In Nachgedacht II leiten wir – ausgehend vom Skalarprodukt von Kraft und Weg – die bekannten Gleichungen ab, welche die relativen und die absoluten potentiellen Energien eines idealen Gases, einer gespannten Feder, elektrischer Ladungen sowie zweier Körper mit Zustandsparametern (Volumen, Abstandsparameter) verknüpfen:
Wir benutzen dazu einen Algorithmus, der gegenüber der übliche Vorgehensweise mehrere didaktische Vorteile bringt. Den Schluss der Arbeit bilden Aussagen zur Bedeutung der Gravitation für die Energieerhaltung im Kosmos.
Inhaltsverzeichnis
1. Einführung
2. Definitionen und Konventionen
2.1 System und Umgebung
2.2 Vorzeichenkonvention
2.3 Definition des Begriffes potentielle Energie
2.4 Quasistatische Prozessführung, konservative Prozesse, Reversibilität, Dissipation
2.5 Verschiebungsarbeit, Beschleunigungsarbeit, Gesamtarbeit
2.6 Definition mechanischer Arbeit durch das Skalarprodukt von Kraft und Weg
2.7 Definition des Begriffes „systemimmanente Kraft F s“
2.8 Kraftgesetze, Vektoren und deren Beträge
3. Ableitung der Beziehungen zwischen den potentiellen Energien und den entsprechenden Abstandsparametern
3.1 Volumenarbeitspotential eines idealen Gases
3.2 Elektrostatische Wechselwirkung, Coulombsches Gesetz
3.3 Spannen einer Feder, Hooke`sches Gesetz
3.3.1 Verwendung der systemimmanenten Kraft bei Streckung der Feder
3.3.2 Verwendung einer äußeren Kraft bei Streckung der Feder
3.3.3 Verwendung der systemimmanenten Kraft bei Stauchung der Feder
3.4 Hub einer Masse, Gravitation
3.4.1 Verwendung der systemimmanenten Kraft zu Berechnung der potentiellen Energie
3.4.2 Die absolute potentielle Gravitationsenergie , die Energieerhaltung im Kosmos
4. Zusammenfassung
Literaturverzeichnis
1. Einführung
Dies ist die 2. Veröffentlichung unter dem Label „Nachgedacht“. Wie in der 1. Veröffentlichung zur Volumenarbeit setzen sich die Autoren wieder kritisch mit Sachverhalten auseinander, die in der Fachliteratur ungenügend oder missverständlich oder in sich widersprüchlich dargestellt sind.
In der Veröffentlichung zur Volumenarbeit haben wir empfohlen, bei der Ableitung der Differentialansätze zur Abhängigkeit der Arbeit von Einflußgrößen vom Skalarprodukt von Kraft und Weg auszugehen und zur Vermeidung von Vorzeichenfehlern sich an den vorgeschlagenen Algorithmus zu halten. Im vorliegenden Beitrag zeigen wir, dass sich die gleiche Prozedur auch für die Berechnung der Arbeit anderer Prozesse (Spannen einer Feder, elektrostatische Wechselwirkung, Hub eines Körpers) bestens eignet. Aus den Gleichungen für die reversible Verschiebungsarbeit ergeben sich die Gleichungen für die potentiellen Energien der betrachteten Systeme und zwar in jedem Falle mit dem korrekten bekannten Vorzeichen. Dies bestätigt unter anderem die Richtigkeit der eng mit Vorzeichenfragen verknüpften Schritte des Algorithmus.
Da wir nicht davon ausgehen können, dass die Arbeit zu „Nachgedacht I“ bekannt ist, müssen wir nochmals die Definitionen und eine Vorzeichenkonvention besprechen, die die Basis des verwendeten Algorithmus bilden.
2. Definitionen und Konventionen
2.1 System und Umgebung
Es ist sinnvoll, die physikalischen oder physikalisch-chemischen Eigenschaften in einem willkürlich räumlich abgegrenzten Bereich der realen Welt zu untersuchen, welchen man als System bezeichnet. Außerhalb des Systems liegt die Umgebung [1, S.15].
