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Mathematische Grundlagen der Immobilienbewertung

Akademische Arbeit 1999 34 Seiten

BWL - Allgemeines

Leseprobe

Inhalt

1. Mathematische Grundlagen der Immobilienbewertung
1.1 Finanzmathematische Grundformeln und ihre Faktoren
1.1.1 Kapitalbarwert und Kapitalbarwertfaktor (Abzinsungsfaktor)
1.1.2 Rentenbarwert und Rentenbarwertfaktor (Vervielfältiger)
1.2 Der Rentenbarwertfaktor in der Immobilienwirtschaft
1.2.1 Rentenbarwertfaktor bei begrenzter Laufzeit
1.2.2 Ewiger Rentenbarwertfaktor (ewiger Vervielfältiger)
1.2.3 Ewiger, aufgeschobener Rentenbarwertfaktor
1.2.4 Berücksichtigung von Wachstumsraten
1.3 Interner Zinsfuß: Bestimmung der Rendite einer Investition

Literaturverzeichnis (inklusive weiterführender Literatur)

Anhang

1. Mathematische Grundlagen der Immobilienbewertung

Mit dem Erwerb einer Immobilie als Vermögensanlage wird ein künftiger Einkommensstrom über einen bestimmten Anlagezeitraum hinweg erzielt. Die Finanzmathematik ermöglicht es, Zahlungsgrößen, die auf unterschiedliche Zahlungszeitpunkte bezogen sind, unter Berücksichtigung von Zins- und Zinseszinseffekten vergleichbar zu machen. [1]

In dieser Arbeit werden die für die Berechnung vielfältiger Probleme bei der Immobilienbewertung relevanten mathematischen Grundformeln vorgestellt, soweit diese für das Discounted-Cashflow-Verfahren von Bedeutung sind. In ihnen sind als Formelbestandteile die sog. finanzmathematischen Faktoren enthalten, deren Werte entsprechenden Tabellen entnommen werden können (siehe Anhang).

Folgende mathematischen Symbole werden verwendet und in den Abschnitten nicht mehr gesondert erläutert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Die Anwendung der Formeln bzw. der in ihnen enthaltenen finanzmathematischen Faktoren in Bewertungsrechnungen und somit die Untermauerung der theoretischen Kenntnisse erfolgt anhand einfacher Beispiele aus der Immobilienpraxis.

Bei den Berechnungen wird aus Vereinfachungsgründen in der Regel von einer jährlichen nachschüssigen Zahlungsweise ausgegangen.

Auf vorschüssige Zahlungsweise und unter- bzw. überjährige Zinsperioden wird nicht eingegangen. Die Werte der ensprechenden finanzmathematischen Faktoren können jedoch speziellen, dafür konzipierten Tabellenwerken entnommen werden und in die jeweilige Grundformel eingesetzt werden.

1.1 Finanzmathematische Grundformeln und ihre Faktoren

Auf eine ausführliche mathematische Ableitung der Grundformeln wird verzichtet Es wird

vielmehr ihre Schreibweise mit (q) als auch ihre unverkürzte Schreibweise mit (1+i) aufgeführt sowie ihre praktische Anwendung verdeutlicht. [2]

Die Verwendung des Symbols (q) für den Ausdruck (1+i) ermöglicht eine Vereinfachung und Verallgemeinerung der Schreibweise und enspricht der Darstellungsweise in allgemein-mathematischen Grundlagenwerken. In der Immobilienbewertung hingegen ist, wie in der Betriebswirtschaftslehre, die unverkürzte Schreibweise mit (1+i) üblich, wodurch Zusammenhänge in ihrer Struktur erkennbar bleiben und die Anpassung an geänderte Bedingungen erleichtert wird.

Die für diese Arbeit relevanten Grundformeln werden als Gleichungen angegeben. Jede einzele Variable kann so durch Lösung der Gleichung nach dem jeweils gesuchten Wert errechnet werden. Die in die Grundformeln eingebetteten finanzmathematischen Faktoren spiegeln den hier nur relevanten Vorgang des Abzinsens wider.

