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Fourierzerlegung und Berechnung eines gegebenen Rechtecksignals und einer Dreiecksfunktion

Hausarbeit 2015 16 Seiten

Mathematik - Sonstiges

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

1 Einleitung
1.1 Einführung in das Thema
1.2 Problemstellung und Ziel dieser Arbeit
1.3 Aufbau der Arbeit

2 Grundlagen
2.1 Fourierzerlegung
2.2 MATLAB
2.3 Fehler in numerischen Rechnungen

3 Hauptteil
3.1 Fourierzerlegung eines Rechtecksignals
3.1.1 Aufgabenstellung
3.1.2 Bearbeitung der Aufgabenstellung
3.2 Fourierzerlegung einer Dreiecksfunktion
3.2.1 Aufgabenstellung
3.2.2 Bearbeitung der Aufgabenstellung

4 Schlussbetrachtung

Literatur- und Quellenverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1 Rechteckkurve mit ihren ersten drei Näherungskurven

Abbildung 2 Ansicht MATLAB Kommandofenster Rechtecksignal

Abbildung 3 Fourierzerlegung Rechtecksignal mit Wellenzüge n = 1

Abbildung 4 Fourierzerlegung Rechtecksignal mit Wellenzüge n = 5

Abbildung 5 Fourierzerlegung Rechtecksignal mit Wellenzüge n = 100

Abbildung 6 Ansicht MATLAB Kommandofenster Dreiecksignal

Abbildung 7 Fourierzerlegung Dreiecksignal mit Wellenzüge n = 1

Abbildung 8 Fourierzerlegung Dreiecksignal mit Wellenzüge n = 5

Abbildung 9 Fourierzerlegung Dreiecksignal mit Wellenzüge n = 100

1 Einleitung

1.1 Einführung in das Thema

In dieser Ausarbeitung wird das Thema „Fourierzerlegung“ mit Hilfe von MATLAB1 behandelt. Durch die Vielzahl an hochkomplexen technischen Systemen in der heutigen Zeit, ist eine computergestützte numerische Bearbeitung von Problemstellungen nicht mehr wegzudenken. Hierbei wird zwischen numerischen Programmen und Computeralgebra-Systemen unter- schieden. Bei Computeralgebra-Systemen geht es hauptsächlich um die Fähigkeit mit symbolischen Ausdrücken wie z.B. Variablen, Funktionen und Matrizen umzugehen.2 Numerische Programme dienen im Gegensatz dazu vorwiegend der Auswertung numerischer Daten. Zu diesen Programmen zählt auch die in dieser Ausarbeitung verwendetet Software MATLAB, welche ein wichtiges Werkzeug in der Industrie, Forschung und Entwicklung darstellt. Dies ist auch daran zu erkennen, dass sein Einsatz im Studium unumstritten ist. Die Fourierzerlegung spielt in den naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen, wie vor allem der Elektrotechnik, eine große Rolle, welche in den Grundlagen ausführlich dargestellt wird.

1.2 Problemstellung und Ziel dieser Arbeit

Die Problemstellungen und somit auch die Hauptziele dieser Arbeit sind die Fourierzerlegung und Berechnung eines gegebenen Rechtecksignals und einer Dreiecksfunktion. Um diese Ziele zu erreichen muss im Programm- system MATLAB ein Code entwickelt werden, welcher durch Eingabe von Impulshöhe, maximale Oberwelle, maximaler x-Wert und x-inkrement die Berechnung durchführt und das Ergebnis grafisch darstellt.

Die Herausforderung dieser Arbeit liegt in der komplexität der Aufgaben- stellung und dem Programmsystem MATLAB. Desweiteren kommt es bei Berechnungen von Funktionswerten oder beim Lösen von Gleichungen mithilfe eines Computers zu Fehlern, welche das Ergebnis verfälschen.Hierzu wird in den Grundlagen noch detaillierter Stellung genommen.

1.3 Aufbau der Arbeit

Zu Beginn dieser Ausarbeitung werden die relevanten Grundlagen für diese Aufgabenstellung erörtert.

