Sätze der Geometrie und Arithmetik. Immanuel Kant und Gottlob Frege im Vergleich

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

1. Kant über Sätze der Geometrie und Arithmetik
1.1 Geometrie
1.2 Arithmetik

2. Frege über Sätze der Geometrie und Arithmetik und die Auseinandersetzung mit Kant
2.1 Geometrie
2.2 Arithmetik

Fazit

Literaturverzeichnis

Einleitung

Ziel dieser Arbeit ist ein Vergleich der Konzeptionen von Sätzen der Geometrie und Arithmetik bei Kant und Frege. Gemeinsam ist den jeweiligen Konzeptionen, dass Sätze der Mathematik als Urteile a priori und damit unabhängig von Erfahrung erfolgen. Bezüglich der Geometrie gehen sowohl Kant als auch Frege davon aus, dass es sich bei Sätzen selbiger um synthetische Urteile a priori handelt, denen die räumliche Anschauung zugrunde liegt.

Ihre Konzeptionen unterscheiden sich allerdings in Bezug auf die Arithmetik. Kant zufolge sind auch die Sätze der Arithmetik synthetische Urteile a priori, denen die Zeit als Anschauung zugrunde liegt. Frege hingegen argumentiert für eine Theorie von Sätzen der Arithmetik als analytischen Urteilen a priori, weil sie seiner Ansicht nach aus der Logik abzuleiten sind.

Gegenstand der folgenden Untersuchungen ist bezüglich des ersten Teils, Kants Argumentation soweit nachzuvollziehen, dass verständlich wird, warum er Sätze der Mathematik, also sowohl der Geometrie, als auch der Arithmetik, als synthetische Urteile a priori ansieht. Dabei müsste man jedoch, um diesem Gegenstand gerecht zu werden, weit über die herangezogenen Stellen hinaus gehen und dies nicht nur innerhalb der Kritik der reinen Vernunft, sondern neben weiteren Schriften Kants auch in der Geschichte der Mathematik zumindest bis zu Euklid zurückgehen, was hier allerdings im Rahmen dieser Hausarbeit kaum möglich sein wird.

Im zweiten Teil geht es schließlich um Freges Auseinandersetzung mit Kant in Bezug auf Sätze der Geometrie und Arithmetik, wobei ich mich ebenfalls auf einige ausgewählte Stellen beschränken werde. Denn für diesen Teil gilt ebenfalls, dass eine, dem Gegenstand in der gebotenen Ausführlichkeit, angemessene Analyse die dafür relevanten Bereiche der Philosophiegeschichte und der Geschichte der Mathematik berücksichtigen müsste.

1. Kant über Sätze der Geometrie und Arithmetik

Kant schränkt den Mathematik-Begriff auf die reine Mathematik ein – es geht ihm dabei nicht um die empirische, sondern um die „bloß reine Erkenntnis a priori"^[1]. „Das Wesentliche und Unterscheidende der reinen mathematischen Erkenntnis von aller anderen Erkenntnis a priori ist, daß sie nicht aus Begriffen, sondern jederzeit nur durch die Konstruktion der Begriffe [...] vor sich gehen muß."^[2] Die Sätze der Mathematik entstehen also nicht „durch Zergliederung der Begriffe"^[3], d. h. durch Begriffsanalyse, weshalb sie nicht analytisch, sondern synthetisch sind.

Sätze der Mathematik sind, wie aus diesen zitierten Textstellen hervorgeht, also synthetische Urteile a priori, sie erfolgen damit vor aller Erfahrung (a priori); zudem ist das Prädikat nicht bereits im Subjekt enthalten, wie bei analytischen Urteilen, sondern es handelt sich bei einem synthetischen Urteil um ein Erweiterungsurteil^[4].

