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Das Volumen von Rotationskörpern. Herleitung einer Integralformel für die Volumina von rotationssymetrischen Körper

von Ahmet Bekisoglu (Autor)

Facharbeit (Schule) 2017 18 Seiten

Mathematik - Analysis

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1.Vorwort

2. Grundlagen zur Integralrechnung
2.1 Der Begriff des bestimmten Integrals
2.2 Die Bedeutung von Stammfunktionen - unbestimmte Integrale
2.3 Der Begriff des Rotationskörpers

3. Herleitung der allgemeinen Formel für Volumina
3.1 Rotationssymetrischer Körper um die x-Achse
3.2 Rotationssymetrischer Körper um die y-Achse

4. Fallbeispiel Champagnerglas

5. Fallbeispiel Überraschungsei

6. Schlussbetrachtung

Anhang

Literaturverzeichnis

Bildnachweise

1.Vorwort

Von der siebten bis einschließlich zur neunten Jahrgangsstufe war ich in einer sogenannten MINT-Schwerpunkt Klasse. Dies bedeutete konkret, dass die Schulfächer Biologie, Mathematik, Physik, Chemie und Informatik einen erhöhten Stellenwert im Unterrichtsplan hatten. Folglich wurden verschiedenste Themen vertieft unterrichtet und vermehrt naturwissenschaftliche Weiterbildungsmöglichkeiten angeboten.

Diejenigen, die so eine Klasse besucht haben, können zusätzlich zum AbiturAbschlusszeugnis noch das sogenannte „MINT“-Zertifikat ausgestellt bekommen. Mithilfe dieser Facharbeit möchte ich mich u.a. für dieses Dokument qualifizieren.

Während man im Laufe der Sekundarstufe 1 allgemeine Formeln zur Berechnung der Volumina von verschiedenen Körpern kennenlernt und nutzt, wird die Herleitung eben jener Formeln nicht weiter verfolgt.

Dadurch dass mein Thema „Volumina von Rotationskörpern“ thematisch dem ersten Halbjahr der elften Klasse in Mathematik zuzuordnen ist, möchte ich mithilfe zweier Körper und der Integralrechnung Formeln zur Berechnung von Volumina aufstellen und beweisen. Diese zwei Körper werden im späteren Verlauf meiner Facharbeit noch näher erläutert.

Zunächst werde ich eine theoretische Einführung verfassen, die das Ziel hat, eine Formel für das Volumina von rotationssymetrischen Körpern herzuleiten. Dadurch kann ich dann anhand von zwei mir vorliegenden Körpern (Überraschungsei und Champagnerglas) diese Formel anwenden und ihre Volumina bestimmen.

Der betreuenden Lehrkraft, Frau Dietz-Schatt, danke ich für Ihr Einverständnis, diese Facharbeit zu betreuen, die notwendigen Materialien mir zur Verfügung zu stellen und schließlich diese Facharbeit zu korrigieren.

2. Grundlagen zur Integralrechnung

Bevor eine Berechnung anhand von Anwendungsbeispielen möglich ist, muss man zunächst eine Formel für die Volumina herleiten. Für diese Herleitung werde ich folglich wichtige Begrifflichkeiten der Thematik „Integrale“ klären. Wichtig ist jedoch, dass dies nur eine sehr stark gekürzte Fassung ist. Sie dient lediglich zum Nachvollziehen meiner Gedankenschritte.

2.1 Der Begriff des bestimmten Integrals

Der Begriff „Integral“, der sich aus dem Lateinischen von integrare - „ergänzen“ bzw. „wiederherstellen“ - herleitet (vgl. Dudenredaktion o.J.) ist ein Oberbegriff für das sogenannte „bestimmte Integral“ sowie das „unbestimmte Integral“ (siehe Kapitel 2.2).

Integrale werden durch das Zeichen ∫, welches für Summe steht, angegeben. Wenn man von Integralen spricht, zielt man auf die Integralrechnung ab, da Integrale für diese Disziplin genutzt werden.

Aus diesem Grund findet man das Integralzeichen häufig in dieser Form an: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Diese Form beschreibt das „bestimmte Integral“, da ein bestimmtes Intervall - nämlich von a nach b - angegeben ist. Bestimmte Integrale lassen sich berechnen, sie führen also zu einem bestimmten Wert (vgl. Hechinger et al. 2014: 85).

