Lade Inhalt...

Exotische Optionen, Amerikanische Optionen und Binomialbäume

Seminararbeit 2013 27 Seiten

BWL - Investition und Finanzierung

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

1. Einleitung

2. Grundlagentheorie des Binomialbaummodells
2.1 Notwendigkeit und theoretische Annahmen
2.2 Binomialbaummodell für amerikanische Standard-Optionen

3. Exotische Optionen
3.1 Begriffsabgrenzung und Systematik
3.2 Bewertung ausgewählter exotischer Optionen
3.2.1 Lookback Optionen
3.2.2 Barrier Optionen

4. Bewertung von Wandelanleihen

5. Zusammenfassung und Schlussbetrachtung

Anhang

Literaturverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1: Systematik exotischer Optionen

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Binomialbaum zur Bewertung von Standard-Optionen

Abbildung 2: Binomilbaum zur Bewertung von Lookback Optionen

Abbildung 3: Barriers bei Binomialbäumen

Abbildung 4: Barriers bei Trinoialbäumen

Abbildung 5: Das Adaptive Mesh Modell für Barrier Optionen

Abbildung 6: Baummodell für Wandelanleihen

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1. Einleitung

„Because options are specialized and relatively unimportant financial securities, the amount of time and space devoted to the development of a pricing theory might be questioned.“[1] Mit diesem Satz erhob Robert Merton im Jahre 1973 Zweifel an der Bedeutsamkeit der Entwicklung von Verfahren für die Bewertung von Optionen. Heute, rund 40 Jahre später, sind Optionen ein fester Bestandteil des modernen Risikomanagements und kaum jemand zweifelt wohl noch an deren Bedeutsamkeit.[2] Ein Blick auf die an der geregelten Wertpapierbörse gehandelten Optionskontrakte unterstreicht diesen Bedeutungszuwachs. Während im Jahre 1991 insgesamt 195 Mio. Optionskontrakte gehandelt wurden, waren es im Jahre 2001 bereits 1.358 Mio. und im Jahre 2011 über 6.776 Mio. Kontrakte.[3] Bei dem größten Teil dieser Optionskontrakte handelt es sich um Standard-Optionen, auch als Plain Vanilla Optionen bezeichnet, die sich durch Ihre hohe Marktliquidität auszeichnen. Um jedoch den zunehmend komplexeren Spekulations- und Absicherungsbedürfnissen von Finanzmarktakteuren entsprechen zu können, wurden im Rahmen des Financial Engineering verstärkt auch nicht standardisierte, sogenannte exotische Optionen entwickelt und erfolgreich am Markt etabliert. Eine höhere Komplexität des Optionsvertrages geht jedoch einher mit einem steigenden Aufwand bei der Bewertung dieser. Händler basieren Ihre Optionspreise zumeist auf analytischen oder numerischen Näherungsverfahren, da exakte analytische Lösungen nur für eine geringe Anzahl der am Markt handelbarer Optionen vorhanden sind.[4]

Im Rahmen dieser Seminararbeit wird gezeigt, wie sich verschiedene Finanzmarktinstrumente mit Hilfe des numerischen Verfahrens der Binomialbaumbewertung und einiger Erweiterungen dieser bewerten lassen. Dazu werden zunächst im Abschnitt zwei die theoretischen Annahmen des Binomialbaummodells sowie dessen grundlegendes Bewertungsverfahren vorgestellt. Abschnitt drei bildet den Schwerpunkt der Arbeit. Hier werden die gewonnenen Erkenntnisse genutzt und für die Bewertung von Barrier und Lookback Optionen als Vertreter der exotischen Optionen angewendet. Um auftretende Ungenauigkeiten bei der Bewertung von Barrier Optionen zu reduzieren, wird u.a das Trinomialbaumverfahren und das Adaptiven Mesh Modells vorgestellt. Im darauf folgenden Abschnitt steht die Bewertung von Wandelanleihen als Vertreter für weitere mit Hilfe des Baumverfahrens bewertbarer Finanzmarktinstrumente im Vordergrund. Der letzte Abschnitt fasst die gewonnenen Erkenntnisse zusammen und beschließt die Arbeit.

