Lade Inhalt...

Fachpraktikumsbericht Mathematik. Unterrichtsentwurf für die 6. und 10. Klasse am Gymnasium

Hausarbeit 2013 25 Seiten

Didaktik - Mathematik

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Unterrichtsentwurf "Graphischer Zusammenhang zwischen einer Funktion und deren erster Ableitung"
2.1 Beschreibung der Lerngruppe
2.2 Sachanalyse: Differentialrechnung
2.3 Einordnung in den unterrichtlichen Zusammenhang
2.4 Didaktisch-methodische Überlegungen
2.5 Geplanter Unterrichtsverlauf
2.6 Reflexion

3. Unterrichtsentwurf "Wahrscheinlichkeiten bei Laplace-Experimenten"
3.1 Beschreibung der Lerngruppe
3.2 Sachanalyse: Laplace-Wahrscheinlichkeit
3.3 Einordnung in den unterrichtlichen Zusammenhang
3.4 Didaktisch-methodische Überlegungen
3.5 Geplanter Unterrichtsverlauf
3.6 Reflexion des durchgeführten Unterrichts
3.7 Anmerkungen zum Übungs- und Hausaufgabenblatt sowie zum Merkzettel

4. Fazit

Literaturverzeichnis

1. Einleitung

Das Fachpraktikum im Fach Mathematik habe ich an der X-Schule in Y durchführen können. Aufgeteilt wurde dieses Praktikum in zwei Phasen. In der ersten Phase, vom 05.11. - 16.11.2012, konnten bereits einige Kontakte mit Lehrkräften der Schule hergestellt und sich zusätzlich ein erstes Bild dieser Schule gemacht werden. An der Schule sind 69 Lehrer dafür zuständig, den ca. 600 Schülerinnen und Schülern (Abkürzung in der Folge: SuS') entsprechendes Wissen sowie weitere Kompetenzen zu vermitteln. Das Fach Mathematik unterrichten elf Lehrkräfte. Auch fanden be-reits in der ersten Phase einige Hospitationen meinerseits statt.

In der zweiten Phase, vom 11.02. - 08.03.2013, wurden diese Unterrichtsbesuche dann intensiviert. Im 'Allgemeinen Schulpraktikum' (ASP) verfolgte ich noch die Strategie, mög- lichst jede Mathematiklehrkraft zu besuchen und möglichst viel Mathematikunterricht zu beobachten. Im Fachpraktikum wurde diese Strategie dahingehend abgeändert, dass der Schwerpunkt auf einzelnen Klassenstufen lag. Im Zeitraum der vier Wochen begleitete ich eine fünfte, eine sechste, eine neunte und eine zehnte Klasse sowie einen Q2-Kurs. Ziel dieser Strategieabänderung ist es gewesen, einen besseren Überblick über die entspre- chenden Lerngruppen zu bekommen, bzw. auch den Verlauf der Unterrichtsinhalte besser verfolgen zu können. Auch im Hinblick auf die eigenen Unterrichtsversuche bewährte sich diese "Beobachtungsstrategie".

Ich möchte vorweg nehmen, dass ich mich an der X-Schule wohl gefühlt habe und seitens der Schule gut betreut wurde. Allgemein kann man zum Kollegium sagen, dass untereinander eine sehr harmonische Stimmung herrscht. Aktionen, wie regelmäßig durchgeführte Fußballspiele, verstärken diesen Eindruck. Im Profifußball wird gerne davon gesprochen, dass eine Mannschaft 'intakt' ist. Soweit ich es beurteilen kann, würde ich sagen, trifft dies auch auf das Kollegium an der X-Schule zu.

In der Folge sollen nun zwei Unterrichtsentwürfe dargestellt und deren Durchführung re- flektiert werden. Der erste Unterrichtsversuch fand in der Klasse 10 zum Thema der Dif- ferentialrechnung statt. Hier ging es speziell um den graphischen Zusammenhang von ei- ner Funktion und deren erster Ableitung. Der zweite Unterrichtsversuch in der 6 behan- delte Themen aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Der Unterschied in der Bedeutung der Begriffe 'Ergebnis' und 'Ereignis' sowie eine Regel zur Berechnung der Laplace- Wahrscheinlichkeit standen hier im Mittelpunkt. Der zweite Unterrichtsversuch fand in Ko- operation mit Herrn A. statt, wobei ich den zweiten Teil dieses Unterrichtsversuches durchgeführt habe.