Dabei handelt es sich um folgende Formelbestandteile mit den zugrundeliegenden Formeln allgemeinmathematischer Bezeichnungen:

abzinsende Faktoren:

- Kapitalbarwertfaktor
- Rentenbarwertfaktor

Diese Faktoren sind Gegenstand zahlreicher Tabellenwerke. Neben den Tabellenwerken in Buchform gibt es inzwischen maßgeschneiderte Tabellen-Computerprogramme, die das Erstellen bedarfsgerechter Tabellendateien ermöglichen.

1.1.1 Kapitalbarwert und Kapitalbarwertfaktor (Abzinsungsfaktor)

Der Kapitalbarwert K0 läßt sich durch einfache Umformung aus der Kapitalendwertformel ermitteln.[3] Er gibt an, welches Anfangskapital über einen bestimmten Zeitraum zu einem bestimmten Zins festgelegt werden muß, um einen Endwert zu erreichen. Aus anderem Blickwinkel betrachtet gibt K0 folglich an, welchen Wert ein gegebener, in der Zukunft fälliger Kapitalwert Kn zum heutigen Zeitpunkt hat. In diesem Zusammenhang wird der Kapitalwertfaktor 1/qn auch als Abzinsungs- oder Diskontierungsfaktor bezeichnet, d.h. das Kapital wird auf den Beginn des Investitionszeitraumes abgezinst.[4]

Der Kapitalbarwertfaktor ist der Kehrwert des Kapitalendwertfaktors.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten K0 = Kapitalwert

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten = Kapitalbarwert

Durch Abzinsung wird unter Berücksichtigung von Zins und Zinseszins der gegenwärtige Wert eines zukünftigen Kapitalbetrages bestimmt bzw. ein zukünftiger Betrag wertmäßig in einen auf die Gegenwart bezogenen Betrag umgerechnet.

Der Abzinsungsfaktor läßt sich aus der Kapitalbarwertformel ableiten, in dem für das Endkapital Kn der Wert 1 DM eingesetzt wird. Man erhält so den Kapitalbarwert von 1 DM, der dem Faktor entspricht:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Unter dem Kapitalbarwert eines Endbetrages von 1 DM, zahlbar in n Jahren, versteht man den heutigen Wert dieses um einen gegebenen Zinssatz i abgezinsten Endbetrages. Mit anderen Worten: Unter dem Kapitalbarwert von 1 DM versteht man den Betrag, der zum heutigen Zeitpunkt investiert werden muß, um nach n Jahren bei einer Verzinsung i den Endwert von 1 DM zu erreichen. Das Kapital wird also auf den Beginn des Anlagezeitraumes abgezinst.

In Tabellen kann man den Wert des Kapitalbarwertfaktors für den jeweiligen Diskontierungszins i und Anlagezeitraum n ablesen.

Beispiel: Welcher Betrag muß heute zu einem Zins von 7 % angelegt werden, um in 7 Jahren einen Endbetrag von 1 DM zu erreichrn

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

= 1 DM * Kapitalbarwertfaktor (7 %, 7 Jahre)

= 1 DM * 0,6227497 = 0,62 DM

Beispiel: In der Bewertungspraxis sind häufig Zahlenreihen mit im Ablauf variierenden Jahreszahlungen zu beachten. In diesem Fall erfolgt eine Einzeldiskontierung mit Hilfe des Abzinsungsfaktors, d.h. es werden zunächst die Barwerte jeder Einzelzahlung ermittelt und anschließend zum Gesamtbarwert addiert. Dieser wird auch als Kapitalwert bezeichnet. Das Verfahren des Diskontierens von Einzelzahlungen eines Zahlungsstromes heißt auch Discountd Cashflow und wird durch folgende Darstellung illustriert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

1.1.2 Rentenbarwert und Rentenbarwertfaktor (Vervielfältiger)

Der Rentenbarwert An gibt an, welchen Wert eine in der Zukunft fällige, jährlich durch konstante Raten R bei einer Verzinsung i angesparte Geldsumme Sn zum heutigen Zeitpunkt hat, d.h. es muß auf den heutigen Zeitpunkz abgezinst werden.