2. Grundlagentheorie des Binomialbaummodells

2.1 Notwendigkeit und theoretische Annahmen

Wie bereits Eingangs beschrieben, liegen analytische Lösungen für die Bewertung von Optionen nur für relativ einfache Bewertungsprobleme vor. Möchte man hingegen Standard-Optionen amerikanischen Typs bzw. exotische Optionen möglichst realitätsnah bewerten, ist es in der Regel notwendig, auf numerische Bewertungsverfahren zurückzugreifen. Eines dieser Verfahren, das sich erstmals 1979 in den Arbeiten von Cox, Ross und Rubinstein [5] sowie Rendleman und Bartter [6] findet, ist das Binomialmodell. Es zeichnet sich insbesondere durch ein hohes Maß an Flexibilität und geringe mathematische Anforderungen aus.[7] Schlüsselelement bei dessen Verwendung ist das Prinzip der risikoneutralen Bewertung. Dieses besagt, dass eine Option unter der Annahme einer risikoneutralen Welt bewertet werden kann. Der Preis der sich auf dieser Grundlage ergibt, ist nicht nur für die risikoneutrale Welt korrekt, sondern ebenso für die reale Welt.[8] Es wird daher die Annahme getroffen, dass die erwartete Rendite aller gehandelten Underlyings dem risikolosen Zinssatz r entspricht. Weitere Annahmen des Binomialmodells sind:

- Der Wertpapierhandel findet nur zu diskreten Zeitpunkten t statt.
- Der Kurs des Basiswertes folgt einem multiplikativen binomialen Prozess mit zeitgleichen Abständen und kann zu jedem Zeitpunkt aus einer diskreten Zustandsmenge nur einen Wert annehmen.
- Es fallen weder Steuern noch Transaktionskosten an.[9]

2.2 Binomialbaummodell für amerikanische Standard-Optionen

Um eine amerikanische Standard-Option mit Hilfe eines wie in Abbildung 1 dargestellten Binomialbaummodells bewerten zu können, ist in einem ersten Schritt zunächst die Laufzeit T der Option in eine gleich große Anzahl kleiner Zeitintervalle der Länge mit zu unterteilen. Die Genauigkeit der Optionsbewertung hängt dabei von der Anzahl N der verwendeten Zeitschritte ab. Wird die Anzahl der Zeitschritte zu niedrig gewählt, wiegt der Verteilungsfehler, der sich durch Approximation der Lognormalverteilung des Aktienkurses durch die diskrete Binomialbewertung ergibt, relativ hoch.[10] Hull geht davon aus, dass in der Praxis eine Anzahl von 30 Zeitschritten zu akzeptablen Ergebnissen führt.[11] Einen numerisch exakten Wert erhält man jedoch nur im Grenzfall gegen null.

In einem zweiten Schritt ist das zeit- und zustandsdiskrete Binomialbaumszenario für den Basiswert S aufzustellen.[12] Dazu ist für jedes Zeitintervall eine Anzahl von möglichen Basiswerten zu ermitteln. Der Preis des Underlyings kann von Zeitpunkt i zu Zeitpunkt i+1 entweder mit einer Wahrscheinlichkeit von p um den Faktor u steigen oder mit einer Wahrscheinlichkeit von 1-p um den Faktor d fallen. Wird nun angenommen, dass der Preis des Basiswertes zu Beginn des Zeitintervalls bekannt ist, so kann der Wert des Underlyings an jedem beliebigen Zeitpunkt i und Knoten j berechnet werden durch:[13]

[14] (1)

