geplant worden wäre, wenn die Schülerinnen und Schüler keine Vorkenntnisse in den verschiedenen Thematiken gehabt hätten.

Tabellarische Anordnung der Stundenthemen ohne Vorwissen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Weiterführend würden Aufgaben zu Termumformungen behandelt werden, speziell dabei Potenzregeln und das Zusammenfassen von Variablen. Nach Abschluss dieses Inhaltskonzeptes könnten die erworbenen Kompetenzen ausgebaut und auf das Thema Gleichungen übertragen werden.

4 Sachanalyse

Die Sachanalyse wird dreiteilig dargestellt, da der Themenkomplex inhaltlich in der folgenden Reihenfolge aufeinander aufbaut. Anfangs wird die Bedeutung und fachmathematische Darstellung von Variablen thematisiert. Diese werden dann inhaltlich weiterführend für die Hintergrunddarstellung der Rechengesetze ver- wendet. Abgeschlossen wird die Sachanalyse mit dem Begriff der Terme.

4.1 Die Bedeutung von Variablen

In dem Verlauf der weiterführenden Schulmathematik kommt dem Thema Varia- blen eine wichtige Bedeutung zu. Im Rahmenlehrplan unter der Leitidee „Zahl“ wird darauf verwiesen, dass Schülerinnen und Schüler selbständig Variablen zur Beschreibung von Sachsituationen und zur Lösung von Problemen nutzen sollen. Die Einführung des Variablenbegriffs ist ebenfalls wichtig, da Variablen häufig als Bestandteile von Termen, Gleichungen, Funktionen und Formeln auftreten.⁷

Bei entsprechender Literaturrecherche ist feststellbar, dass Variablen häufig nur verwendet und nicht definiert werden, da Definitionen nur einige Aspekte des Variablenbegriffs beinhalten. Beispielhaft hierfür sind die folgende Definitionen von Schoenfeld/Arcvani 1988.

Verschiedene Definitionen:

1. „A quantity that may assume any one of a specified set of values.
2. A symbol in a mathematical formula representing a variable: place- holder.
3. A general purpose term in mathematics for an entity which takes various values in any particular context. The domain of the variable may be limited to a particular set of numbers or algebraic quantities.“⁸

Oben wurden nur drei ausgewählte Definitionen genannt. In der angegebenen Literatur gibt es eine Vielzahl weiterer Definitionsversuche zum Variablenbe- griff. Deutlich wird, dass eine mathematische Definition von Variablen nur einige Aspekte beinhaltet. Dieses Phänomen ist gleichermaßen für den Zahlbegriff zu beobachten, da dieser sich in einer Definition ebenfalls nicht vollständig erfassen lässt.⁹

Dennoch sind Variablen für die Schule und insbesondere in der Hochschulma- thematik unverzichtbar. Ein Beispiel ist die Beweisführung bei mathematischen Vermutungen und Sätzen. Lässt sich eine mathematische Vermutung mit konkre- ten Zahlen zeigen, so ist das kein allgemein gültiger Beweis für alle Zahlbereiche der Mathematik. Im Zusammenhang mit Abschnitt 4.2 soll folgendes Beispiel diese Thematik illustrieren:

Betrachtet wird das folgende Distributivgesetz: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] N0. Die Annahme sei, dass dieses Distributivgesetz kommutativ ist. Bei folgendem Zahlenbeispiel führt die Annahme zu keinem Widerspruch. Sei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ergibt sich ([Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Im Fall der Kommutativität ergibt sich für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und es folgt kein Widerspruch zur An- nahme, obwohl das betrachtete Distributivgesetz allgemein nicht kommutativ ist.

Im obigen Beispiel sind a und b beide gleich acht. Werden für a und b verschiedene Zahlen gewählt, so führt die Rechnung zu einem Widerspruch der Annahme. Sei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] so ergibt sich für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. In diesem Fall ist das obige Distributivgesetz nicht kommutativ.

Anhand dieses Beispiels wird deutlich, dass Variablen unter anderem in der ma- thematischen Beweisführung eine wichtige Rolle spielen. Es lassen sich vermutete Sätze, Regeln, Formeln und Gesetzmäßigkeiten im allgemeinen Fall zeigen oder widerlegen. Weiterhin können die Variablen für entsprechende Zahlbereiche ge- nutzt bzw. beschränkt werden, indem der Zahlbereich für jede Variable vorher definiert wird.

