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„Quizduell! Wie groß ist die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck? Richtig ist Antwort …, weil…“ (Mathematik, Klasse 7)

Eine Vermutung für die Richtigkeit einer mathematischen Aussage entwickeln, überprüfen und anschaulich begründen

Unterrichtsentwurf 2014 19 Seiten

Didaktik - Mathematik

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1. Stellung der Stunde in der Unterrichtseinheit

2. Lernvoraussetzungen
2.1 Allgemeine Lernvoraussetzungen
2.2 Institutionelle Lernvoraussetzungen
2.3 Spezielle Lernvoraussetzungen

3. Sachanalyse

4. Didaktische Überlegungen

5. Methodische Überlegungen

6. Angestrebter Kompetenzzuwachs

7. Verlaufsplan

8. Literatur- und Quellenangaben

9. Anhang

1. Stellung der Stunde in der Unterrichtseinheit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2. Lernvoraussetzungen

2.1 Allgemeine Lernvoraussetzungen

Die heutige Stunde findet in einem Mathematik-7-B-Kurs statt. Diese Lerngruppe setzt sich aus sechzehn Schülerinnen und dreizehn Schülern zusammen. Diese stammen aus drei Klassen, siebzehn aus der Klasse 7, sieben aus der Klasse 7 und fünf aus der Klasse 7. Ich unterrichte die Lerngruppe eigenverantwortlich seit Beginn des Schuljahres in vier Stunden Mathematik pro Woche. Im vorherigen sechsten Schuljahr wurde Mathematik im Klassen-verband unterrichtet, sodass nun erstmalig Kurse zusammengesetzt wurden. Die Lerngruppe ist somit sehr heterogen. Zu Beginn des zweiten Schulhalbjahres kamen außerdem S. aus dem A-Kurs und M. aus dem C-Kurs hinzu. Das Verhältnis zwischen der Lerngruppe und mir schätze ich als positiv ein. Die Lernenden sind mir gegenüber freundlich und aufge-schlossen. Ich fühle mich als Lehrperson akzeptiert und angenommen.

Leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler sind (…). Sie beteiligen sich häufig am Unterricht und sind am Fach Mathematik sehr interessiert. Allgemein ist die Lerngruppe in ihrer mündlichen Beteiligung jedoch häufig noch sehr zurückhaltend. Sehr ruhig sind unter anderem (…).

Leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler sind (…). Sie benötigen häufiger Hilfe-stellungen beim Bearbeiten von Aufgaben und weisen oft Schwächen bei grundlegenden mathematischen Berechnungen auf. Sie profitieren vor allem von Partner- und Gruppen-arbeitsphasen, in denen sie sich mit anderen austauschen können.

J. hat besondere Schwierigkeiten im Bereich des Lesens und Schreibens und eine leichte Sehschwäche. Gemeinsam mit seiner Mutter wurde daher die Absprache getroffen, ihm, nach Möglichkeit, Arbeitsblätter in einer größeren Schriftgröße zur Verfügung zu stellen. Auch J. hat einen Sehfehler, weshalb er gelegentlich doppelt sieht.

Allgemein fällt in der Lerngruppe auf, dass einige der Lernenden die Hausaufgaben nicht oder nur teilweise erledigen sowie häufig unvollständiges Material dabei haben. Durch ihr Arbeits- und Sozialverhalten fallen vor allem (…). Sie halten sich häufig nicht an vereinbarte Regeln und stören den Unterricht durch unpassende Zwischenrufe. In Einzel- oder Gruppen-arbeitsphasen sind sie oft unkonzentriert und beschäftigen sich mit anderen Tätigkeiten, sodass sie durch individuelle Hinweise zum Arbeiten motiviert werden müssen.

2.2 Institutionelle Lernvoraussetzungen

Bei der Gesamtschule … handelt es sich um eine integrierte Gesamtschule. Im Fach Mathe-matik findet ab dem siebten Jahrgang eine Differenzierung in A-, B- und C-Kurse statt. Bei dieser Lerngruppe handelt es sich um einen B-Kurs, was dem Realschulniveau entspricht.

Die heutige Unterrichtsstunde findet im Klassenraum der 7 statt. Zur Ausstattung des Rau-mes gehören eine Tafel und ein Overheadprojektor. Die Lernenden sitzen an Gruppen-tischen.

