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Geschichte der islamischen Mathematik, ihr Beitrag zur Algebra

Bachelorarbeit 2014 50 Seiten

Mathematik - Algebra

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

1 Einleitung

2 Historischer Überblick

3 Islamische Gelehrte
3.1 Al-Hwārizmī
3.2 Omar Hayyām.

4 Islamische Sprache und Arithmetik
4.1 Arabische Sprache
4.2 Rechnen im Islam
4.2.1 Zum Zahlenbegriff und Zahlensystem.
4.2.2 Die Zahl Null
4.2.3 Kushyars Arithmetik
4.2.3.1 Addition.
4.2.3.2 Subtraktion
4.2.3.3 Multiplikation
4.2.3.4 Division

5 Beiträge zur Geometrie

6 Beiträge zur Algebra
6.1 Einleitende Bemerkungen
6.2 Fortschritte in der Algebra vor der islamischen Zeit
6.3 Al-Hwārizmī`s Algebra
6.4 Quadratische Gleichungen
6.5 Weiterführung der Algebra
6.5.1 Abū Kāmil’s Algebra
6.5.2 Ursprünge der kubischen Gleichungen
6.5.3 Omar Hayyām’s Algebra.

7 Schlusswort.

8 Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abb. 1 Arabische Zahlschrift

Abb. 2 Die Stammtafel unserer Zahlzeichen

Abb. 3 Schriftliche Addition nach Kushyar

Abb. 4 Schriftliche Subtraktion nach Kushyar

Abb. 5 Schriftliche Multiplikation nach Kushyar

Abb. 6 Schriftliche Divison nach Kushyar

Abb. 7 Konstruktion

Abb. 8 Konstruktion

Abb. 9 Konstruktion

Abb. 10 Konstruktion

Abb. 11 Konstruktion

Abb. 12 Konstruktion

1 Einleitung

Heute werden in der Mathematik die Wörter Algebra und Algorithmus sehr oft verwendet. Viele wissen, dass diese Wörter arabischer Herkunft sind. Dass wir heute „arabische“ Zahlen verwenden, ist den meisten auch klar. Dennoch bleibt der genauere Hintergrund oft unbekannt.

Diese Bachelor-Thesis möchte diese Lücke schließen und den Lesern einen Einblick in die islamische Mathematik verschaffen und dabei unter anderem auch ihre wichtigsten Leistungen in der Algebra vorstellen.

Auch ist es von Interesse, neben den zwei wichtigsten mathematischen Gelehrten al-Hwārizmī und Omar Hayyām, die eine Schlüsselrolle in der islamischen Mathematik gespielt haben, den Einfluss der islamischen Mathematik auf die nachfolgenden Völker zu verdeutlichen.

Denn die islamische Mathematik ist aus der Geschichte der Mathematik nicht wegzudenken. Sie spielt eine sehr wichtige Rolle und hat einen beträchtlichen Einfluss auf spätere Wissenschaften gehabt. Ihre erzielten Fortschritte waren besonders wichtig für das Abendland, denn die Arbeiten dort haben sich auf die Arbeiten der islamischen Gelehrten gestützt. Außerdem diente sie als Vermittler zwischen Orient und Okzident.1

Des Weiteren ist es von Vorteil und für angehende Mathematiklehrer - wie den Verfasser - wichtig, mehr über die Geschichte der Mathematik zu erfahren, denn sie bewahrt sehr viele theoretische Vorteile. Dies dient zur Erweiterung des ma- thematischen Horizontes und bewirkt ein umfassenderes und besseres Verständnis der Inhalte.

Die Arbeit beginnt zunächst mit einem historischen Überblick und dabei mit der Entstehung der islamischen Religion. Mit dieser einher geht auch die Ausbreitung des arabischen Volkes und somit auch die Entstehung und Verbreitung der Wissenschaften im arabischen Gebiet.

Anschließend folgt eine kurze Beschreibung der arabischen Sprache und die Ver- breitung und Verwendung des indischen Zahlensystems, insbesondere die Entstehung der Zahl Null im arabischen Verwaltungsgebiet. Das Kapitel schließt mit der Vorstellung der Grundrechenarten nach den Indern ab, die der Mathematiker Kushyar ibn Labban in seinem Buch beschrieben hat.

Im weiteren Verlauf folgt ein Überblick über die glanzvollen Erfolge der islami- schen Mathematiker im Gebiet der Geometrie, insbesondere in der Trigonometrie.