In geschlossenen Systemen, die unseren Betrachtungen zugrunde liegen, ist Energieaustausch, aber kein Stoffaustausch mit der Umgebung möglich. Die Systeme, mit denen wir uns im vorliegenden Beitrag befassen wollen, sind ein ideales Gas (eingeschlossen in einem Gefäß mit beweglichem Stopfen bzw. Kolben), eine Feder, zwei geladene Teilchen bzw. ihre Ladungen und zwei durch Gravitation verknüpfte Körper.
2.2 Vorzeichenkonvention
In den Naturwissenschaften wird heute im allgemeinen die von Physikern und Chemikern verabredete Konvention befolgt: Von der Umgebung am System verrichtete Arbeit bzw. dem System zugeführte Energie wird positiv gewertet, die vom System an der Umgebung verrichtete Arbeit bzw. der Umgebung vom System zugeführte Energie hat ein negatives Vorzeichen. Bezüglich des Zugewinns bzw. des Verlustes betrachtet man die Änderung vom Standpunkt des Systems aus [1, S. 75].
2.3 Definition des Begriffes potentielle Energie
Potentielle Energie ist die Fähigkeit eines Systems, Arbeit zu verrichten. Diese Fähigkeit ist im Falle der geladenen Teilchen und der gravitativ verknüpften Massen von ihrer gegenseitigen Entfernung, also von ihrer Lage abhängig. Im Falle des Gases und der Feder ist sie durch deren innere Struktur gegeben.
Wir möchten zwischen relativer und absoluter potentieller Energie unterscheiden. In der Literatur wird der Begriff potentielle Energie meist im Sinne der relativen potentiellen Energie gebraucht. Das heißt, man setzt willkürlich die potentielle Energie in einer bestimmten Lage oder Struktur gleich Null und misst die Veränderung der Fähigkeit zur Arbeitsverrichtung infolge der Änderung von Lage oder Struktur. Daneben gibt es aber auch einen natürlich gegebenen Nullpunkt für die Fähigkeit zur Arbeitsverrichtung. Im Falle der gravitativ verbundenen Massen ist dieser gegeben, wenn die Massen unendlich weit voneinander entfernt sind.
Wir werden die bekannten Gleichungen für die potentiellen Energien ableiten, vor allem um die Nützlichkeit des empfohlenen Algorithmus zu belegen. Und in diesem Zusammenhang werden wir auf die natürlichen Nullpunkte der potentiellen Energien eingehen und sie berechnen.
2.4 Quasistatische Prozessführung, konservative Prozesse, Reversibilität, Dissipation
Wenn sich bei einem Prozess – im Modell - stets die wirkende und die entgegenwirkende Kraft in etwa die Waage halten, der Prozess also nahezu eine Folge von Gleichgewichtszuständen ist, bezeichnet man den Prozess als quasistatisch [2, S.304]. Ein quasistatischer Prozess ist gleichzeitig reversibel. Reversibilität bedeutet, dass das System nach einer Zustandsänderung wieder in den Ausgangszustand zurückgeführt werden kann, ohne dass von der Umgebung zusätzliche Arbeit verrichtet werden muss und in einem der beteiligten Körper eine dauernde Zustandsänderung zurückbleibt. Eine zweite Möglichkeit von Reversibilität – allerdings wieder nur im Modell - ergibt sich, wenn während des Prozesses nur potentielle in kinetische Energie und umgekehrt verwandelt wird, z.B. wenn eine vollkommen elastische Stahlkugel auf eine vollkommen elastische Stahlplatte fällt und dann in die alte Höhe zurückprallt. Einen solchen Prozess nennt man konservativ, weil die Arbeitsfähigkeit erhalten bleibt, also konserviert wird. Was im Modell angenommen werden kann, ist allerdings in der Realität nicht möglich, weil dissipative Arbeit wie Reibung und Deformationen unvermeidlich ist. Nur dadurch kommt die hüpfende Stahlkugel letztlich zur Ruhe und bleibt auf der Stahlplatte liegen. Häufig werden die Begriffe „quasistatisch“ und „reversibel“ synonym verwendet. Eigentlich sind die quasistatischen Prozesse aber eine Teilmenge der reversiblen Prozesse.