2.3 Spezielle Lernvoraussetzungen

In dieser Unterrichtseinheit haben die Lernenden bereits ihr Vorwissen zu Dreiecken akti-viert, besondere Dreiecke und ihre Eigenschaften entdeckt und Winkel wiederholt. Sie bekamen auch bereits die Möglichkeit sich zu zweit oder in Kleingruppen auszutauschen und erste Begründungen mündlich und schriftlich zu formulieren. Dabei fiel vor allem auf, dass die Lerngruppe noch sehr unsicher beim Formulieren mathematischer Begründungen ist. Mündlich können sie sich beispielsweise bereits darüber austauschen, warum ein Dreieck einer bestimmten Art zugeordnet werden kann, ihnen fällt es jedoch noch schwer, dies auch schriftlich zu formulieren.

Allgemein zeigt sich die Lerngruppe bisher interessiert am Geometrieunterricht. Bezüglich des Zeichnens und Messens gibt es einzelne Lernende, die etwas langsamer sind. (…) haben Schwierigkeiten in ihren motorischen Fähigkeiten, sodass es ihnen etwas schwer fällt, mit Geodreieck und Zirkel umzugehen. Auch (…) haben leichte Schwierigkeiten beim Zeichnen aufgrund ihrer Sehschwäche.

Der Lerngruppe steht noch kein Taschenrechner zur Verfügung. Daher müssen die Lernen-den die Berechnungen zu Beginn der Stunde schriftlich, wenn möglich im Kopf, durchführen.

Einen stummen Impuls zu Beginn der Unterrichtsstunde habe ich mit der Lerngruppe schon häufiger durchgeführt. Ihnen ist diese Methode demnach bekannt. Erfahrungsgemäß kann es einen Augenblick dauern, bis die ersten Meldungen kommen.

Mit einem Partner oder in einer Gruppe haben die Lernenden schon häufiger gearbeitet. Zur Gruppenarbeit wurden zu Beginn der Einheit gemeinsam Regeln gesammelt und bespro-chen. Der Lerngruppe fällt es dabei noch etwas schwer, gemeinsame Ergebnisse zu formu-lieren und ihre Vorgehensweise zu präsentieren, weshalb dies noch weiterhin geübt werden muss.

3. Sachanalyse

Beweise spielen in der Mathematik eine grundlegende Rolle, so spricht man auch von der beweisenden Wissenschaft schlechthin. Ein Beweis ist allgemein eine schlüssige Argumen-tation für eine bestimmte Aussage und somit eine Begründung derselben.[1] Was jedoch genau als Beweis zählt, lässt sich nicht leicht beantworten, da die Schlüssigkeit einer Argu-mentation immer auch eine Wertungsfrage ist. Es existieren keine absoluten Kriterien, wann es sich um einen Beweis handelt. Vielmehr sind Beweise stets kultur- und zeitabhängig.[2]

Da der Begriff „Beweisen“ sehr formal und mit der Strenge der Schlussfolgerung verbunden ist, wird häufig der breitere Begriff „Begründen“ verwendet, wenn auch andere Begründungs-formen mitgedacht sind. De Villiers benennt fünf zentrale Funktionen des Begründens: überzeugen, erklären, kommunizieren, entdecken und Zusammenhänge herstellen.[3]

Holland unterscheidet zwischen drei Niveaustufen des Beweisens: Die Stufe des Argumen-tierens, die Stufe des inhaltlichen Schließens und die Stufe des formalen Schließens.[4] Diese Unterrichtsstunde befindet sich auf der Stufe des Argumentierens, bei der das Beweisen auf ein „Aha-Erlebnis“ abzielt, welches die gewonnene Einsicht veranschaulicht. Kriterien eines strengen Beweises müssen hier nicht erfüllt sein, da es eher darum geht, Möglichkeiten der Veranschaulichung zu suchen, um auch schwächeren Lernenden dieses „Aha-Erlebnis“ ermöglichen zu können. Charakteristisch sind hier mündliche Argumentationen, Bezüge zu einer Beweisfigur und das Verwenden von anschaulichen Hilfsmitteln.[5]