Analytische Urteile erfolgen dabei nach dem Prinzip der Widerspruchsfreiheit, d. h. die Zuschreibung eines Prädikats zu einem Begriff als Subjekt darf nicht zu einem Widerspruch führen. Als Beispiel für ein solches analytisches Urteil a priori nennt Kant u. a. „alle Körper sind ausgedehnt"^[5]. Würde man diesen Satz verneinen, also behaupten, dass kein Körper ausgedehnt ist, so würde dies deshalb zu einem Widerspruch führen, weil die Ausgedehntheit als Prädikat, Kant zufolge, bereits im Begriff des Körpers angelegt ist und wir keine Körper ohne Ausgedehntheit denken können.

Synthetische Urteile a priori hingegen können nicht nach dem Satz des Widerspruchs als Prinzip erfolgen, wobei jedoch ein synthetisches Urteil a priori, Kant zufolge, aus einem anderen solchen abgeleitet werden kann^[6], sondern damit ein solches Urteil erfolgen kann, ist die reine Anschauung erforderlich.^[7]

In § 6 der Prolegomena stellt Kant die Frage, wie reine Mathematik möglich ist.^[8] Die allen weiteren Bedingungen zugrundeliegende Bedingung der Möglichkeit von Mathematik, so führt Kant in § 7 weiter aus, bestehe darin, dass sie auf reiner Anschauung basieren müsse, in der alle ihre Begriffe konstruiert werden können.^[9]

Folgende Fragen ergeben sich zunächst aus den hier angeführten Stellen: (1) Was versteht Kant unter Mathematik? Geht es ihm dabei z. B. um eine bestimmte Disziplin oder um Mathematik im Allgemeinen? (2) Wie ist dabei das Verhältnis von Anschauung und Begriff zu bestimmen? (3) Was bedeutet im Zusammenhang mit Sätzen der Mathematik synthetisch a priori ? (4) Welche Bedeutung kommt dem Begriff des Urteils in diesem Zusammenhang zu?

1.1 Geometrie

Kant unterscheidet in seiner Mathematik-Konzeption die (reine) Geometrie und die (reine) Arithmetik. Für beide gilt, dass Sätze selbiger synthetische Urteile a priori sind. In diesem Kapitel geht es um Kants Konzeption der reinen Geometrie und darum was es bedeutet, dass es sich dabei um die Konstruktion von Begriffen auf Grundlage reiner Anschauung handelt.

§ 7 enthält in einer Fußnote einen Verweis auf die Kritik der reinen Vernunft (A 713). Dort wird an betreffender Stelle ausgeführt:

„Einen Begriff [...] konstruieren heißt: die ihm korrespondierende Anschauung a priori darstellen. Zur Konstruktion eines Begriffs wird also eine nicht empirische Anschauung erfordert, die folglich, als Anschauung, ein einzelnes Objekt ist, aber nichts destoweniger, als die Konstruktion eines Begriffs (einer allgemeinen Vorstellung), Allgemeingültigkeit für alle mögliche Anschauungen, die unter denselben Begriff gehören, in der Vorstellung ausdrücken muß."^[10]

Die Konstruktion eines Begriffs (oder einer allgemeinen Vorstellung)^[11] erfordert eine nicht-empirische Anschauung. Eine nicht-empirische Anschauung ist eine solche, die nicht auf Erfahrung gegründet ist, sondern a priori erfolgt und dies in Form eines einzelnen Objekts (Kant nennt das Beispiel eines Dreiecks für ein solches Objekt). Diese Anschauung steht zu ihrem Begriff in einem Korrespondenzverhältnis. Wie dies für das Beispiel des Dreiecks zu verstehen ist, erläutert Kant folgendermaßen:

„So konstruiere ich einen Triangel, indem ich den diesem Begriffe entsprechenden Gegenstand, entweder durch bloße Einbildung, in der reinen, oder nach derselben auch auf dem Papier, in der empirischen Anschauung, beidemal aber völlig a priori, ohne das Muster dazu aus irgend einer Erfahrung geborgt zu haben, darstelle."^[12]

Ein Dreieck wird also in der empirischen Anschauung dargestellt, indem das Objekt, das der allgemeinen Vorstellung dieses Objekts (hier des Dreiecks) entspricht, z. B. auf einem Blatt Papier durch einen Stift oder auf einer Tafel mit einem Stück Kreide verbildlicht wird. In der reinen Anschauung wäre dieser Begriff, die allgemeine Vorstellung des Dreiecks, ein Gegenstand der reinen Anschauung. Die visuelle Darstellung vom Begriff, von der allgemeinen Vorstellung des Dreiecks, ist dabei Kant zufolge ebenso eine Konstruktion, die nicht aufgrund von Erfahrung erfolgt, wie die in der bloßen Einbildung. Bei der visuellen Darstellung handelt es sich also um die empirisch zugängliche Konstruktion vom Begriff des Dreiecks.