Zu guter Letzt befasst sich die Arbeit mit der islamischen Algebra. Es werden die Lösungen der quadratischen und kubischen Gleichungen vorgestellt, so es wie die großen islamischen Mathematiker al-Hwārizmī und Omar Hayyām in ihren Büchern gemacht haben.

Die Arbeit endet mit einem Fazit, in dem versucht wird, zusammenfassend die wichtigsten Leistungen der arabischen Gelehrten noch einmal darzustellen und so den Einfluss auf das Abendland sichtbar zu machen.

Einen Hinweis sollte ich vor Beginn dieser Arbeit noch geben: Oft werde ich im Laufe dieser Thesis von arabischen Menschen und Gelehrten reden, die aber nicht zwangsmäßig einen arabischen Hintergrund besitzen müssen. Eher sind damit Menschen gemeint, wenn nicht explizit anders angegeben, die im arabischen Verwaltungsgebiet gewirkt haben.

Die geometrischen Konstruktionen bzw. Begründungen zu quadratischen und kubischen Gleichungen wurden hier mit der Mathematik-Software „Geogebra“ nachgezeichnet.

2 Historischer Überblick

Gegen Anfang des 7. Jahrhunderts entstand auf der arabischen Halbinsel eine neue monotheistische Religion: der Islam. Der Begründer dieser Religion war Muhammed (571-632), der sich als Prophet Allahs2 verstand. Im Jahre 622 war er gezwungen, bewirkt durch eine schwere wirtschaftliche und politische Krise in Arabien, nach Medina zu flüchten. In Medina konnte der Prophet Muhammed sehr viele Menschen von der neuen Religion überzeugen. Mit ihnen kehrte er nach acht Jahren (630) als anerkannter Prophet nach Mekka zurück. Zwei Jahre nach seiner Rückkehr verstarb er. Das Jahr 622, also die Flucht bzw. die Auswande- rung, auch genannt die „ Hidschra “, wurde zum Beginn der muslimischen Zeit- rechnung.3

Nach dem Tod des Propheten Muhammed wurden Kalifen4 ernannt, die in der Verbreitung des Islams die Mission fortsetzten. Unter der Macht der Kalifen ha- ben die Araber in einem plötzlichen Aufstieg riesige Gebiete erobert. Bis kurz vor Mitte des 8. Jahrhunderts brachten sie große Teile Vorderasiens, Nordafrikas und Spaniens unter ihre Herrschaft. Von Ägypten über Syrien, Armenien, den Irak, Persien, die arabische Halbinsel und Indien bis zu den Grenzen Chinas, hoch nach Choresm (das damalige Land südlich des Aralsees), nach Westen von ganz Nord- afrika über die Meerenge Gibraltar (gebel at-Tarek, d. h. der Berg des Tarek), nach Europa bis zu den Grenzen Frankreichs war nun arabisches Land.

Die griechisch-römische Kultur wurde verdrängt und es wurde anstelle von Grie- chisch oder Lateinisch die Amtssprache Arabisch eingeführt. Man nimmt an, dass bei wissenschaftlichen Dokumenten eine neue Sprache die Wahrheit verdunkelt, jedoch zeigten die Araber eine gewisse Toleranz und haben einen bemerkenswer- ten Wert auf verschiedene Kulturen gelegt. Zum Teil hatten alte Einheimische unter der Verwaltung der Araber sogar bessere Möglichkeiten des Fortbestandes. Somit existierte immer noch eine ungebrochen griechische Tradition, die ihre Kultur bewahrte.5

Leider gab es auch Fälle des extremen Fanatismus, wie unter dem Kalifen Omar (634-644), der im Iran eine große Menge erbeuteter nicht islamischer Bücher mit der Aussage: „Enthalten diese Bücher etwas, was zur Wahrheit führt, so hat uns Allah das gegeben, was noch besser zu dieser hinführt; sollten sie aber etwas Fal- sches enthalten, so sind sie überflüssig.“6 vernichten ließ.