Eine besondere Form von Beweisen sind inhaltlich-anschauliche Beweise. Ihnen liegt der Ansatz zugrunde, dass mathematisches Wissen in verschiedenen Darstellungen repräsen-tiert werden kann: „nicht nur symbolisch, sondern auch enaktiv (in Form von Handlungen mit konkretem Material) und ikonisch (unter Rückgriff auf Zeichnungen und Modelle)“. Inhaltlich-anschauliche Beweise arbeiten zwar mit einem Beispiel, dieses lässt jedoch eine Übertrag-barkeit auf jeden anderen Fall und somit eine Verallgemeinerbarkeit erkennen.[6]

In dieser Unterrichtsstunde können die Lernenden enaktiv an unterschiedlichen Dreiecken die Innenwinkelsumme im Dreieck veranschaulichen und Begründungen (Messen der Winkel in einem Dreieck, messunabhängige Darstellung mit verschiedenen Dreiecken) hinsichtlich ihrer Aussagekraft reflektieren. Grundlage ist der Satz über die Innenwinkelsumme im Drei-eck, welcher lautet:

In jedem Dreieck beträgt die Summe der Innenwinkel stets 180°.[7]

Grundlage für die folgenden Versuche ist folgender axiomatischer Beweis[8]: Abb.1

Es wird eine Parallele zur Dreiecksseite c gezeichnet und mit-hilfe der Wechselwinkel ein gestreckter Winkel erzeugt. Zu-grunde liegt hier eine axiomatische Beweisführung, indem sich aus dem Parallelenaxiom („Zu jeder Geraden gibt es durch jeden Punkt genau eine Parallele“[9] ) und dem Satz vom Wechselwinkel („Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind gleich groß“[10] ) die Ergänzung der Winkel im Dreieck zu einem gestreckten Winkel ergibt, also gilt: α + β + γ = 180°.[11]

Da den Lernenden die Winkelsätze noch nicht bekannt sind, werden ihnen in dieser Stunde als Vorstufe des axiomatischen Beweises verschiedene Möglichkeiten angeboten, den Zu-sammenhang zwischen Winkelsumme und einer Geraden als Darstellung eines 180° großen Winkels zu entdecken:

1. Aneinanderlegen von kongruenten Dreiecken: Abb.2
Indem bei kongruenten Dreiecken gleiche Winkel in der gleichen Farbe eingefärbt und die Dreiecke so aneinander gelegt werden sollen, dass drei verschiedene Winkel nebeneinander liegen, werden die Dreiecke „parkettiert“.[12] Dabei ergänzen sich die drei Winkel zu einem gestreckten Winkel, der 180° beträgt. Abb.3
2. Eckenabreißen:
Bei diesem Vorgehen werden von einem beliebigen Dreieck zwei Ecken abgerissen und so an die dritte Ecke gelegt, dass eine Gera-de entsteht. So wird ein gestreckter Winkel gebildet.
3. Falten: Abb.4 Das Dreieck wird so gefaltet, dass die drei Ecken auf einer Seite des Dreiecks liegen. So entsteht ein gestreckter Winkel.[13]

4. Didaktische Überlegungen

In den Bildungsstandards und Inhaltsfeldern für den Mittleren Schulabschluss beinhaltet der Kompetenzbereich „Argumentieren“ unter anderem folgende Aspekte: Die Schülerinnen und Schüler „stellen Fragen nach Verallgemeinerung und Spezifikation mathematischer Sachver-halte und prüfen diese auf Korrektheit“, „vollziehen mathematische Argumentationen nach, bewerten sie und begründen sachgerecht“.[14] In den Lernzeitbezogenen Kompetenzerwartun-gen am Ende der Jahrgangsstufe 8 wird außerdem folgender Aspekt benannt: „begründen mathematische Sachverhalte, Regeln und Rechenverfahren und überprüfen diese“.[15]

Innerhalb der Schwerpunktsetzungen in den Inhaltsfeldern in Jahrgangsstufe 7/8 wird im Inhaltsfeld „Raum und Form“ der Teilbereich „Ebene Figuren“ benannt, zu welchem unter anderem „Grundfiguren“ zählen. Zum Inhaltsfeld „Größen und Messen“ gehört der „Umgang mit Größen“, zu dem der „Winkelsummensatz“ zählt.[16]

