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Der Satz des Pythagoras. Herleitung, Geschichte und Hintergründe

Seminararbeit 2018 11 Seiten

Mathematik - Geometrie

Leseprobe

Inhalt

Einleitung

Satz des Pythagoras Geschichte

Satz des Pythagoras Basiswissen

Beispiel an einer Aufgabe

Herleitung vom Satz des Pythagoras

Pythagoreische Tripel

Nähere Erklärung zu pythagoreischen Tripeln

Rechenverfahren zur Unendlichkeit der pythagoreischen Tripel

Quellen- und Literaturverzeichnis

Einleitung

Diese Facharbeit beschäftigt sich mit Themen rund um den wohl berühmtesten Lehrsatz in der Mathematik, dem Satz des Pythagoras. Zum einen thematisiert diese Ar­beit die Herleitung des Satzes und außerdem wird sich der Unendlichkeit der pythagoreischen Tripel angenommen. Hierbei werden geometrische sowie rechnerische Verfahren angewendet um alles möglichst klar darzustellen und dem Leser das Thema verständlich näher zu bringen. Zur Wissensaneignung wurden sowohl digitale Quellen als auch Print-Medien genutzt. Trotz des Zeitpunkts an dem diese Themen aktuell waren, hat mich die Geschichte hinter dem Satz sehr interessiert und auch, wie man ihn herleitet.

An dieser Stelle möchte Ich gerne Johannes Kepler zitieren welcher einst sagte: „Die Geometrie birgt zwei große Schätze: Der eine ist der Satz des Pythagoras, der andere der goldene Schnitt. Den ersten können wir mit einem Scheffel Gold vergleichen, den zweiten als ein kostbares Juwel bezeichnen.“ - Johannes Kepler, 1609 Damit soll verdeutlicht werden, dass der Satz des Pythagoras trotz seines, schon damals, „fortge­schrittenen Alters“, nicht mehr wegzudenken ist. Ein ganz primitives Beispiel wäre dieses: Man kauft eine Leiter und man weiß nicht, wie hoch eine Mauer Maximal sein darf, damit die Leiter nicht zu kurz wäre. Zudem bestimmt man hier den maximalen Abstand zur Mauer. Denn die Leiter sollte nicht zu nah oder zu weit entfernt von der Mauer stehen. Dieses Problem lässt sich ganz leicht mit der Anwendung des Satzes lösen.

Die Facharbeit ist in mehrere Teile zu unterteilen. Zum einen werden dem Leser jeweils das Grundwissen zum Satz des Pythagoras und den pythagoreischen Tripeln näher gebracht, zum ande­ren wird die Geschichte beider Themen thematisiert. Weiter wird untersucht, wie man den Satz des Pythagoras herleitet und, welche Rechnerischen Methoden es gibt, um pythagoreische Tripel herauszufinden. Zudem werden in Hinsicht auf die Unendlichkeit der pythagoreischen Tripel weitere Untersuchungen angestellt.

Satz des Pythagoras Geschichte

Im folgenden Kapitel wird dem Leser der Satz des Pythagoras nähergebracht und es wird die Geschichte des Satzes beschrieben.

Zuerst werden hier die vielen „anonymen“ Bemühungen der Babylonier und Ägypter überliefert, welche den Weg für die Errungenschaften von Gelehrten der klassischen grie­chischen Periode erst möglich machten. Zum Beispiel fand man zwischen einer Vielzahl babylonischer Tontafeln (ca. 1800-1600 vor Christus) auch eine, welche sich bereits mit der Aufstellung pythagoreischer Tripel beschäftigte (Abb. 1).[1]