2.2 Die Bedeutung von Stammfunktionen - unbestimmte Integrale

Stammfunktionen werden als die Umkehroperation von Ableitungen bezeichnet und sind sehr wichtig für die Integralrechnung (vgl. Jung 2016: 65). In vielen Anwendungsbeispielen der zehnten und elften Klasse kommt es vor, dass eine Ableitung f'´(x) gegeben ist und man die zugehörige Funktion f(x) finden möchte. Folglich fungiert f(x) hier als Stammfunktion (vgl. Griesel et al. 2015: 183).

Der Prozess der Bildung einer Stammfunktion wird auch „integrieren“

(Gegenstück zu „differenzieren“) genannt (vgl. Jung 2016: 65). Die Stammfunktion wird normalerweise nicht als f(x) bezeichnet, sondern F(x) genannt.

Die Stammfunktion zu der Potenzfunktion [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] allgemein gesehen über die Formel [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] werden Stammfunktionen auch als „unbestimmte Integrale“ bezeichnet (vgl. Schneider o.J.). Grund hierfür ist, dass „unbestimmte Integrale“ keine Integrationsgrenzen haben und allgemein gesehen somit zu einer Funktion - nicht zu einem Wert - führen (ebd.).

2.3 Der Begriff des Rotationskörper

Körper wie zum Beispiel Kreiskegel, Zylinder oder Kugel gelten in der Geometrie als sogenannte „Rotationskörper“. Alle Körper, die dadurch entstehen, dass eine Funktion (Abbildung 1) um eine Achse rotieren, gelten als Rotationskörper (Abbildung 2) (vgl. Mohry & Schwittlinsky 2012: 227). Dabei ist es nicht wichtig, ob die Funktion des Rotationskörpers um die x-oder y-Achse rotiert, da es für beide Fälle spezifische Formeln gibt. Im Anhang (Anhang 1) kann ein zylindrischer Rotationskörper betrachtet werden, bei dem der Zusammenhang zwischen Funktion und Rotation verdeutlicht ist.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1

3. Herleitung der allgemeinen Formel für Volumina

Anhand des Kapitels 2.3 meiner Facharbeit lässt sich erkennen, dass es Rotationskörper gibt, deren Funktionen um die x-Achse und wekche, deren Funktionen um die y-Achse eines Koordinatensystems rotieren. Aus diesem Grund werden in diesem Kapitel die allgemeinen Formeln für beide Möglichkeiten hergeleitet.

3.1 Rotationssymetrischer Körper um die x-Achse

Für die Herleitung der Formel dient ein beliebiger Rotationskörper, dessen Randfunktion zu sehen ist. Dabei wird das Intervall von a bis b betrachtet. Die Differenz aus der oberen und unteren Intervallgrenze wird in Fallbeispielen oft als Höhe des Rotationskörpers bezeichnet. Für so einen hier in der Abbildung 3 dargestelltem Körper gibt es keine direkte Formel zur Volumenberechnung. Schlussfolgernd wird das Volumen durch zylindrische Scheiben angenähert. Solch eine Scheibe ist in der Abbildung gelb gekennzeichnet. Zum weiteren Vorgehen wird die bereits bekannte Formel für Voluminaberechnungen bei Zylindern benötigt. Diese lautet [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Die Höhe h ist in der Abbildung äquivalent zu [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], während der Radius durch den y-Achsenabschnitt des jeweiligen x-Wertes, f(x), dargestellt wird (vgl. Kippels 2017).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3

Für das Volumen einer Scheibe gilt somit die Formel [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] . Nun muss man sich jedoch nicht nur eine Scheibe vorstellen, sondern im Prinzip sehr viele Scheiben, die zusammen das Volumen des Rotationskörpers formen.

Der Term [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] beschreibt das Gesamtvolumen des Körpers. Je kleiner dabei die Höhe ∆x der Zylinder, desto mehr kleinere Zylinderscheiben passen in den Rotationskörper. Die Höhe wird also gegen den Wert 0 laufen, obwohl der Wert 0 rein logisch nicht erreichbar ist (dann gäbe es nämlich keinen Zylinder). Diesen „Grenzwert“ bildet man mit dem „limes“-Ausdruck. Der Term, der dadurch entsteht, lautet [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (vgl. ebd.). Wird jener Volumenterm nun weiter zusammengefasst und umgeschrieben, folgt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Dabei bezeichnet [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] den jeweiligen Flächeninhalt der Querschnittsfläche an einer beliebigen, innerhalb des Intervalls gelegenen Stelle x (vgl. Griesel et al. 2015: 132).

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  • Ahmet Bekisoglu (Autor)

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Titel: Das Volumen von Rotationskörpern. Herleitung einer Integralformel für die Volumina von rotationssymetrischen Körper