Wichtig ist, dass der Hintergrund von Variablen erfasst wird. Innerhalb der wei- terführenden Schulmathematik wird das Konzept der Variable fast durchgängig verwendet. Insbesondere bei Gleichungen, Funktionen und in der Stochastik wird das Verständnis von Variablen vorausgesetzt. Für die grafische Darstellung von Funktionen werden häufig Wertetabellen erstellt um den Funktionsverlauf skiz- zieren zu können. Die Schülerinnen und Schüler setzen hierzu beispielsweise ver- schiedene Werte für Variablen in eine Funktionsgleichung ein, um Wertepaare zu erhalten. Deshalb ist das Hintergrundwissen zu Variablen besonders wichtig.

Für die Einführung des Variablenbegriffs in die Schulmathematik lassen sich drei fachmathematische Aspekte als Zugangsmöglichkeit unterscheiden: der so- genannte Gegenstandsaspekt, der Einsetzungsaspekt und der Kalkülaspekt. Bei dem Gegenstandsaspekt wird eine Variable als unbekannte oder nicht näher be- stimmte Zahl definiert bzw. als unbekannter oder nicht näher bestimmter Denk- gegenstand.¹⁰

Eine Variable als Platzhalter für Zahlen bzw. Leerstellen, in die man Zahlen/ Zah- lennamen einsetzen darf, entspricht dem Einsetzungsaspekt. Der Kalkül- oder Re- chenaspekt bezeichnet eine Variable als bedeutungsloses Zeichen, mit dem nach bestimmten Regeln operiert werden darf.¹¹ Der Kalkülaspekt verweist damit di- rekt auf bestimmte Regeln bzw. Rechengesetze. Hierzu zählen das Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetz, auf die im Abschnitt 4.2 genauer eingegan- gen wird. Mit Hilfe von Variablen lassen sich diese Gesetze allgemein nachweisen und die Verbindungsstellen der angesprochenen Thematiken werden in dieser De- finition besonders deutlich.

Im Unterschied zu den eben erläuterten Zugängen wird in der Literatur häufig auch die Bindung von Variablen untersucht. Dieser Bindungsaspekt unterstützt die Aussage, dass eine Definition von Variablen nur einige Aspekte des Varia- blenbegriffs widerspiegelt. Im Algebra-Unterricht werden dabei insbesondere vier Fälle unter Betrachtung des Bindungsaspekts unterschieden, wobei diese auf den Gebrauch von Variablen in unterschiedlichen Situationen abzielen.

Fallunterscheidung bei der Bindung von Variablen im Algebraunterricht:

1. „Bindung durch Quantoren
2. Bindung durch Mengenbildung
3. Bindung durch Funktionsbildung
4. Bindung durch Kennzeichnung“¹²

Bei der Bindung durch Quantoren werden Variablen in Verbindung mit Aussagelogiken gebracht. Ein Beispiel für diesen Fall der Variablenbindung wäre [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Die Variable x ist hierbei mit dem Zeichen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (für alle) verbunden und bezieht sich auf die nachstehende Gleichung.

Die Lösungsmenge einer Gleichung entspricht dem zweiten Fall. Sei z.B. die Lö- sungsmenge einer Gleichung angegeben als [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Hierbei ist die Variable x gebunden an die entsprechende Gleichung innerhalb der Menge.

Im dritten Fall wird die Variable an eine Funktionsbildung gebunden. Dies ent- spricht dem Verweis auf Seite 7, dass Variablen im Verlauf der Schulmathematik in weiteren Themengebieten, wie z.B. der graphischen Darstellung von Funktio- nen, gebraucht werden. Exemplarisch hierfür wäre die folgende Aussage: „Die Funktion, welche [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] abbildet.“ Symbolisch für diesen Fall [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

In dem vierten Fall werden Variablen durch Kennzeichnungen verbunden. Ein Beispiel hierfür wäre die Aussage: „Dasjenige [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].“ In allen vier Fällen wird deutlich, dass Variablen in unterschiedlichen mathematischen Situationen genutzt werden. Eine allumfassende Definition ist deshalb fachmathematisch nicht zu finden.

Für den Schulunterricht sind neben den gängigen Definitionen auf Seite 6 die Hintergrundinformationen zu Variablen sehr wichtig, da die Bedeutungen von Variablen sich je nach Aufgabe und Thema unterscheiden. Der erste Aspekt „Bindung durch Quantoren“ konnte sich im Schulunterricht aufgrund übermäßiger Fehleranfälligkeit nicht durchsetzen.¹³

4.2 Das Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz

In Abschnitt 4.1 wurde bereits auf den Kalkülaspekt bei Variablen hingewiesen. Insbesondere bei Termumformungen könnte dieser Aspekt zielführend sein, weil hierbei die Variablen als bedeutungslose Zeichen interpretiert werden und strikt nach bestimmten Rechenregeln operiert wird.¹⁴ Der Zusammenhang zwischen den Variablen, den Rechengesetzen und den Termen wird an dieser Stelle sehr deutlich.