Wenn die wirkende Kraft merklich größer als die zu überwindende Kraft ist, verläuft der Prozess nichtquasistatisch. Auch die hüpfende Stahlkugel agiert nichtquasistatisch. Anstelle des korrekten Begriffes nichtquasistatisch wird ein solcher Prozess meist als irreversibel bezeichnet. Irreversibel wird der Prozess aber erst durch die Auswirkung der Dissipation, das heißt, z.B. durch die Umwandlung gerichteter kinetischer Energie des makroskopischen Körpers in statistisch auf die Moleküle, Ionen, usw. verteilte kinetische Energie, die bei isothermer Prozessführung als Wärme an die Umgebung abgegeben wird.
2.5 Verschiebungsarbeit, Beschleunigungsarbeit, Gesamtarbeit
Arbeit verrichtet ein Arbeiter im physikalischen Sinn, wenn er Kraft ausüben muss, um einen Körper gegen eine Kraft zu verschieben und (oder) den Körper zu beschleunigen.
Vom Verschieben spricht man, wenn die wirkende Kraft nur infinitesimal größer ist als die Gegenkraft, also der Prozess quasistatisch verläuft. Die Verschiebungsarbeit führt zum Anstieg der potentiellen Energie d w = d E pot des Körpers, an dem die Arbeit verrichtet wurde. Muss die auf einen Körper wirkende Kraft nur die Trägheitskraft des Körpers überwinden, weil eine besondere Gegenkraft fehlt, kommt es zur Beschleunigung.
Die Beschleunigungsarbeit führt zum Anstieg der kinetischen Energie d w = d E kin . Ist bei der Bewegung eines Körpers über seine Trägheit hinaus eine besondere Kraft zu überwinden, aber ist die zu überwindende Kraft merklich kleiner als die wirkende Kraft, besteht der Arbeitsbetrag aus der Summe von Verschiebungs- und Beschleunigungsarbeit. Die Beschleunigungsarbeit ergibt sich dann aus dem Kraftüberschuss.
Ein Beispiel für Arbeit, welche sich aus Verschiebungs- und Beschleunigungsarbeit zusammensetzt, ist der Wurf nach oben. Die vom Werfer verrichtete Verschiebungs- und Beschleunigungsarbeit äußert sich am geworfenen Körper in seiner gewonnenen potentiellen Energie m∙g∙D h und seiner kinetischen Energie m∙v2/2. Das bedeutet, hat der geworfene Körper noch nicht seine endgültige Höhe erreicht und sich die kinetische Energie noch nicht vollständig in potentielle Energie umgewandelt, muss ich beide Anteile in Rechnung stellen, um die Gesamtarbeit zu berechnen. Berücksichtige ich bei der Berechnung der Arbeit nur die gegen die Erdanziehung aufzuwendende Verschiebungsarbeit m∙g∙D h, habe ich nur den Anteil berechnet, den ich auch beim quasistatischen reversiblen Anheben in Rechnung stelle, also den Anteil, der zur Erhöhung der potentiellen Energie führt. Wir haben in [3] diesen Zusammenhang als Reversibel-Share-Theorem bezeichnet.
2.6 Definition mechanischer Arbeit durch das Skalarprodukt von Kraft und Weg
Die Kompression eines Gases (Volumenarbeit), das Spannen einer Feder, das Auseinandertreiben zweier entgegengesetzt geladener Teilchen, die Vergrößerung der Entfernung zweier Massen sind Formen mechanischer Arbeit, die von außen zugeführt, die potentielle Energie des Systems erhöhen.
In den Lehrbüchern der Physik wird mechanische Arbeit durch die Gleichung Arbeit = Kraft∙Weg definiert.