Der geometrischen Figur auf dem Papier sei dabei in ihrer Konkretion zwar ein empirischer Charakter zuzuschreiben, allerdings änderten diese konkreten Bestimmungen nichts an der Apriorität des Begriffs. Der empirische Gegenstand sei dabei Ausdruck der allgemeinen Vorstellung.^[13]

Die Apriorität mathematischer Sätze als synthetischer Urteile a priori besteht also darin, dass dem empirisch zugänglichen Ausdruck einer geometrischen Figur (der Zeichnung eines Dreiecks) eine allgemeine Vorstellung (ein Begriff) zugrunde liegt, die in der visuellen Darstellung konkretisiert werden kann. Der Begriff von einem Gegenstand (Dreieck) muss also bereits vorhanden sein, damit eine mögliche visuelle Darstellung erfolgen kann. Insoweit basieren Sätze der Mathematik Kant zufolge auf reiner und nicht empirischer Anschauung.

Daraus ergibt sich neben der Frage (3) (Was bedeutet im Zusammenhang mit Sätzen der Mathematik synthetisch a priori bzw. warum handelt es sich dabei um synthetische Urteile a priori ?) eine weitere Frage: (5) Warum ist dabei die Anschauung notwendige Bedingung der Möglichkeit von Sätzen der Mathematik als synthetischer Urteile a priori.

In der Einleitung zur zweiten Auflage der Kritik der reinen Vernunft geht Kant auf diese Fragen ein (wobei sie sich nicht durch diese Stelle allein beantworten lassen):

„Eben so wenig ist irgend ein Grundsatz der reinen Geometrie analytisch. Daß die gerade Linie zwischen zweien Punkten die kürzeste sei, ist ein synthetischer Satz. Denn mein Begriff vom Geraden enthält nichts von Größe, sondern nur eine Qualität. Der Begriff des Kürzesten kommt also gänzlich hinzu und kann durch keine Zergliederung aus dem Begriffe der geraden Linie gezogen werden. Anschauung muß also hier zu Hülfe genommen werden, vermittelst deren allein die Synthesis möglich ist."^[14]

Es handelt sich also Kant zufolge bei Sätzen der reinen Geometrie um synthetische Urteile a priori, weil es sich nicht um analytische Urteile a priori handelt, denn „der Begriff des Kürzesten" sei nicht bereits in dem der geraden Linie zwischen zwei Punkten enthalten. Um urteilen zu können, dass die gerade Linie zwischen zwei Punkten die kürzeste Verbindung zwischen diesen Punkten sei, bedarf es der Anschauung. Warum ist aber die Anschauung für ein solches Urteil erforderlich, bzw. was heißt in diesem Zusammenhang Anschauung ?

In § 10 der Prolegomena wird von Kant auf Anschauung als Form der Anschauung Bezug genommen, nämlich auf Raum und Zeit als Formen derselben:

„Nun sind Raum und Zeit diejenigen Anschauungen, welche die reine Mathematik allen ihren Erkenntnissen und Urteilen, die zugleich als apodiktisch und notwendig auftreten, zum Grunde legt; denn Mathematik muß alle ihre Begriffe zuerst in der Anschauung und reine Mathematik in der reinen Anschauung darstellen, d. i. sie konstruieren, ohne welche (weil sie nicht analytisch, nämlich durch Zergliederung der Begriffe, sondern synthetisch verfahren kann) es ihr unmöglich ist, einen Schritt zu tun, solange ihr nämlich reine Anschauung fehlt, in der allein der Stoff zu synthetischen Urteilen a priori gegeben werden kann."^[15]