Ein weiterer Fall von Fanatismus spielte sich im damals hochentwickelten Staat Choresm ab. Dort wurde durch die Eroberungszüge der Araber die Bevölkerung grausam unterdrückt und ihre kulturellen Errungenschaften wurden vernichtet. Al- Bīrūnī, Gelehrter aus Choresm, beschreibt im 11. Jahrhundert die damalige Lage wie folgt: „Und so vernichtete Quataiba die Menschen, die die choresmische Schrift gut beherrschten, die die choresmischen Überlieferungen kannten und das Wissen lehrten, das bei den Choresmiern vorhanden war; er unterwarf sie ver- schiedenen Quälereien, so dass diese Überlieferungen derart in Dunkel gehüllt sind, dass man bereits nicht mehr feststellen kann, was in Choresm sogar nach der Entstehung des Islam vor sich gegangen war.“7 Diese Handlungen waren aber nur wenige Ausnahmen, die man bei anderen Herrschern nicht beobachten konnte.8

Für die Verbreitung wissenschaftlicher Kenntnisse war der Handel von großer Bedeutung, Die Handelsbeziehungen des Kalifats reichten sehr weit: Die Araber handelten mit Indien und China, mit Byzanz und Russland und mit sämtlichen Küstengebieten des Mittelmeeres.9

Neben der geistigen Denkweise waren für das Aufblühen der Naturwissenschaften starke rationalistische und materialistische Strömungen innerhalb der islamischen Philosophie verantwortlich. Diese förderten unter anderem die Übernahme des geistigen Erbes der alten Welt.10

Probleme des Alltags wie des Bauwesens, der Geodäsie, des Erbrechts, des Han- dels, des Staatshaushaltes, der Astronomie und Astrologie, Geographie und der Optik, beeinflussten nachhaltig die Entwicklung der islamischen Mathematik. Sie waren ausschlaggebend für den Fortschritt. Die ersten Anläufe der arabischen Wissenschaften beginnen mit dem Zusammentragen des kulturellen und wissen- schaftlichen Erbes aus Persien, Indien und Ägypten, wobei unter diesem auch mathematische Schriften vorhanden waren. Gleichzeitig wurden diese Schriften ins Arabische übersetzt.

Unter den Kalifen al-Mansūr (754-775), Harun ar-Rašid (bekannt als Held der Märchen aus 1001 Nacht, 786-809) und al-Ma’mūn (813-833) und deren Nach- folgern entwickelte sich Bagdad zu einem Zentrum der Kulturen. Unter al-Ma’mūn entstand in Bagdad ein großes Wissenschaftszentrum, das „Haus der Weisheit“, an das eine umfangreiche Bibliothek und ein astronomi- sches Observatorium angeschlossen waren. Die Hauptaufgabe der Gelehrten in diesem Haus bestand darin, systematisch Übersetzungen und Abschriften der zu- sammengetragenen Quellen in die arabische Sprache zu übertragen. Gegen Mitte des 9. Jahrhunderts entstand auf Grundlage stark einsetzender Kom- mentierungstätigkeiten zu den übernommenen Quellen eine eigenständige ma- thematische Kultur. Es wurden Probleme der Arithmetik, der Zahlentheorie, der Geometrie, der Trigonometrie und der Algebra behandelt.

Eine glanzvolle Periode hatte begonnen. Neben umfangreichen astronomischen und geographischen Forschungen wurden aus dem übernommenen Erbe Wissenszweige weitergeführt, die aus heutiger moderner Sicht der Physik, Chemie, Medizin, Pharmakologie, Biologie, Mineralogie und Philosophie zuzuordnen sind. Dabei konnte durch neue Fragestellungen und Methoden das antike Niveau bereichert, vertieft und qualitativ verändert werden.11

Einen wichtigen Beitrag bei der Übersetzung der griechischen Bücher ins Arabi- sche leistete Thābit ibn Qurra (836-901) aus Harran (dem heutigen Diyarbakir in der Türkei). Seine außergewöhnliche Sprachbegabung bescherte dem Arabischen einige der besten Übersetzungen aus dem Griechischen. Sie enthalten Überset- zungen der griechischen Klassiker wie Apollonios, Archimedes, Euklid und Pto- lemäus.

Es wurden auch indische Bücher übersetzt, die von Bedeutung für die islamische Kultur waren, wie z. B. die Bestimmung der Richtung nach Mekka. Andere wichtige Übersetzer in dieser frühen Zeit islamischer Wissenschaft waren Hunayn b. Ishaq, sein Sohn Ishaq ibn Hunayn, ebenso Qusta b. Luqa und al-Hajjaj b. Matar.12

Der Philosoph al-Kindi (?-873), der zur Zeit von al-Ma’mūn und al-Mu’tazīm in Bagdad wirkte und die griechischen Wissenschaften gut kannte, warnte davor, alte Wissenschaften blind zu übernehmen, und versuchte einen eigenständigen Weg zu gehen. Ihm verdanken wir viele Werke über Optik, Musik und Medizin. Er war einer der Ersten, die eine Beschreibung der indischen Arithmetik in arabischer Sprache lieferten.13