Und da zeigen sich die ersten Probleme: Wird berücksichtigt, dass die Kraft und der Weg Vektoren sind und durch Pfeile über dem Betragssymbol oder durch Fettdruck oder – wie früher – durch deutsche Frakturschrift besonders symbolisiert werden müssen!? Meint man die zu überwindende oder die wirkende Kraft? Ist dies relevant? Viele Ungereimtheiten vermeidet man, wenn man mechanische Arbeit mit dem Skalarprodukt von Kraft und Weg Gl. (1) definiert [4, S. 352], [5, S. 124], [6] :
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In dieser Gleichung ist d w eine infinitesimale Arbeitsmenge. F ext ist der Betrag der Kraft, welche von außen auf das System einwirkt[1]. Das Differential d s ist der Betrag des Weges, den der Körper infolge der einwirkenden Kraft zurücklegt, und a ist der Winkel zwischen den Vektoren Kraft und Weg. Im Falle der Volumenarbeit tritt an die Stelle des Körpers die frei bewegliche Grenzfläche des Gases gegenüber dem frei beweglichen Kolben des Gefäßes, in welchem sich das Gas befindet. In den anderen Fällen werden die Körper durch ihre Massenschwerpunkte und die Ladungen durch ihre Mittelpunkte repräsentiert.
2.7 Definition des Begriffes „systemimmanente Kraft F s“
Eine verschiebende Kraft kann anstelle von außen auch von Teilen des Systems ausgehen. Im Falle der Volumenarbeit sind die Verursacher der verschiebenden und beschleunigenden Kraft die auf die verschiebbare Kolbenwand prallenden Gasmoleküle. Im Falle einer gespannten Feder gehen die Kräfte von den aus dem Abstands-Gleichgewicht geratenen Atomen, Ionen oder Molekülen (je nach Material) aus. Bei der Gravitation geht die Kraft von den sich anziehenden Körpern und bei den Coulombschen Wechselwirkungen von den sich anziehenden bzw. abstoßenden Ladungen aus. Diese Kräfte sind Teil der inneren Kräfte der Systeme. Aber sie sind im Gegensatz zu anderen Teilen befähigt, Arbeit an der Umgebung zu verrichten. Um diese Besonderheit hervorzuheben, haben wir dieser Art von Kraft einen eigenen Namen gegeben und sie als systemimmanente Kraft F s bezeichnet [6].
Wegen der Vorzeichenkonvention bezüglich des Energieaustauschs zwischen System und Umgebung (siehe 2.2) muss bei Verwendung von systemimmanenten Kräften das Skalarprodukt von Kraft und Weg ein negatives Vorzeichen erhalten. Es muss also gelten:
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Wir haben Wikipedia, viele Lehrbücher der Physik und Physikalischen Chemie geprüft und in keinem Werk einen Verweis auf das negative Vorzeichen des Skalarprodukts bei Verwendung innerer bzw. systemimmanenter Kräfte gefunden. Wir werden beweisen, dass das negative Vorzeichen in Gl. (2) nötig ist.
Vom Skalarprodukt Gl.(1) oder Gl.(2) auszugehen und den von uns verwendeten Algorithmus einzuhalten, bringt viele didaktischen Vorteile:
- Die Vorzeichenkonvention und das negative Vorzeichen bei Verwendung der systemimmanenten Kraft werden beachtet, sobald es sich um verrichtete Arbeit handelt und werden nicht erst später eingeführt.
- Die Berechnung kommt ohne Vektoren aus, denn hinsichtlich des korrekten Umgangs mit Vektoren und deren Beträgen sind wir beim Lesen von wissenschaftlichen Texten immer wieder auf Nachlässigkeiten gestoßen.
- Für die Berechnung der Verschiebungsarbeit und der potentiellen Energien können wir die mit Beträgen formulierten Kraftgesetze verwenden.