Bei der Wahl der Parameter u, d und p ist zu beachten, dass diese nicht beliebig ausfallen kann, da Konvergenz des diskreten gegen den stetigen Preisprozess sichergestellt werden muss.[15] Die Parameter sind demzufolge so zu wählen, dass Standardabweichung und Mittelwert der Preisänderungen des Underlyings in einer risikoneutralen Welt korrekt wiedergegeben werden.[16] Die folgenden Gleichungen genügen diesen Anforderungen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Setzt man voraus, dass q für die Rendite des Basiswertes steht, so lässt sich der Wachstumsfaktor a wie folgt berechnen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mit Hilfe der Gleichungen (1) bis (3) kann schließlich die Basiswertentwicklung modelliert werden.

Der nächste Schritt besteht darin, den Preis der Option durch Rückwärtsinduktion zu ermittelt.[17] Unter Annahme das K für den Basispreis des Underlyings steht, ergibt sich der Wert einer amerikanischen Verkaufsoption am Laufzeitende durch:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Wert einer amerikanischen Kaufoption bestimmt sich aus:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für alle anderen Knoten ist zusätzlich zu prüfen, ob eine vorzeitige Ausübung sinnvoll ist. Daher ist der innere Wert der Option an jedem Knoten (i,j) mit dem Wert der Option, falls keine vorzeitige Ausübung stattfindet, zu vergleichen. Für die amerikanische Put Option gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für die amerikanische Call Option gilt äquivalent:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Auch wenn die Konvergenzeigenschaften das Binomialmodell aus numerischer Sicht nicht auszeichnen, da die Genauigkeit der Bewertung stark von der Anzahl der gewählten Zeitschritte abhängt, ermöglicht es dennoch eine schnelle Bewertung amerikanischer Standard-Optionen.[18] Ebenso kundenspezifische Verträge, d.h. Verträge deren Ausgestaltung individuell ist, wie bspw. bei exotischen Optionen, können mit Hilfe des Binomialmodells bzw. einiger Erweiterungen dieses bewertet werden, wie sich in Abschnitt 3.2 zeigen wird. Zunächst wird jedoch ein Überblick über Begriff und Systematik exotischer Optionen gegeben.

3. Exotische Optionen

3.1 Begriffsabgrenzung und Systematik

Als Begriff eingeführt von Rubinstein im Jahre 1990 stellen exotische Optionen Finanzverträge dar, deren Auszahlung über die einer normalen Put- und Call-Option hinaus von weiteren Bedingungen abhängt.[19] Diese zusätzlichen Bedingungen ermöglichen eine Anpassung der Verträge an die spezifischen Kundenbedürfnisse. Als Motiv für den Kauf von exotischen Optionen werden neben Absicherungs- und Spekulationsbedürfnissen häufig auch bilanzielle, juristische, steuerliche und regulatorische Gründe genannt, die solche Optionen für Finanzmanager attraktiv machen.[20] Auch für den Optionsstillhalter ist das Engineering exotischer Optionen aufgrund der hohen Gewinnspanne häufig sehr profitabel. Diese im Vergleich zu Plain Vanilla-Optionen erhöhte Gewinnspanne ist vor allem damit zu begründen, dass exotische Optionen nicht standardisiert sind und somit fast ausschließlich außerbörslich (over-the-counter) gehandelt werden, wodurch sich eine schlechtere Vergleichbarkeit zwischen den verschiedenen Anbietern ergibt.[21]

Wie aus Tabelle 1 hervorgeht, kann eine erste Klassifikation exotischer Optionen in einfaktorielle und mehrfaktorielle Optionen vorgenommen werden. Einfaktorielle Optionen, die wiederum als qualitative oder quantitative Optionen konzipiert sein können, beziehen sich nur auf ein Basisinstrument. Bei mehrfaktoriellen Optionen hängt die Auszahlung von mehreren Basisinstrumenten ab. Darüber hinaus kann zwischen pfadunabhängigen und pfadabhängigen Optionensverträgen unterschieden werden. Als pfadabhängig wird eine Option bezeichnet, wenn die Auszahlung zur Optionsfälligkeit von der Kursentwicklung des Underlyings während der gesamten Optionslaufzeit abhängt. Pfadabhängige Optionen können zudem einem Schwellenkriterium unterliegen. Bei pfadunabhängigen Optionen spielt die Kursentwicklung für den Wert der Option am Laufzeitende hingegen keine Rolle.