Vor der islamischen Mathematik gab es glänzende mathematische Resultate wäh- rend der Blütezeit des römischen Imperiums, die durch eine Mischung aus orien- talischer und griechischer Kultur erzielt worden sind. Mit dem Niedergang des römischen Imperiums verlagerte sich das Zentrum der mathematischen Forschung nach Indien und später wieder zurück nach Mesopotamien. Auch in der islami- schen Welt blieb Mesopotamien mit dem Zentrum Bagdad für die mathematische Forschung weiter wichtig.14

Im „Haus der Weisheit“ gab es viele arabische und nichtarabische Gelehrte, die sich mit den Wissenschaften auseinandergesetzt haben. Mit dem aus Khiva stam- menden Mathematiker und Astronom Muhammad ibn Mūsā al-Hwārizmī (780?- 850?) erreichten die islamischen Mathematiker ihren ersten Höhepunkt. Er schrieb viele Bücher über die Mathematik und die Astronomie. Sein Gesamtwerk spielt eine sehr wichtige Rolle in der Geschichte der Mathematik, denn über ihn kamen die indischen Zahlzeichen und die arabische Algebra nach Europa. Er übernahm die indischen Ziffern und schrieb eine Erläuterung über das indische System der Zahlenschreibweise. Eines seiner Bücher zur Algebra „al-kitāb al-muktasar fī hi- sab al-gabr wa-l-muqābala“ („Das Buch über die Wissenschaft der Reduktion und des gegenseitigen Aufhebens“), welches in der originalen arabischen Sprache ver- lorengegangen ist, beinhaltet eine Diskussion linearer und quadratischer Glei- chungen. Aus dem Wort „al-gabr“ leiten wir die heutige Wissenschaft „Algebra“ ab. Das oben genannte Buch über das indische Zahlensystem mit dem Titel “Al- gorithmi de numero Indorum“ (Lateinische Fassung - arabisches Original verlo- ren) fügt unserer mathematischen Sprache das Wort „Algorithmus“ hinzu. Ins Deutsche übersetzt heißt es ungefähr: „Das Werk des al-Gorismus über indische Zahlen.“15

Zwischenzeitlich gab es in der islamischen Mathematik immer wieder Zeiten des Aufschwungs und des Niedergangs, der allgemeine Charakter der islamischen Wissenschaft blieb jedoch durchgehend erhalten.

Ein weiterer Höhepunkt in der Geschichte der islamischen Mathematik spielte sich mit Omar Hayyām (1048?-1124?) ab. Er lebte in Nordpersien, das um 1000 nach Chr. von neuen Herrschern, den Seldschuk-Türken, eingenommen wurde. Dieser persische Mathematiker, Astronom, Philosoph und Dichter wurde im Wes- ten bekannt als Autor der „Rubaiyat“ („Vierzeiler“). (Zurzeit ist noch umstritten, ob der Dichter und Mathematiker „Omar Hayyām“ doch nicht zwei verschiedene Personen waren. In den hier betrachteten Quellen werden der Dichter und der Ma- thematiker als ein und dieselbe Person betrachtet, deswegen wird im Laufe dieser Arbeit dies auch so hingenommen.)16

Seinen wichtigsten Beitrag zur islamischen Mathematik leistete Omar darin, dass er eine Algebra schrieb, die eine systematische Untersuchung kubischer Glei- chungen enthielt. Durch den Schnitt zweier Kegelschnitte konnte er die Wurzeln dieser Gleichungen bestimmen. Dies war auch eine von den Griechen gelegentlich benutzte Methode. Seine Algebra bedeutete dennoch einen beträchtlichen Fort- schritt.17

Bagdad war nicht das einzige Zentrum für wissenschaftliche Forschungen der arabischen Welt, jedoch das wichtigste. Es blühte immer wieder mal ein Zentrum auf, um wieder zu verschwinden. Zu erwähnen ist noch das Kalifat in Cordoba (929-1031), das neben dem „Haus der Weisheit“ eine wichtige Rolle in der Ge- schichte der Mathematik gespielt hat. In der langen arabischen Geschichte war es nicht möglich, das große Reich zusammenzuhalten. Deswegen machte sich zwi- schenzeitlich die iberische Halbinsel selbständig und es entstand dort die neue Hauptstadt Cordoba.18

Aus praktischen, politisch-ideologischen Gründen war das Reich in einen west- arabischen Teil, der sich von Ägypten bis Spanien erstreckte, und einen ostarabi- schen Teil geteilt. Dies wirkte sich auch auf die mathematische Forschung aus. Die westarabische Mathematik kam nicht so weit wie die ostarabische. Auch gab es keinen ausreichenden Informationsaustausch. Als Beispiel kann man hier er- wähnen, dass Teile der Trigonometrie aus dem Osten nicht im Westen ankamen.