Bevor diese Termumformungen durchgeführt werden können, ist es wichtig, die angesprochenen Rechengesetze zu kennen. Im Folgenden werden die drei Rechen- gesetze (Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetz) definiert. Dabei wird der Zusammenhang der Zahlbereiche ([Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] vorausgesetzt.

Das Kommutativgesetz

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Assoziativgesetz

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Distributivgesetz

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Exemplarisch für die oben genannten Rechengesetze wird das Distributivgesetz

(i) bewiesen, wobei sich die übrigen Rechengesetze analog mit Hilfe der vollständigen Induktion zeigen lassen. Vor der Beweisführung gilt es folgende Voraussetzungen zu treffen:

V1 Es existieren die natürlichen Zahlen (sichergestellt durch die Peano-Axiome¹⁵ ).
V2 Die Addition ist innerhalb der natürlichen Zahlen wohldefiniert.
V3 Die Multiplikation ist innerhalb der natürlichen Zahlen wohldefiniert.
V4 Das Kommutativ- und Assoziativgesetz gilt für die Addition und Multipli- kation in dem Zahlbereich N.

Zu V2) Sei die Addition in N wie folgt definiert: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] wobei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] der Nachfolger von n ist (siehe Peano- Axiom P1)¹⁶.

Zu V3) Sei die Multiplikation in N wie folgt definiert: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Die Peano-Axiome sichern den Aufbau der natürlichen Zahlen N und werden an dieser Stelle nicht im Detail ausgeführt. Die Existenz der natürlichen Zahlen wird für den Beweis vorausgesetzt. Aus der angegebenen Literatur ergeben sich die vollständigen Peano-Axiome zum Aufbau von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

Beweis: (Induktion nach c)

Behauptung: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Induktionsanfang: Für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] wahr (s. V3)

Induktionsvoraussetzung: Die Behauptung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gelte für ein beliebiges aber festes [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

Induktionsschritt: Es gilt zu zeigen, dass aus [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Beweisverlauf verdeutlicht die in Abschnitt 4.1 angesprochene Relevanz von Variablen in mathematischen Situationen der Beweisführung. Das Verständnis der in diesem Kapitel dargestellten Rechengesetze ist für den Verlauf der Un- terrichtsreihe notwendig, insbesondere bei dem perspektivischen Thema der Ter- mumformung. Dort müssen Rechengesetze richtig angewendet werden.

Der Rahmenlehrplan verweist in der zentralen Leitidee „Zahl“ speziell auf die Kompetenzen, dass Schülerinnen und Schüler Gesetze zur Umformung von Glei- chungen begründen und die Rechenregeln auf Terme anwenden können.¹⁷ Aus diesem Grund ist das fachliche Hintergrundwissen zu den Rechengesetzen unab- dingbar.

Nachdem das Konzept der Variablen sowie das Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz analysiert und in Verbindung gebracht wurden, folgt in Abschnitt 4.3 die schon angesprochene Beziehung zu den Termen.

[...]

¹ vgl. [OSZ BV] Bildungsangebote.

² vgl. [EWF Berlin] Staatliche Europäische Wirtschaftsfachschule.

³ männliche personenbezogene Bezeichnungen werden für beide Geschlechter verwendet.

⁴ vgl. [BRLP] Berliner Rahmenlehrplan, Kapitel 2, Abschnitt 2.1.

⁵ vgl. [BRLP] Berliner Rahmenlehrplan, Kapitel 2, Abschnitt 2.2.

⁶ vgl. [BRLP] Berliner Rahmenlehrplan, Kapitel 4, Themen und Inhalte, S. 29-31.

⁷ vgl. [Malle], S. 44.

⁸ [Schoenfeld], S. 421-422.

⁹ vgl. [Malle], S. 44.

¹⁰ vgl. [Malle], S. 44.

¹¹ vgl. [Malle], S. 44.

¹² [Vollrath], S. 80-81.

¹³ vgl. [Vollrath], S. 80.

¹⁴ vgl. [Malle], S. 48.

¹⁵ vgl. [Reiss], Basiswissen Zahlentheorie, S. 63 ff.

¹⁶ vgl. [Reiss], Basiswissen Zahlentheorie, S. 63.

¹⁷ vgl. [BRLP] Berliner Rahmenlehrplan, Kapitel 4, Themen und Inhalte, S. 30. 11