Die reine Mathematik – und um die geht es Kant vorrangig, wenn er zeigen will, dass Sätze selbiger synthetische Urteile a priori sind – muss, wie hier ausgeführt wird, ihre Begriffe in der reinen Anschauung konstruieren. So viel geht bereits aus den oben zitierten Stellen hervor. Welche Art der reinen Anschauung hier für die Geometrie vorgesehen ist, wird im folgenden deutlich: „Geometrie legt die reine Anschauung des Raums zum Grunde."^[16] Die reine Anschauung des Raumes ist hier als die Form der Anschauung als Raum zu verstehen. Im folgenden § 11 werden Raum und Zeit als „formale Bedingungen unserer Sinnlichkeit"^[17] bezeichnet, d. h. sie liegen als Formen der Anschauung jedem möglichen Gegenstand der sinnlichen Wahrnehmung zugrunde. Die Konstruktion eines Begriffs in der reinen Anschauung erfordert also den Raum, d. h. um den Begriff des Kürzesten bzw. der kürzesten Verbindung (als einer Geraden zwischen zwei Punkten) konstruieren zu können, ist es erforderlich, dass diese Konstruktion im Raum als reiner Anschauung erfolgt. Somit ist das Urteil, dass die gerade Linie zwischen zwei Punkten die kürzeste Verbindung zwischen diesen Punkten sei nur möglich durch den Raum als Form der reinen Anschauung.

Zu Frage (3) kann hier erneut konstatiert werden, dass Sätze der Mathematik (hier genauer der reinen Geometrie) synthetische Urteile a priori sind, weil bei ihnen das Prädikat nicht bereits im Begriff enthalten ist, das Urteil also nicht durch bloße „Zergliederung" erfolgt. Es handelt sich also um ein Erweiterungsurteil.

Zu Frage (5): Warum ist für ein solches Urteil die Anschauung notwendige Bedingung seiner Möglichkeit, genauer die reine Anschauung als die Anschauungsform des Raumes? Der Raum als Form der Anschauung muss der Konstruktion des Begriffs zugrunde liegen, damit die begriffliche Konstruktion möglich wird. Damit lässt sich nun Kant gemäß auch die Apriorität eines solchen Urteils erklären: Der Raum muss als zugrundeliegend gedacht werden, weil sich dieser nicht erst mit der Konstruktion eines Begriffs ergibt, sondern weil er dem empirischen Gegenstand der sinnlichen Anschauung „als die bloße Form der Sinnlichkeit vorhergeht"^[18]. Und Gegenstände der Geometrie werden als räumliche Gegenstände gedacht.

Zu (2): Der Zusammenhang zwischen Anschauung und Begriff ergibt sich aus (3). Trotzdem möchte ich zur Verdeutlichung noch einmal genauer auf diesen Zusammenhang eingehen, der hier darin besteht, dass der Begriff als eine allgemeine Vorstellung in der Anschauung konstruiert wird. Es wird also damit kein konkreter bzw. bestimmter Gegenstand (von Umständen der Erfahrung abhängiger Gegenstand, wie etwas das Dreieck auf dem Papier) gedacht, vielmehr handelt es sich um einen Gegenstand des Denkens, der unabhängig von Erfahrung lediglich gedacht wird. Das erfahrungsunabhängige Erweiterungsurteil (das synthetische Urteil a priori) ist dadurch möglich, dass es durch die begriffliche Konstruktion erfolgt; Sätze der Mathematik sind dabei als synthetische Urteile a priori auf die reine Anschauung angewiesen. Anders verhält es sich Kant zufolge bei analytischen Urteilen a priori. Da sie allein durch „Zergliederung der Begriffe"^[19] erfolgen, erfolgen sie unabhängig von Raum und Zeit als Anschauungsformen.