Tabelle 1: Systematik exotischer Optionen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: In Anlehnung an Rudolf, B./Schäfer K. (2010), S. 353.

In der Finanzpraxis existieren neben den in Tabelle 1 gelisteten Optionen zahlreiche weitere Typen exotischer Optionen, die zumeist nicht nur in Ihrer Reinform vorzufinden sind, sondern in zahlreichen Kombinationen und Varianten. Im Folgenden fokussiert sich diese Arbeit jedoch nur auf die Bewertung von Lookback und Barrier Optionen, da diese in der Praxis besondere Relevanz besitzen.[22]

3.2 Bewertung ausgewählter exotischer Optionen

3.2.1 Lookback Optionen

Bei Lookback Optionen handelt es sich um einfaktorielle, pfadabhängige exotische Optionen die keinem Schwellenkriterium unterliegen. Das besondere Kennzeichen dieses Optionsvertrages ist, dass die Auszahlung vom minimalen oder maximalen während der Optionslaufzeit erreichten Assetpreises abhängt.[23] Eine Unterteilung kann in Fixed und Floating Lookback Optionen vorgenommen werden. Die Auszahlung einer Fixed Lookback Option europäischen Typs ähnelt in den Grundzügen der einer Standard-Option. Einziger Unterschied ist, dass der Assetpreis am Ende der Optionslaufzeit im Falle eines Calls mit dem höchsten und im Falle eines Puts mit dem niedrigsten während der Optionslaufzeit erreichten Assetpreises ersetzt wird. Bei einer Floating Lookback Optionen hingegen wird der Betrag ausgezahlt, um den der Assetpreis bei Fälligkeit den kleinsten (im Falle eines Calls) bzw. den größten (im Falle eines Puts) Assetpreis, der während der Optionslaufzeit erreicht wurde, übersteigt. Da der Optionsinhaber durch diese Eigenschaften stets das bestmögliche Auszahlungsprofil erhält, sind Lookback Optionen im Vergleich zu Standard-Optionen in der Regel sehr teuer.[24]

Bewertungsformeln wurden jedoch nur für bestimmte Typen der Lookback Optionen entwickelt. In Fällen, in denen keine analytische Lösung zur Verfügung stehen, kann auf ein modifiziertes Binomialverfahren[25] zurückgegriffen werden. Zur Illustration des Verfahrens wird im Weiteren ein amerikanischer Floating Lookback Put auf eine dividendenlose Aktie betrachtet. Um diesen zu bewerten, kann ein wie in Abbildung 2 dargestellter Binomialbaum konstruiert werden. Nach Festlegung der Anzahl der Zeitschritte[26] ist zunächst der Wert des Underlyings an jedem Knoten auf bekannte Weise zu bestimmen.[27] Zentrale Erweiterung gegenüber der Bewertung von Standard-Optionen liegt in der Einführung einer Pfadfunktion P. Diese Funktion gibt an jedem Knoten das bisherige Maximum des Aktienkurses an, das auf Pfaden erreicht werden konnte, die zu diesem Knoten führen. Demnach ist es möglich, dass an einem Knoten x verschiedene Werte für P ermittelt werden können, abhängig von der Anzahl der Pfade, die zu dem jeweiligen Knoten führen. Der x-te Wert der Pfadfunktion am Knoten (i,j) wird im Folgenden mit der Notation Pi,j,x bezeichnet. Um für alle Pi,j,x den korrespondierenden Wert der Option fi,j,x mit Hilfe des im Folgenden beschriebenen Baumverfahrens ermitteln zu können, müssen drei Voraussetzungen erfüllt sein:

1) Optionsauszahlungen dürfen nur von einer Pfadfunktion P abhängen.[28]
2) Der Wert der Pfadfunktion P zum Zeitpunkt muss sich aus den Werten von P zum Zeitpunkt t und dem Preis des Basiswertes S0 zum Zeitpunkt berechnen lassen.
3) Die Anzahl der verschiedenen Werte der Pfadfunktion P darf in jedem Knoten bei steigender Anzahl von Zeitschritten nicht zu schnell steigen.[29]

Sind die Voraussetzungen erfüllt, kann fi,j,x für alle Knoten auf bekannte Weise rückwärts rekursiv ermittelt werden. Der Optionswert am Endknoten f3,j,x ergibt sich jeweils als Differenz von maximalem und tatsächlichem Aktienkurs, .[30] (10)

Für die Berechnung aller weiteren Optionswerte (i<3) ist zu berücksichtigen, dass der x-te Wert von Pi,j,x am Knoten (i, j) zu dem xu-ten Wert von Pi,j,x am Knoten (i+1, j+1) bei einer Aufwärtsbewegung des Aktienkurses und zu dem xd-ten Wert von Pi,j,x im Knoten (i+1, j) bei einer Abwärtsbewegung des Aktienkurses führt. Der Wert eines amerikanischen Floating Lookback Puts ergibt sich entsprechend als Maximum aus (a) der Differenz von maximalen und tatsächlichen Aktienkurs und b) dem diskontierten Erwartungswert, falls die Lookback Option für ein weiteres Zeitintervall der Länge gehalten wird. Formal bedeutet dies:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.2.2 Barrier Optionen

Barrier Optionen, häufig auch als Schwellenoptionen bezeichnet, sind Finanzverträge bei denen die Auszahlung neben dem Schlusskurs zusätzlich vom Kursverlauf des zugrunde liegenden Basiswertes abhängig ist. Der Schlusskurs legt die Höhe der Auszahlung fest, während die Barrier bestimmt, ob überhaupt eine Zahlung erfolgt. Eine Unterteilung von Barrier Optionen erfolgt in Knock-in und Knock-out Optionen, wobei auch hier zahlreiche Untergruppen existieren.[31]

Produktstrukturen mit Schwellenkriterien erfreuen sich in der Finanzwelt großer Beliebtheit. Deren Bewertung kommt daher eine besondere Bedeutung zu.[32] Für die meisten Barrier Optionen europäischen Typs wurden bereits frühzeitig analytische Lösungen entwickelt, beginnend im Jahre 1973 durch Merton.[33] Aufgrund der mangelnden Integrationsfähigkeit des vorzeitigen Ausübungsrechts können diese Ansätze bis auf wenige Sonderfälle jedoch nicht für Schwellenoptionen amerikanischen Typs angewendet werden. Liegen keine analytischen Lösungen vor, kann auch hier auf Näherungsverfahren zurückgegriffen werden.[34]

Grundsätzlich ist es möglich, für die Bewertung von Barrier Optionen das Binomialbaummodell heranzuziehen. Der prinzipielle Unterschied zu Plain Vanilla Optionen besteht darin, dass die Option bei Erreichen einer Schwelle entweder erst einen Wert erhält (In-Option) oder wertlos verfällt (Out-Option). Aufgrund dieser Eigenschaft sind Barrier Optionen in der Regel preiswerter als Standard-Optionen.[35]