Ein weiteres Beispiel wäre, dass sich die von den Indern übernommenen Ziffern in zwei unterschiedlichen Schreibweisen weiterentwickelten. Man unterscheidet hier in ostarabische bzw. westarabische Ziffern. Dennoch war die westarabische Kultur dafür verantwortlich, dass das Wissen über die Mathematik nach Europa gelangte.19

Die Befolgung religiöser Vorschriften war eine der Haupttriebkräfte der islamischen Mathematik. Für die Religionsausübung waren wissenschaftliche Verfahren unverzichtbar. Als Beispiele wären hier genannt: die Bestimmung des Mondkalenders, die Bestimmung der Gebetszeiten, die sich an den Sonnenständen orientieren, und die religiöse Ausrichtung auf ein bestimmtes Gebäude.20

Zusammengefasst kann man die Entwicklung der islamischen Mathematik in drei Phasen unterteilen. Es werden vollständigkeitshalber einige Gelehrte, die oben nicht genannt worden sind, an dieser Stelle erwähnt:21

1. Schriften-Übernahme und Übersetzung

Die erste Phase beginnt mit dem Zusammentragen verfügbarer alter Schriften des kulturellen Erbes aus der griechischen Antike, aus Ägypten, aus Persien und Indien. Es wurden Boten ausgesandt, die diese Schriften kauften und nach Bagdad brachten. Parallel dazu wurden diese Schriften ins Arabische übersetzt. Die Gelehrten in Bagdad hatten neben dem Inhaltlichen sehr großes Interesse an der Methode, mit denen die Sätze der antiken Mathematik bewiesen worden sind.

2. Kommentierungstätigkeiten - Neue Kultur

Gegen Mitte des 9. Jahrhunderts begannen die Kommentierungstätigkeiten zu den erworbenen Quellen. Durch diese bildete sich eine eigenständige mathematische Kultur heraus. Es entstanden zahlreiche mathematische Wissenschaften. Hervorragende Vertreter waren unter anderem alHwārizmī, al-Kindi und Thābit ibn Qurra.

Nach dem 9. Jahrhundert bis zum 12. Jahrhundert widmeten sich die Ge- lehrten mehr astronomischen Berechnungen und Näherungsmethoden in der Algebra und Astronomie. Einige wichtige Vertreter dieser Zeit waren Abū Kāmil(850?-930), al-Battānī(850?-929), Abū-l-Wafā(940-998), Ibn al-Haitham(965?-1039), al-Karagī(?-1029), al-Bīrūnī(973-1048) und Omar Hayyām(1048?-1124?).

Vom 13. bis zum 15. Jahrhundert legte man auf astronomische und numerische Fragestellungen großen Wert. Genannt seien hier die beiden Gelehrten Nasīreddīn at-Tūsī (1201-1274) und al-Kāsī (?-1429).

3. Vollständige Darlegung der Probleme und Gründlichkeit

Die arabischen Gelehrten werteten indische, chinesische und griechische Quellen aus. Mit diesen Quellen legten sie systematisch und vollständig die behandelten Probleme dar und bewiesen mit der von alten hellenisti- schen Quellen gelernten Methodik mathematische Sätze. In arabischen Texten befinden sich oft zahlreiche und umfangreiche Beispiele, Aufgaben und Methoden. Diese zeigen den Einfluss indischer und chinesischer Quel- len, in denen auch praktische Beispiele und Aufgaben zu finden sind.

3 Islamische Gelehrte

Die Geschichte der islamischen Mathematik beinhaltet sehr viele arabische und nicht-arabische Gelehrte, die einen wichtigen Beitrag in der Entwicklung der Wissenschaften, insbesondere der Mathematik geleistet haben. Leider gibt es oft keine bzw. wenige Dokumentationen über das Leben der Gelehrten. Uns sind meistens nur die Lebenszeiten, der Geburtsort, ihre Beschäftigungen und ihre Werke bekannt. Nichtsdestotrotz soll hier versucht werden, die zwei wichtigsten islamischen Persönlichkeiten näher vorzustellen und einen kleinen Einblick in ihr Leben, soweit es möglich ist, zu verschaffen.