Pythagoras war wohl der erste mathema­tische „Superstar“ unter den Gelehrten aus Griechenland. Wegen des Mangels an verlässlichen Quellen und der schon früh wuchernden Legendenbildung und Wider­sprüchen zwischen den überlieferten Berichten sind viele Angaben über das Leben des Pythagoras in der wissenschaftlichen Literatur umstritten. Daher werde Ich mich auf den aktuellen Forschungsstand berufen. Pythagoras wurde um 570 vor Christus als Sohn des erfolgreichen Kaufmanns Mnesarchos auf der Insel Samos geboren. Es heißt in seiner Jugend habe Pythagoras sich in Ägypten und Babylonien aufgehalten[2], um sich mit den dortigen religiösen Anschauungen und naturwissenschaftlichen Kenntnissen vertraut zu machen. Zwischen 532 und 529 vor Christus gründete er eine Schule in Kroton. Dort bildete sich eine Gemeinschaft welche streng nach der „pythagoreischen Art des Lebens“ lebte und sich zur Treue untereinander verpflichtete. Sie nannten sich die Pythagoreer. Pythagoras erlangte durch große Redekünste auch einen großen Einfluss auf die Bürger­schaft Krotons, musste jedoch, nachdem sich Spannungen des Volkes gegen die Pythagoreer bildeten, umsiedeln.[3] Der letzte bekannte Ort, an dem er je gelebt haben soll ist Metapontion. Pythagoras soll circa um 510 vor Christus gestorben sein. Es ist also festzustellen, dass sich bereits 1800 vor Christus Anfänge vom Satz des Pythagoras zeig­ten, dass Pythagoras jedoch durch das Wiederentdecken des Satzes und durch die Entdeckung der pythagoreischen Tripel durch seine Anhänger in der Geschichte des menschlichen Wissens sehr einflussreich bleibt.[4]

Satz des Pythagoras Basiswissen

Um die Herleitung des Satzes verstehen zu können, muss man sich natürlich erstmal ein gewisses Grundwissen darüber aneignen. Jeder hat wahrscheinlich schonmal vom Satz des Pythagoras gehört. Aber das bedeutet ja nicht, dass man auch genau weiß was man sich hierunter vorzustellen hat.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(Abb. 2 Satz des Pythagoras)[5]

In seiner ursprünglichen Form besagt der Satz des Pythagoras folgendes: „In einem gegebenen Dreieck mit den Punkten ABC als Eckpunkte ist der Winkel bei A nur dann ein rechter Winkel, wenn die Fläche des Quadrats über der Seite a der Flachensumme der Quadrate über den Seiten b und c entspricht“[6] (siehe Abb. 2). Kurz:

Der Satz lautet also: „Die Summe der Kathetenquadrate eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse.“[7]

In erster Linie war der Satz des Pythagoras dazu da, um zu überprüfen, ob etwas senkrecht steht. Mit Hilfe des Satzes lassen sich jedoch auch viele andere Dinge berechnen. Zum Beispiel die Bildschirmdiagonale eines Fernsehers, Entfernungen in Luftlinie und vieles mehr. In diesen Anwendungen ist immer rechtwinkliges Dreieck im Spiel.[8]

[...]


[1] Claudi Alsina: Pythagoras – Die heilige Geometrie von Dreiecken (Seiten 14 - 15)

[2] https://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoras (gesichtet:25. Februar 2018)

[3] Claudi Alsina: Pythagoras – Die heilige Geometrie von Dreiecken (Seite 13)

[4] https://de.bettermarks.com/mathe/pythagoras-von-samos/ (gesichtet:25. Februar 2018)

[5] Martin Purgina - Fermats letzter Satz. Pythagoräische Tripel und Lösungen von Fermat und Euler (Seite 3)

[6] Claudi Alsina: Pythagoras – Die heilige Geometrie von Dreiecken (Seite 42)

[7] Martin Purgina - Fermats letzter Satz. Pythagoräische Tripel und Lösungen von Fermat und Euler (Seite 3)

[8] https://de.bettermarks.com/mathe/anwendungen-zum-satz-des-pythagoras/ (gesichtet: 25. Februar 2018)

Details

Seiten
11
Jahr
2018
ISBN (eBook)
9783668655805
ISBN (Buch)
9783668655812
Dateigröße
634 KB
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v414737
Note
Schlagworte
Mathematik Pythagoras Herleitung Satz Tripel Unendlichkeit Geometrie Wissen

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Titel: Der Satz des Pythagoras. Herleitung, Geschichte und Hintergründe