Der Rentenbarwert An kann aus dem Rentenendwert Sn abgeleitet werden, in dem man den Endwert für n Perioden abzinst, d.h. den Endwert mit dem Abzinsungsfaktor 1/qn multpliziert.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für den Rentenbarwert An gilt folgende Formel:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten An = Rentenbarwert

Der Rentenbarwert stellt die geometrische Reihe der Kapitalwerte und somit eine Verkürzung des Rechenganges dar. Es ist mithin nicht mehr notwendig, die Glieder R der Zahlenreihe einzeln auf ihren Kapitalbarwert abzuzinsen und anschließend die Einzelbarwerte zum Rentenbarwert zu addieren. Dies geschieht hier in einem

Rechengang. Ein Zahlungsstrom wird unter Berücksichtigung von Zins und Zinseszins in einen äquivalenten, auf den Zeitpunkt t= 0 bezogenen Einzelbetrag umgerechnet.

Die Formel für den Rentenbarwert An bzw. der Rentenbarwertfaktor an spielen in der Immobilienbewertung eine ganz wesentliche Rolle bei der Ermittlung des Barwertes der aus einer Investition fließenden Erträge, die einer endlichen Rente gleichkommen. Dieser Barwert wird auch als Kapitalwert bezeichnet. Die Anwendung des Rentenbarwertfaktors in der Immobilienbewertung wird in Kapitel 1.2 ausführlicher behandelt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1.2 Der Rentenbarwertfaktor in der Immobilienwirtschaft

Zu den wichtigsten Berechnungsgrößen in der Immobilienbewertung gehört der Rentenbarwert, weil hier der Wert zukünftiger Zahlungen zum heutigen Zeitpunkt dargestellt wird. Da in aller Regel nicht von dem Idealfall stets konstanter Mieteinnahmen ausgegangen werden kann, wird im Nachfolgenden der Rentenbarwert unter verschiedenen Rahmenbedingungen betrachtet. In Abhängigkeit vom Einkommensstrom soll die Anwendung bzw. Anpassung des Vervielfältigers an folgenden vereinfachten Fallbeispielen illustriert werden:

1. konstante Jahreseinnahmen auf begrenzte Zeit
2. konstante Jahreseinnahmen auf unbegrenzte Zeit (ewig)
3. ewige, zeitlich verzögerte konstante Jahreseinnahmen
4. ewige, kontinuierlich steigende Jahreseinnahmen

1.2.1 Rentenbarwertfaktor bei begrenzter Laufzeit

Der Rentenbarwertfaktor ist Bestandteil der Rentenbarwertformel, welche lautet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Die unverkürzte Schreibweise des darin enthaltenen Faktors läßt sich schrittweise entwickeln:

an = Abzisungsfaktor * Rentenendwertfaktor

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dieser Faktor zinst die konstanten Glieder R einer Zahlungsreihe unter Berücksichtigung eine Zinssatzes i ab und addiert gleichzeitig die einzelnen (Kapital-) Barwerte der Glieder zum Gesamtbarwert An, d.h. es wird eine „Zahlungsreihe “ in ein „Kapitalsumme heute“ konvertiert.

Der Rentenbarwertfaktor ermöglicht eine Verkürzung des Rechenweges bei der Ermittlung der Summe der einzelnen Kapitalbarwerte einer konstanten Zahlungsreihe, die sonst umständlich mit dem Abzinsungsfaktor z.B. im Discounted-Cashflow-Verfahren ermittelt werden müßte:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Mit dem Rentenbarwertfaktor läßt sich die Kapitalsumme verkürzt folgendermaßen berechnen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Den „Rentenbarwert von 1 DM“ erhält man, indem man in die Rentenbarwertformel für die Jahresrate R einen Betrag von 1 DM einsetzt. Durch jährliche Zahlung der Jahresrate von 1 DM über die Laufzeit n erhält man folglich den Rentenbarwert, der wiederum für n Jahre bei einem Zins i ein jährliches Einkommen von 1 DM sichern würde. Der Rentenbarwert von 1 DM entspricht faktisch dem Rentenbarwertfaktor. Es sei an dieser Stelle vorweg angemerkt, daß der Rentenbarwertfaktor sich im Falle einer „ewigen Rente“ zu 1/i vereinfacht, da n gegen unendlich strebt.

Ist die Laufzeit n einer Investition hingegen begrenzt, so wird mit dem „normalen“ Rentenbarwertfaktor gerechnet und unterstellt, daß nach Ablauf der Laufzeit ein neuer Einkommensstrom einsetzt.