Es bleibt hier nun noch zu klären, was in diesem Zusammenhang gemäß (4) der Begriff des Urteils bedeutet. In § 19 der Kritik der reinen Vernunft führt Kant aus, dass „ein Urteil nichts anderes sei, als die Art, gegebene Erkenntnisse zur objektiven Einheit der Apperzeption zu bringen. Darauf zielt das Verhältniswörtchen ist in denselben, um die objektive Einheit gegebener Vorstellungen von der subjektiven zu unterscheiden."^[20] Um weiter auf die Analyse des Begriffs des Urteils eingehen zu können, muss zunächst noch geklärt werden, was in diesem Zusammenhang „objektive Einheit der Apperzeption" heißt. Dies erläutert Kant in § 18: „Die transzendentale Einheit der Apperzeption ist diejenige, durch welche alles in einer Anschauung gegebene Mannigfaltige in einen Begriff vom Objekt vereinigt wird. Sie heißt darum objektiv und muß von der subjektiven Einheit des Bewußtseins unterschieden werden [...]"^[21] Durch die transzendentale Einheit der Apperzeption (die Kant hier objektive Einheit der Apperzeption nennt) können wir also erst Begriffe von etwas haben, das sonst bloß als Mannigfaltiges, also ohne Bestimmung, in der Anschauung gegeben wäre. Die subjektive Einheit der Apperzeption bezieht sich dabei auf zufällige empirische Bedingungen und nicht auf solche, die unabhängig von einem bestimmten denkenden Subjekt bestehen.^[22]

In § 19 geht Kant darauf ein, was die Objektivität des Urteils ausmacht. Diese sei dadurch gegeben, dass es sich bei einem Urteil um eine Erkenntnis in Bezug auf das Objekt handle, das Gegenstand des Urteils ist. Als Beispiel nennt Kant: „[...] Körper sind schwer [..]"^[23] Ein subjektives Urteil beziehe sich hingegen auf den inneren Sinn und habe dabei hinsichtlich des Beispiels die Form: „Wenn ich einen Körper trage, so fühle ich einen Druck der Schwere[...]."^[24] Das objektive Urteil erfolgt somit unabhängig von Bedingungen, denen das Subjekt unterworfen ist, wie z. B. der körperlichen Konstitution.

Ein Urteil ist damit eine objektiv gültige Verhältnisbestimmung, die zwischen der objektiven Einheit der Apperzeption und einem Objekt besteht, wobei das Verhältnis durch das Kopulaverb ist ausgedrückt wird, wie z. B. in A ist B. Für das Beispiel oben bedeutet dies: Die gerade Linie zwischen zwei Punkten (A) ist die kürzeste Verbindung zwischen diesen zwei Punkten (B).

Die objektive Einheit der Apperzeption bezieht sich zudem auf die äußeren Sinne, womit sich auch der Bezug zur Anschauungsform des Raums, die Sätzen der reinen Geometrie als notwendige Bedingung der Möglichkeit zugrunde liegt, ergibt.

[...]

^[1] Immanuel Kant: Prolegomena zu einer jeden künftigen Metaphysik, die als Wissenschaft wird auftreten können. Hamburg. 2001. S. 20

^[2] Ebd..

^[3] Ebd.

^[4] Immanuel Kant: Kritik der reinen Vernunft. Hg.: Timmermann, Jens. Hamburg. 1998. B 11.

^[5] KrV: A 7.

^[6] Vgl.: Prolegomena. S. 19.

^[7] Vgl.: Prolegomena. S. 38.

^[8] Ebd. S. 37.

^[9] Vgl. S. 38

^[10] KrV: A 713/B 741.

^[11] Die Ausdrücke „Begriff" und „allgemeine Vorstellung" werden hier von Kant meinem Verständnis nach synonym verwendet.

^[12] Ebd.

^[13] Vgl. KrV: A 713/B 741 f.

^[14] Ebd. B 16.

^[15] Prolegomena. S. 40 f.

^[16] Ebd. S. 41.

^[17] Ebd. S. 42.

^[18] Ebd. S. 41.

^[19] Ebd. S. 40.

^[20] KrV: B 141f.

^[21] Ebd. B 139.

^[22] Vgl. B 139f.

^[23] Ebd. B 142.

^[24] Ebd.