Abbildung 3 veranschaulicht die Problematik, die sich bei der Binomialbaumbewertung ergibt. Dem Baum gelingt es in der Regel nicht, den Wert der tatsächliche Barrier, der im Folgenden mit H bezeichnet wird, als Knotenwert zu erfassen. Vielmehr setzen die Berechnungen voraus, dass die tatsächliche Barrier der äußeren Barrier entspricht, also dem ersten Knotenwert, welcher der tatsächlichen Barrier folgt.[36] Bei Nichtidentität von tatsächlicher und äußerer Barrier führt die bekannte Binomialbaumberechnung jedoch zu einer fehlerhaften Bewertung der Option.[37] Während sich der Verteilungsfehler, der sich durch Approximation der stetigen Lognormalverteilung durch die diskrete Binomialbewertung ergibt, durch eine ausreichend große Anzahl von Zeitschritten wirksam reduzieren lässt, wiegt der Nichtlinearitätsfehler schwerer.[38] Dieser, durch die Nichtlinearität der Optionswertfunktion verursachte Fehler, lässt sich auch durch eine sehr große Anzahl von Zeitschritten nur unregelmäßig und sprunghaft reduzieren.[39]

Alternativ kann für die Bewertung von Barrier Optionen ein Trinomialbaum herangezogen werden (Abbildung 4). Der Unterschied zum Binomialbaum besteht darin, dass der Kurs des Underlyings von Zeitpunkt i zu Zeitpunkt i+1 an jedem Knoten drei mögliche Bewegungen ausführen kann: Neben einer Aufwärtsbewegung u mit der Wahrscheinlichkeit pu, einer Abwärtsbewegung d mit der Wahrscheinlichkeit pd ist auch eine mittlere Bewegung mit der Wahrscheinlichkeit pm möglich. Das Trinomialbaumverfahren funktioniert für die Bewertung von Schwellenoptionen prinzipiell besser als ein vergleichbares Binomialbaumverfahren.[40] Jedoch kommt es im Regelfall auch hier aufgrund des Nichtlinearitätsproblems, selbst nach einigen hundert Zeitschritten, noch zu großen Ungenauigkeiten bei der Optionsbewertung.[41]

Eine Möglichkeit, dieses Problem zu umgehen, besteht darin sicherzustellen, dass die Knoten des Baumes direkt auf der Barrier liegen.[42] Um dies zu bewerkstelligen, muss Parameter u die folgende Bedingung erfüllen:[43]

[...]


[1] Merton (1973), S. 141.

[2] Vgl. Schäfer (1998), S. 1.

[3] Vgl. http://www.bis.org/publ/qtrpdf/r_qt1212.htm, Zugriff: 07.02.2013.

[4] Vgl. Deutsch (2008), S. 145 i.V.m. Schäfer (1998), S. 2.

[5] Vgl. Cox/Ross/Rubinstein (1979). S 229-263.

[6] Vgl. Rendleman/Bartter (1979), S. 1093-1110.

[7] Vgl. Sandmann (2010), S. 199 f.

[8] Vgl. Hull (2012), S. 330.

[9] Vgl. Sandmann (2010), S. 200.

[10] Vgl. Figlewski/Gao (1999), S. 316 f..

[11] Vgl. Hull (2012), S. 544.

[12] Vgl. Weßels (1992), S. 47.

[13] Die aufgeführten Gleichungen (1) bis (9) entstammen aus: Hull (2012), S. 540 ff..

[14] Es gilt

[15] Vgl. Wilkens (2000), S. 137.

[16] Vgl. Hull (2012), S. 581.

[17] Vgl. Sandmann (2010), S. 205.

[18] Vgl. Mußhoff/Hirschauer (2003), S. 150.

[19] Vgl. Rubinstein (1990), S. 1 ff.

[20] Vgl. Hull (2012), S. 714 i.V.m Rudolph/Schäfer (2010), S. 351.

[21] Vgl. Sandmann (2010), S. 81 i.V.m Schäfer (1998), S. 5.

[22] Vgl. Boyle/Tian (1999), S. 241 i.V.m. Rudolf/Schäfer (2010), S. 352.

[23] Vgl. Franke/Härdle/Hafner (2008), S. 150.

[24] Vgl. Hull (2012), S. 710 i.V.m. Schäfer (1998), S. 13.