2. Unterrichtsentwurf "Graphischer Zusammenhang zwischen einer Funktion und deren erster Ableitung"

2.1 Beschreibung der Lerngruppe 10

In der Klasse 10, unterrichtet in Mathematik von Herrn B., befinden sich zur Zeit 16 Schülerinnen und 8 Schüler. Eine feste Sitzordnung existiert im Mathematikunterricht nicht. So kommt es teilweise dazu, dass einzelne Lernende ihren Platz innerhalb einer Woche wechseln. Dennoch gibt der angefertigte Sitzplan einen gewissen Aufschluss über die Klassenkonstellation. I', H', G' und J' in der hinteren rechten Ecke des Klassenraumes, gesehen vom Lehrerpult aus, nehmen engagiert am Unterricht teil und sind an den Inhalten interessiert. Die anderen SuS' der letzten Reihe, insbesondere L' und M', beteiligen sich erst nach Aufforderung an Unterrichtsgesprächen. Auf die Fensterseite mit D', B', C', E' und A' trifft diese Beschreibung auch zu. Hinzu kommt speziell bei B', C' und A', dass sie Schwierigkeiten mit den aktuellen Unterrichtsinhalten haben. Dies hängt zusammen mit mangelnden Vorkenntnissen, gerade im Bereich des Ausmultiplizierens. Zu den Leistungsstärksten innerhalb dieser Klasse zählen N', I' und Q'. Q' ist eingebunden in die linke hintere Jungengruppe mit S', R' und P'. Diese Gruppe ist eher zurückhaltend mit der Beteiligung im Unterricht. In Arbeitsphasen kommt es dann aber meist dazu, dass Q' die Anderen unterstützt, bspw. bei Rechnungen. V' sitzt im Mittelblock frontal zum Lehrerpult. Er ist auch über den Unterricht hinaus an mathematischen Problemstellungen interessiert und bspw. B' und A' weit voraus. N' ist fast immer die richtige Ansprechpartnerin, wenn es um richtige Ergebnisse geht. Sie liegt Leistungsmäßig ungefähr auf dem Niveau von V', ist aber von ihrer Persönlichkeit eher zurückhaltend. Eine selbstständige Beteiligung am Unterricht findet eher selten statt. K' aus dem Mittelblock hat teilweise fachliche Probleme, ist aber, im Gegensatz zu bspw. B', sehr fleißig. Insgesamt entsteht somit ein heterogenes Leistungsbild.

Aus dieser Lerngruppenbeschreibung ergeben sich einige Konsequenzen. In Erarbei- tungsphasen müssen Personen, wie z.B. B' oder A', unterstützt werden. Zudem müssen die 'Besseren' gezielt gefördert werden. Es ergibt sich also, dass für diese Lerngruppe ein gewisses Maß an Differenzierung notwendig ist, um allen gerecht zu werden. Dieser Aspekt wird im Kapitel 2.5 'Didaktisch-methodische Überlegungen' aufgegriffen.

2.2 Sachanalyse: Differentialrechnung

Zentrales Thema der Differentialrechnung ist die Berechnung lokaler Veränderungen von Funktionen. Diese lokale Veränderung (auch als lokale Änderungsrate bezeichnet) kann mit Hilfe des Grenzwertes des Differenzenquotienten berechnet werden.

Sei ⊂ lR und : → lR eine Funktion. heißt in einem Punkt ∈ differenzierbar, falls der Grenzwert

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

existiert. Insbesondere muss hier vorausgesetzt werden, dass es mindestens eine Folge ∈ ohne { } mit lim→ = geben muss (vgl. Forster, 2008, S. 151).

In Klassenstufe 10 sei aber zur Vereinfachung die Funktion als "gutartig" anzusehen. D.h. es wird bspw. von stetigen oder abschnittsweise stetigen Funktionen ausgegangen. Der Grenzwert heißt Differentialquotient oder Ableitung von im Punkte . Man kann den Differentialquotienten auch darstellen als

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dies gilt auch wieder nur mit Einschränkungen, welche aber aufgrund der angenommenen "Gutartigkeit" entfallen (vgl. Forster, 2008, S. 151).