In dieser Unterrichtseinheit beschäftigen sich die Lernenden mit den Eigenschaften des Drei-ecks, der wichtigsten Figur der ebenen Geometrie, da sich alle Vielecke (Polygone) aus Drei-ecken aufbauen bzw. in solche zerlegen lassen.[17] Diese Unterrichtsstunde dient vor allem dem „Erkunden, Entdecken, Erfinden“, da die Lernenden zum eigenständigen Erkunden und individuellen Entdecken angeregt werden sollen. Dabei werden sie zum Denken aktiviert und Kommunikations- und Kooperationsprozessen angestoßen.[18] Durch mathematische Ent-deckungen und das Aufstellen von Vermutungen kann außerdem das Beweisbedürfnis der Lernenden geweckt werden.[19]

Vor allem die Geometrie bietet sich an, um Fähigkeiten des Argumentierens zu schulen, da Behauptungen oder Aussagen durch Schlussfolgerungen nachvollzogen werden können. Sie gilt daher „als ein besonders geeignetes Übungsfeld für das Erlernen des Argumentierens, Begründens und Beweisens“.[20] Beweise dienen zum einen der Sicherung mathematischen Wissens, zum anderen jedoch auch dem Verstehen von mathematischen Aussagen.[21]

Das Argumentieren spielt auch in anderen Fächern eine Rolle, so wird die Kompetenz in Deutsch häufiger geschult, vor allem bei der schriftlichen Stellungnahme und der klassi-schen Erörterung. Auch in den Fächern Physik und Chemie spielt das Aufstellen und Über-prüfen von Hypothesen eine Rolle. Ein anspruchsvolles Bildungsziel ist, die Lernenden zum kritischen Umgang mit Argumentationen zu befähigen, zu welchem der Mathematikunterricht beitragen kann. So ist eine Auseinandersetzung mit der Zulässigkeit von Argumenten ein wichtiger Beitrag zur Allgemeinbildung.[22] Begründungen und Argumentationen kennen die Lernenden außerdem aus ihrem alltäglichen Umfeld, zum Beispiel im Umgang mit ihren Eltern und Freunden, indem sie sie von ihren Wünschen, Ideen und Vorstellungen zu über-zeugen versuchen.

Da es sich bei den Versuchen der Lernenden nicht um Beweise im strengen Sinn handelt (siehe Sachanalyse), soll hier ein zunehmendes Erkennen der Allgemeingültigkeit von Argu-menten geschult werden. Eine eher umgangssprachliche Darstellung dient dabei als Basis für die spätere Verwendung der Fachsprache bei formalen Beweisen.[23]

Eine Differenzierung findet hinsichtlich der verschiedenen Aufgabenstellungen statt. So geben die Arbeitsblätter beim Eckenabreißen und Falten bereits die Gerade vor, welche beim Aneinanderlegen kongruenter Dreiecke entdeckt werden muss. Die Hilfekarten können den Gruppen dabei helfen, die Versuche richtig durchzuführen und geben außerdem weitere Hinweis, um sie beim Begründen zu unterstützen. Außerdem findet bietet die Aufgaben-stellung allgemein eine Selbstdifferenzierung, da der Anspruch des Argumentierens von den Begründungen der Lernenden abhängt. (Siehe Anhang 9.3)

Eine didaktische Reduktion wurde hinsichtlich der Auswahl der Versuche vorgenommen, da die Gruppen keine formalen Beweise, sondern eher anschauliche Begründungen, entwickeln sollen. Die Begründungen stellen somit eine Vorstufe zum Beweisen dar und sollen vor allem die Fähigkeit des Argumentierens schulen.

5. Methodische Überlegungen

Zu Beginn der Unterrichtsstunde dient der stumme Impuls dazu, dass die Lerngruppe neben dem Beschreiben der Situation auch erste Vermutungen äußern kann. Der Comic mit dem Bezug zur App „Quizduell“ soll vor allem das Interesse der Lernenden wecken und die Ausei-nandersetzung mit der Problemstellung initiieren. Dabei soll die Motivation zur Durchführung der Versuche gefördert werden.

Bevor die Lernenden die Versuche durchführen, werden sie aufgefordert zu zweit ein Bei-spieldreieck zu zeichnen und auszumessen. Indem die Ergebnisse im Plenum verglichen werden, sollen die Lernenden die Annäherung an eine Allgemeingültigkeit erkennen und gleichzeitig reflektieren, ob dies als Begründung ausreichen kann.