3.1 Al-Hwārizmī

Abū Abdallah Muhammed bin Mūsā al-Hwārizmī al-Magusi ist einer der bedeu- tendsten arabischen Mathematiker und Astronomen, vielleicht sogar der bedeu tendste. Seine Lebenszeit wird auf ca. auf 780-850 geschätzt. Über sein Leben wissen wir nur sehr wenig. Er ist in Choresm geboren. Dies zeigt sein Namensteil Hwārizmī (oder auch chowarizmi). Choresm ist der alte Name für das Land süd- lich des Aralsees in Usbekistan. Auch verrät das Wort al-Magusi in seinem Na- men, dass unter seinen Vorfahren Magier (Priester der zoroastrischen Religion) waren.22

Al-Hwārizmī stand im „Haus der Weisheit“ in Bagdad im Dienst des Kalifen al- Ma’mūn (813-833). Er war Verfasser von mathematischen, astronomischen, histo- rischen und kulturhistorischen Büchern, welche leider nur noch zum Teil vorhan- den sind. Berühmt wurde al-Hwārizmī mit seinen beiden Werken über die Arith- metik und die Algebra.23

Werke:

Er verfasste ein Buch über die Arithmetik, das nach dem Historiker Ya’qūb an- Nadim „Das Buch über die Addition und Subtraktion nach der Rechenweise der Inder“ gelautet haben soll (lateinische Fassung: „Algorithmi de numero Indorum“

- „Das Werk des al-Gorismus über indische Zahlen“).24

Im Auftrag von al-Ma’mūn verfasste er einen Auszug aus dem indischen astro- nomischen Werk „Siddhantas“, dann schrieb er zwei Bücher, die er auf dieses Werk stützt: das Buch der astronomischen Tafeln in zwei Ausgaben. Des Weite- ren verfasste er das Buch der Algebra: „al-kitāb al-muktasar fi hisāb al-gabr wa-l- muqābala“, auf Deutsch: „Das Buch über die Wissenschaft der Reduktion und des gegenseitigen Aufhebens“. Weitere von ihm geschriebene Bücher sind ein Buch über die Sonnenuhr, ein Buch über den Gebrauch des Astrolabiums, ein Buch über die Konstruktion des Astrolabiums, ein Buch der Chronik(Zeitrechnung) und einige uns unbekannte Bücher. Im arabischen Original ist nur noch das Buch über die Algebra vorhanden. Neben einigen lateinischen Fassungen sind die meisten gar nicht mehr existent.25

[...]


1 Vgl. Juschkewitsch, 1964, S. 325

2 Im Arabischen Allah = Gott.

3 Vgl. Juschkewitsch, 1964, S. 175.

4 Kalif = Stellvertreter des Propheten.

5 Vgl. Struik, 1965, S. 70.

6 Juschkewitsch, 1964, S. 176.

7 ebd., S. 177.

8 Vgl. Juschkewitsch, 1964, S. 176f.

9 Vgl. ebd., S. 177 und S. 180.

10 Vgl. ebd., S. 176.

11 Vgl.Wußing, 1989, S. 95.

12 Vgl. Berggren, 1986, S. 5.

13 Vgl. Juschkewitsch, 1964, S. 178f.

14 Vgl. Struik, 1965, S. 70.

15 Vgl. ebd., S. 77.

16 Vgl. Struik, 1965, S. 78f.

17 Vgl. ebd., S. 78f.

18 Vgl. Alten et al., 2004, S. 150.

19 Vgl. Wußing, 1989, S. 96; Wußing, 2008, S. 225.

20 Vgl. King, 2005, S. 92.

21 Vgl. Wußing, 2008, S. 230f.

22 Vgl. Juschkewitsch, 1964, S. 186.

23 Vgl. Sezgin, 1974, S. 228ff.

24 Vgl. Juschkewitsch, 1964, S. 189.

25 Vgl. Suter, 1986, S. 17.

Details

Seiten
50
Jahr
2014
ISBN (eBook)
9783656844648
ISBN (Buch)
9783656844655
Dateigröße
825 KB
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v284791
Institution / Hochschule
Bergische Universität Wuppertal
Note
Schlagworte
Mathematik Omar Hayyam Algorithmus Al-Hwarizmi Algebra Geometrie Rechnen Quadratische Gleichungen Kubische Gleichungen

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Titel: Geschichte der islamischen Mathematik, ihr Beitrag zur Algebra