Der Differenzenquotient ist, geometrisch betrachtet, die Steigung der Sekante des Graphen von durch die Punkte , und , . Beim Grenzübergang → geht die Sekante in die Tangente an den Graphen von im Punkt , über. Somit ergibt sich, dass die Steigung der Tangente im Punkt , angibt (vgl. Forster, 2008, S. 151). Aufbauend auf diesen Vorstellungen können dann Differentiations- (oder auch Ableitungs-) Regeln formuliert werden, um den Rechenaufwand des Differentialquotienten zu umgehen. Einzug in Klasse 10 finden grundlegende Regeln wie:

Für eine differenzierbare Funktion mit = gilt für =!∗ #. ! ∈ lN .

2.3 Einordnung in den unterrichtlichen Zusammenhang

Die Unterrichtseinheit mit dem Thema "Von der mittleren zur momentanen Änderungsra- te" ist so gut wie abgeschlossen. In den letzten Stunden wurde die Berechnung der mo- mentanen Änderungsrate mit Hilfe des Differentialquotienten geübt. Hierbei wurde die 'h- Methode' angewandt (vgl. S. 5, Z. 13). Weiter wurde die erste Ableitung eingeführt und ei- ne Regel zur Ableitung von Potenzen mit ganzzahligem Exponenten entwickelt (vgl. S. 5, Z. 23). Am Mittwoch, den 20.02.2013, wurde eine Klausur zu diesen Inhalten geschrieben. In der heutigen Stunde soll es nun um die graphische Darstellung der ersten Ableitungsfunktion gehen. Aufgegriffen wurde im Unterricht bis zur heutigen Stunde nur die Sekanten- und die Tangentensteigung. Im Mittelpunkt soll heute die Ableitungsfunktion als 'Tangentensteigungsfunktion' stehen.

2.4 Didaktisch-methodische Überlegungen

Die Differentialrechnung ist traditionell fest im niedersächsischen Kerncurriculum verankert. Bereits nach der achten Klasse sollen die SuS' in der Lage sein, die Steigung als konstante Änderungsrate anzusehen. In der zehnten Klasse kommen weitere Aspekte hinzu, wie z.B. die Interpretation der Ableitung als lokale Änderungsrate und als Tangentensteigung. Zudem wird auch Wert auf den graphischen Zusammenhang gelegt. Hier heißt es: "Die SuS' entwickeln Grafen und Ableitungsgrafen auseinander, beschreiben und begründen Zusammenhänge und interpretieren diese in Sachzusammenhängen." (Niedersächsisches Kerncurriculum, 2007, S. 35)

Aber auch abgesehen von diesen rechtlichen Vorgaben lässt sich die Differentialrechnung als Bestandteil des Mathematikunterrichts rechtfertigen. Außerhalb der mathematischen Welt ist die Differentialrechnung von Nöten, um alltagsweltliche Probleme zu lösen. Jeder Ingenieur ist ohne Differential- und Integralrechnung regelrecht aufgeschmissen. Aber auch für SuS' gibt es in ihrer Alltagswelt Ereignisse, die sich mit Hilfe der Differentialrech- nung erklären lassen. Hier ist zum Beispiel der Zusammenhang zwischen Geschwindig- keit und Beschleunigung zu nennen. Kennt man die Funktion der Geschwindigkeit, bzw. den Geschwindigkeitsverlauf, so lässt sich mit Hilfe der Differentialrechnung die Be- schleunigung zu einem beliebigen Zeitpunkt berechnen. Die Mathematik macht es also im Bereich der Differentialrechnung möglich, "Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehen oder angehen sollten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur, in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen." (Winter, 1995, S.1)

In der von mir geplanten Stunde sollen die SuS' die graphischen Zusammenhänge zwi- schen einer Funktion und deren erster Ableitung verstehen und in der Folge auch erläu- tern können. Ein mathematischer Sachverhalt sollte nach J. Bruner möglichst in allen drei Ebenen - enaktiv, ikonisch, symbolisch - erfasst werden (vgl. Hafenbrak, 2004, S. 1). Da in der Vergangenheit die SuS' sich verstärkt auf der symbolischen Ebene aufgehalten ha- ben, d.h. lokale Änderungsraten mit Hilfe des Differentialquotienten berechneten, ist es demnach sinnvoll, diese Ebene zu verlassen und den Sachverhalt auf der ikonischen Ebene weiter zu verdeutlichen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