„Um allgemeine Behauptungen zu generieren und einsichtig zu machen, ist die Arbeit an Beispielen unabdingbar. Beispiele helfen, den Gültigkeitsbereich eines mathematischen Satzes auszuloten und Vertrauen in einen mathematischen Satz gewinnen.“[24]

In dieser Unterrichtsstunde sollen die Lernenden zunächst zu zweit den Versuch durchführen und sich danach in Vierergruppen austauschen. Jede der sieben Tischgruppen beschäftigt sich jeweils mit einem der drei verschiedenen Versuche. Somit werden zwei Versuche jeweils von zwei Gruppen und ein Versuch von drei Gruppen durchgeführt.

Die Partnerarbeit dient dazu, dass sich die beiden Lernenden intensiv mit dem Versuch auseinandersetzen, sich über ihre Ideen austauschen und dabei bereits erste mündliche Argumentationen formulieren. Partnerarbeit ist allgemein eine wichtige Vorbereitung auf dem Weg zur Teamfähigkeit und geeignet um eine anschließende Gruppenarbeit vorzubereiten, da die Partner oft konzentrierter arbeiten als in der Gruppe.[25]

In der anschließenden Gruppenarbeit sollen sich die beiden Partnergruppen über ihre Beo-bachtungen austauschen, ein gemeinsames Ergebnis formulieren und die Präsentation vor-bereiten. Durch Gruppenarbeit werden vor allem die Sozialkompetenz sowie die Kompetenz des Kommunizierens der Lerngruppe gefördert.[26]

Die Tischgruppen wurden im Vorfeld von mir so eingeteilt, dass möglichst heterogene Part-ner- und Gruppenzusammensetzungen entstehen. Die heterogenen Gruppen bieten sich an, da die einzelnen Versuche vom Anspruch des Argumentierens etwa gleich sind und leis-tungsstärkere Lernende andere unterstützen können.

[...]


[1] Hefedehl-Hebeker, Lisa/ Hußmann, Stephan: Beweisen - Argumentieren. S.95f.

[2] Weigand, Hans-Georg et al.: Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I. S.36.

[3] Meyer, Michael/ Prediger, Susanne: Warum? Argumentieren, Begründen, Beweisen. S.3.

[4] Holland, Gerhard: Geometrie in der Sekundarstufe. S.131.

[5] Holland, Gerhard: Geometrie in der Sekundarstufe. S.132.

[6] Weigand, Hans-Georg et al.: Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I. S.50f.

[7] Krauter, Siegfried: Erlebnis Elementargeometrie. S.61.

[8] Ein axiomatischer Beweis basiert auf Axiomen, also für richtig anerkannte Regeln in der Mathematik.

[9] Müller-Philipp, Susanne/ Gorski, Hans-Joachim: Leitfaden Geometrie. S.73.

[10] Ebd. S.156.

[11] Ebd. S.236.

[12] Holland, Gerhard: Geometrie in der Sekundarstufe. S.132.

[13] Dabei ist darauf zu achten, dass die Ecken auf die längste Seite des Dreiecks gefaltet werden müssen.

[14] Hessisches Kultusministerium: Bildungsstandards und Inhaltsfelder. S.17.

[15] Ebd. S.24.

[16] Ebd. S.27f.

[17] Krauter, Siegfried: Erlebnis Elementargeometrie. S.61.

[18] Blum, Werner et al.: Bildungsstandards Mathematik: konkret. S.88.

[19] Meyer, Michael/ Voigt, Jörg: Beweisen durch Entdecken. S.14.

[20] Weigand, Hans-Georg et al.: Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I. S.22.

[21] Ebd. S.37f.

[22] Bruder, Regina/ Pinkernell, Guido: Die richtigen Argumente finden. S.2.

[23] Krumsdorf, Julian: Beweisen am Beispiel. S.9.

[24] Meyer, Michael/ Prediger, Susanne: Warum? Argumentieren, Begründen, Beweisen. S.5.

[25] Mattes, Wolfgang: Methoden für den Unterricht. S.48.

[26] Barzel, Bärbel/ Büchter, Andreas/ Leuders, Timo: Mathematik Methodik. S.84.

Details

Seiten
19
Jahr
2014
ISBN (eBook)
9783668189706
ISBN (Buch)
9783668189713
Dateigröße
883 KB
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v319622
Note
1
Schlagworte
quizduell summe innenwinkel dreieck richtig antwort mathematik klasse eine vermutung richtigkeit aussage

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Titel: „Quizduell! Wie groß ist die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck? Richtig ist Antwort …, weil…“ (Mathematik, Klasse 7)