- In der Literatur wird häufig dem Kraftvektor fälschlicherweise ein negativer Betrag zugewiesen, wenn man zum Ausdruck bringen will, dass der Weg der Kraft entgegen gerichtet ist. Beträge von Vektoren sind immer unabhängig von ihrer Richtung positiv. Sie entsprechen ja der Länge des Vektorpfeiles. Die Verwendung des Skalarprodukts lässt den benannten Fehler von vornherein vermeiden, denn die Richtungsbeziehung der Vektoren Kraft und Weg wird durch cos a erfasst.
- Die Beibehaltung oder der Wechsel von Vorzeichen in der Schrittfolge ist nachvollziehbar und bleibt nicht diffus.
2.8 Kraftgesetze, Vektoren und deren Beträge
Zur Berechnung der Verschiebungsarbeit und der potentiellen Energien benötigt man Kraftgesetze, die die Kraft in Abhängigkeit von Abstandsparametern (Höhe h, Entfernung r, Abstand x) beschreiben.
Diese Kraftgesetze können mit Vektoren oder mit deren Beträgen formuliert werden. Als Beispiel führen wir das Gravitationsgesetz an:
Formuliert mit Vektoren [Wikipedia, Stichwort Gravitationsgesetz[2] ]:
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Formuliert mit den Beträgen der Vektoren:
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Weil die Formulierung des Kraftgesetzes mit den Beträgen einfacher ist, wird sie in der Literatur bevorzugt benutzt, wenn es um einfache Zusammenhänge geht. Auch wir werden die Formulierung der Kraftgesetze – wie oben angedeutet - mit den Beträgen verwenden.
3. Ableitung der Beziehungen zwischen den potentiellen Energien und den entsprechenden Abstandsparametern
3.1 Volumenarbeitspotential eines idealen Gases
Wie unter 2.5 beschrieben, erhöht man das Potential zur Verrichtung von Arbeit, indem man am System quasistatische Verschiebungsarbeit verrichtet. Im vorliegenden Fall ist das System ein ideales Gas, welches sich in einem Gefäß mit reibungsfrei verschiebbaren Kolben befindet. Gefäß und Kolben gehören zur Umgebung des Systems. Ein quasistatischer Verlauf ist möglich, wenn Gasdruck und Außendruck sich während des gesamten Prozesses nur infinitesimal unterscheiden. Ein ganz kleiner Unterschied von Kraft und Gegenkraft wird den Prozess in der einen oder in der anderen Richtung leiten.
Im Modell Abb. 1 kann quasistatische Prozessführung erreicht werden, indem mit einer stetig veränderlichen Hebelübersetzung die Gewichtskraft eines an einem Faden hängenden Körpers die systemimmanente Kraft des Gases nahezu kompensiert. Der Prozess kann dann beliebig langsam von statten gehen.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abb.1 Apparatur zur quasistatischen Volumenänderung nach Pohl [2, S. 304].
Bei Expansion nimmt die Hebellänge stetig ab, bei Kompression nimmt sie zu[3].
Die vom Gas bei Expansion bzw. von der Umgebung bei Kompression verrichtete Arbeit ist umso größer, je größer der Druck und je größer die Volumenänderung ist. Dies führt unter Berücksichtigung der Vorzeichenkonvention (siehe 2.2) zu dem Differentialansatz [7]:
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[...]
[1] Die verwendeten lateinischen Buchstaben ohne Fettdruck bezeichnen hier die Beträge von Vektoren
[2] Die Vektoren haben wir anstelle mit Pfeil durch Fettdruck symbolisiert, die senkrechten Striche stehen für die Beträge der Vektoren. Die r symbolisieren die Ortsvektoren im kartesischen Koordinatensystem.
[3] Diese Apparatur scheint uns praxisnäher als das in der Literatur meist verwendete Modell eines aufrecht stehenden Gefäßes, bei dem auf dem Kolben Gewichte zugefügt oder weggenommen werden. Um quasistatischen Verlauf zu simulieren, müssten die Gewichte sehr klein sein. Die Lehrbücher von R.W. Pohl waren Klassiker der Physikliteratur und ragen besonders durch praxisorientierte Versuchsmodelle hervor.