Der finanzmathematische „Rentenbarwertfaktor“ spielt eine ganz wesentliche Rolle in der Immobilienbewertung, wo es für ihn unterschiedliche Bezeichnungen gibt. „Vervielfältiger“ oder „Multiplikator“ aber auch „Kapitalisierungsfaktor“ sind häufige Bezeichnungen.

Der Rentenbarwertfaktor bzw. Kapitalisierungsfaktor bildet in der internationalen Immobilienbewertung die Grundlage für die Bestimmung des sog. Kapitalwertes einer Immobilie. Zu diesem Zweck wird die gegenwärtig gezahlte bzw. vertraglich vereinbarte Jahresnettomiete mit dem Kapitalisierungsfaktor multipliziert. Aus finanzmathemtischer Sicht ist das Ergebnis, der Kapitalwert, nichts anderes als der Barwert einer Zahlungsreihe.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Der in der Immobilienbewertung verwendete Barwertfaktor ist ein empirischer, marktorientierter, aus dem Verhältnis von Kaufpreisen zu den jeweiligen Nettoerträgen des Objekts abgeleiteter Vervielfältiger. Er besagt, nach wieviel Jahren die Summe der Nettoeinkünfte (z.B. Miete) den heutigen Kapitalwert (Kaufpreis) deckt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ein vergleichsweise hoher Vervielfältiger ist meist ein Indikator für eine überteuerte Immobilie. Der Aktienmarkt kennt mit dem Kurs-Gewinn-Verhältnis eine ähnliche Größe Der Vervielfältiger und somit der Kapitalwert sind, bei gleichbleibenden Nettoeinkünften,

vom Zinssatz i und der Laufzeit n abhängig, wie die mathematische Schreibweise zeigt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Je kleiner der Zinssatz i ist, desto größer ist der Vervielfältiger, d.h. desto höher ist der Kapitalwert der Investition. Umgekehrt heißt dies: Je größer das investierte Kapital (Kaufpreis) ist, desto niedriger fällt die Verzinsung i (Rendite) aus.

Je größer der Zinssatz i ist, desto kleiner ist der Vervielfältiger und damit der Kapitalwert, bzw. je niedriger das eingesetzte Kapital (Kaufpreis) ist, desto höher fällt die Verzinsung aus.

Bei einer kurzen Laufzeit n steigt der Vervielfältiger und damit der Kapitalwert stark an. Ein Fehler bei der Schätzung der Laufzeit schlägt sich in diesem Fall erheblich auf den Kapitalwert nieder. Gleichzeitig ist der Vervielfältiger bei kurzer Laufzeit verhältnismäßig unempfindlich gegenüber i.

Je länger die Laufzeit n jedoch ist, desto geringer ist der Einfluß von n auf den Vervielfältiger und somit auf den Kapitalwert, während der Einfluß von i zunimmt. Je länger die Laufzeit n ist, um so genauer muß folglich i ermittelt werden, denn Fehler bei i schlagen um so stärker auf den Vervielfältiger und dadurch auf den Kapitalwert durch, je länger die Laufzeit n ist. Schon geringe Unterschiede in der Höhe von i wirken sich erheblich auf die Höhe des Vervielfältigers und damit auf den Kapitalwert aus.

[...]


[1] Diese allgemeinen Erläuterungen wurden folgendem Buch entnommen: White, Darron, Turner, John, Jenyon, Bruce, Lincoln, Nicole, Internationale Bewertungsverfahren für das Investment in Immobilien, a.a.O., S. 39

[2] Ebenda, S. 40 - 58

[3] Die Kapitalendwertformel lautet: Kn = K0 * (1+i)n

[4] Statt 1/qn ist auch die mathematische Schreibweise q - n möglich. In der vorliegenden Arbeit wird jedoch auf diese Schreibweise verzichtet.

Details

Seiten
34
Jahr
1999
ISBN (eBook)
9783656940067
ISBN (Buch)
9783668144576
Dateigröße
649 KB
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v296300
Institution / Hochschule
Hochschule für Technik und Wirtschaft Berlin – Institut für Immobilienwirtschaft
Note
2,0
Schlagworte
mathematische grundlagen immobilienbewertung

Autor

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