[25] Das folgende Bewertungsverfahren für Lookback Optionen basiert auf Hull/White (1993), S. 22 ff.. Zusätzliche Literaturquellen sind entsprechend gekennzeichnet.

[26] Zur besseren Illustration des Bewertungsverfahrens wurde die Anzahl der Zeitschritte auf drei festgelegt.

[27] Siehe hierfür Abschnitt 2.2.

[28] Vgl. Hull (2012), S. 758.

[29] Für den Fall, dass die Anzahl der verschiedenen Werte der Pfadfunktion sehr groß ist, kann auf dem vorgestellten Bewertungsverfahrend aufbauend ein modifiziertes Verfahren herangezogen werden. Für eine Einführung zur Vorgehensweise siehe Hoek/Elliott (2006), S. 115 ff.. Ausführlichere Erläuterungen sind in Hull/White (1993), S. 24 ff. zu finden.

[30] Die Gleichung (10) und (11) wurden unter Zuhilfenahme des in Hull (2012), S. 758 f. angegebenen Beispiels entwickelt.

[31] Vgl. Sandmann (2010), S. 237.

[32] Vgl. Franke/Härdle/Hafner (2008), S. 150.

[33] Vgl. Merton (1973), S. 175 ff.

[34] Vgl. Schäfer (1998), S. 66.

[35] Vgl. Rudolf/Schäfer (2010), S. 355.

[36] Vgl. Hull (2012), S. 762.

[37] Vgl. Schäfer (1998), S. 151.

[38] Vgl. Ahn/Figlewski/Gao (1999), S.34.

[39] Das unregelmäßige und sprunghafte Verhalten (auch als Sägezahneffekt bezeichnet) bei der Reduktion des Nichtlinearitätsfehlers ist darauf zurückzuführen, dass sich mit zunehmender Anzahl an Zeitschritten auch die Preisschritte verändern. Befindet sich der Knotenwert (äußere Barrier) bspw. von einer out-Option sehr nahe oberhalb (bei down-and-out Option) bzw. unterhalb (bei up-and-out Option) der tatsächlichen Barrier, wird der Optionswert in der Regel sehr gut geschätzt. Wird nun jedoch die Anzahl der Zeitschritte leicht erhöht, kann dies dazu führen, dass der Wert für die äußere Barrier stark zunimmt, da erst der folgende Knotenwert als äußere Barrier erfasst wird. Dies führt dazu, dass die Wahrscheinlichkeit des wertlosen Verfalls der Option (knock-out) sinkt und somit der Optionswert plötzlich stark ansteigt. Aus diesem Grund ist es möglich, dass eine Optionsbewertung mit 200 Zeitschritten zu einem genaueren Ergebnis führen kann als eine Bewertung mit 900 Zeitschritten, vgl. Boyle/Lau (1994), S. 7 ff. i.V.m. Figlewski/Gao (1999), S. 328 ff. sowie Wilken (2000), S. 153.

[40] Vgl. Hull (2012), S. 761.

[41] Vgl. Ahn/Figlewski/Gao (1999), S. 33.

[42] Vgl. Hull (2012), S. 762.

[43] Die Gleichungen (12) bis (18) entstammen aus Hull (2012), S. 761 ff.. Der Ausdruck wurde in den Gleichungen (15) bis (17) zur besseren Übersicht durch ersetzt.

Details

Seiten
27
Jahr
2013
ISBN (eBook)
9783656631620
ISBN (Buch)
9783656631613
Dateigröße
713 KB
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v271070
Institution / Hochschule
Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg – Lehrstuhl Betriebswirtschaftliche Steuerlehre
Note
1,0
Schlagworte
Exotische Optionen Amerikanische Optionen Binomialbäume Optionen Bewertung von Optionen

Autor

Teilen

Zurück

Titel: Exotische Optionen, Amerikanische Optionen und Binomialbäume