23) anwenden zu können, müssen die SuS' zunächst die zweite binomische Formel an- wenden. Somit dient Aufgabe 1) der Wiederholung von bekannten Inhalten und der Hin- führung zur ikonischen Ebene, da die SuS' in der Folge jeweils den Graphen von und ′ zeichnen sowie erste Interpretationen des Zusammenhangs der jeweiligen Graphen auf- stellen sollen. Der graphische Zusammenhang von einer Funktion und deren erster Ablei- tung ist deshalb von Interesse, da es auch ohne die Funktionsgleichung von möglich ist, die Änderung der Funktion näherungsweise graphisch zu bestimmen. Natürlich ist auch die Umkehrung möglich, d.h. der Rückschluss auf die Ausgangsfunktion, wenn die Ablei- tungsfunktion vorliegt. Ziel von Aufgabe 1) ist es, die jeweiligen Monotonieaussagen zur Funktion im Bezug zur ersten Ableitungsfunktion ′ zu verstehen und zu formulieren.

Wenn der Graph von steigt, ist > 0

Wenn der Graph von fällt, ist < 0

Wenn der Graph von an der Stelle x einen Hoch-/Tiefpunkt hat, ist = 0

In Aufgabe 2) des Arbeitsblattes soll dann das Erlernte aus Aufgabe 1) angewendet wer- den, um die graphischen Zusammenhänge zwischen einer Funktion und deren Ableitung weiter zu festigen. Hier sollen vier gegebenen Funktionen jeweils die passende Ablei- tungsfunktion zugeordnet werden. Die SuS' sind weiter dazu aufgefordert ihre jeweiligen Zuordnungen zu begründen, indem sie die aufgestellten Zusammenhänge aus Aufgabe 1) nutzen. Aufgabe 3) dient dann dem Zweck, diese Zusammenhänge weiter zu vertiefen. Allein anhand des Graphens der Funktion ℎ sollen die SuS' die Ableitungsfunktion ℎ′ nä- herungsweise bestimmen. Aufgabe 3) soll somit aufzeigen, dass man nicht unmittelbar die Funktionsgleichung einer Funktion benötigt, um Aussagen über ihre Änderungsrate treffen zu können.

Durchgeführt wird der erste Teil des Unterrichts, die Bearbeitung von Aufgabe 1), nach dem methodischen Prinzip 'Ich-Du-Wir' (Think-Pair-Share). Dieses Prinzip ist so angelegt, dass sich zunächst jeder Lernende selbstständig mit dem gestellten Arbeitsauftrag ausei- nander setzt. Anschließend werden in Partnerarbeit die Ergebnisse verglichen und disku- tiert. Am Ende der 'Ich-Du-Wir' Phase stellen dann die SuS' ihre Ergebnisse im Plenum vor, welche dann für alle Lernenden in geeigneter Form festgehalten werden. Gerade in Erarbeitungsphasen mit interpretatorischem 'Spielraum' bietet sich dieses Prinzip an, da allen Lernenden so die Möglichkeit gegeben wird, sich eigenständig Gedanken zur Fragestellung zu machen. Als Lernender befindet man sich sozusagen zunächst in einem 'geschützten Raum', der dann immer weiter ge-öffnet wird, bis am Ende im Plenum diskutiert wird. Somit soll auch 'schwächeren' Ler-nenden die Möglichkeit gegeben werden, sich an der Lösungsfindung zu beteiligen. Eine reine Gruppenarbeit von Anfang an würde dem entgegenwirken, da meist nur einzelne Lösungsansätze von den 'Stärkeren' betrachtet werden. Zudem kann man sich bei einer Gruppenarbeit auch gut zurückziehen, denn die 'Stärkeren' werden schon eine akzeptable Lösung herausfinden. Weitere Überlegungen zum Unterrichtsablauf sind in Kapitel 2.6 'Geplanter Unterrichtsverlauf' zu finden.

Zur nötigen Differenzierung innerhalb dieser Lerngruppe werden zum einen in der 'Ich'Erarbeitungsphase vorne am Lehrerpult Hilfestellungszettel ausliegen und zum anderen können sich 'schnellere' Lernende schon während der zweiten Bearbeitungsphase mit Aufgabe 3) beschäftigen.

[...]

Details

Seiten
25
Jahr
2013
ISBN (eBook)
9783668277601
ISBN (Buch)
9783668277618
Dateigröße
761 KB
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v285746
Institution / Hochschule
Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover
Note
2,0
Schlagworte
Fachpraktikum Mathematik Schule Anaylase didaktische Analyse methodische Analyse Bericht

Autor

Teilen

Zurück

Titel: Fachpraktikumsbericht Mathematik. Unterrichtsentwurf für die 6. und 10. Klasse am Gymnasium