Die Grundlagen behandeln zum einen die Fourierzerlegung und zum an- deren das Programmsystem MATLAB. Der wichtige Aspekt von auftretenden Fehlern bei numerischen Berechnungen wird ebenfalls in den Grundlagen behandelt, da eine Fehlerbestimmung und eine genaue Fehleranalyse wichtige Bestandteile einer Beurteilung von numerischen Algorithmen sind.1 Der Konzeptteil besteht aus der Bearbeitung der folgenden Aufgabenstell-ungen:

- Fourierzerlegung eines Rechtecksignals
- Darstellung der Aufgabe
- Erstellung des Programms
- Berechnung
- Grafikausgabe
- Fourierzerlegung einer Dreieckfunktion
- Darstellung der Aufgabe
- Erstellung des Programms
- Berechnung
- Grafikausgabe

Jede Aufgabenstellung beinhaltet die Beschreibung und die Bearbeitung der jeweiligen Problemstellung. Desweiteren werden Screenshots des Pro- grammcodes und der grafischen Ausgabe eingefügt. Die jeweiligen M-Files liegen auf der beigefügten CD mit bei.

Die erreichten Ergebnisse werden in der Schlussbetrachtung noch einmal zusammengefasst und hinsichtlich der Ziele bewertet.

2 Grundlagen

2.1 Fourierzerlegung

Die harmonische Analyse bzw. die Fourier-Analyse ist benannt nach dem französischen Mathematiker Jean Baptiste Fourier (1768 – 1830). Er hat gezeigt, dass sich eine periodische Funktion f(x) durch eine Summe von tri-gonometrischen Funktionen darstellen lässt, wenn:1

- die Funktion endlich ist.
- das Intervall 0 ˂ x ˂ 2 in endlich viele Teilintervalle teilbar ist, in denen f(x) stetig und monoton ist.

Die Frequenzen dieser Funktionen sind vielfache der Grundfrequenz.2 Eine periodische Funktion f(x) lässt sich unter den oben beschriebenen Voraussetzungen in eine unendliche trigonometrische Reihe (reelle Form) entwickeln:3

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Berechnung der Fourierkoeffizienten erfolgt aus den Integralformeln:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Periodische Vorgänge spielen in der Naturwissenschaft und Technik eine bedeutende Rolle, welche die praktische Bedeutung der Fourier-Analyse verdeutlicht. Ihr Einsatzgebiet ist vor allem in der Signalverarbeitung und Physik zu finden.

Harmonische Schwingungen, wie z.B. Rechteck- oder Dreiecksfunktionen, bestehen aus unendlich vielen reinen Sinus- und Kosinusfunktionen, welche durch die Fourierzerlegung ermittelt werden können. Im Gegensatz dazu wird die Fourierentwicklung dazu verwendet bestimmte Funktionen aus reinen Sinus- und Kosinusfunktionen zu generieren.

In Abbildung 1 ist eine Rechteckkurve mit ihren ersten drei Näherungs- kurven dargestellt, aus welcher ersichtlich ist, dass ein periodisches Rechtecksignal durch die Überlagerung von Sinusfunktionen approximiert werden kann.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1 Rechteckkurve mit ihren ersten drei Näherungskurven

2.2 MATLAB

Bei der Software MATLAB handelt es sich um ein äußerst leistungsfähiges Programmpaket für numerische Berechnungen (insbesondere technische) im Ingenieurbereich.1 Der Name MATLAB leitet sich von „MATrix LABoratory“ ab und weist auf die spezielle Bedeutung von Matrizen bei der Arbeit mit MATLAB hin. Es wurde in den 1970er Jahren an der Universität New Mexico entwickelt, um Studenten bei den Kursen Lineare Algebra und Numerische Analyse als Werkzeug zu dienen. In den 1980er Jahren wurde MATLAB durch die Gründung von The MathWorks zu einem kommerziellen Produkt und ist heute in weiten Bereichen der angewandten Mathematik nicht mehr wegzudenken. Das Programmpaket umfasst verschiedene Toolboxen, wie z.B. Simulink2, mit denen das Einsatzgebiet der Anwendung weit gefächert ist.

Typische Anwendungen sind z.B.: 3

- Mathematische Berechnungen
- Datenerfassung und –bearbeitung
- Datenanalyse, -auswertung und -visualisierung
- Modellbildung und Simulationen
- Wissenschaftliche und technische grafische Darstellungen

2.3 Fehler in numerischen Rechnungen

Wie schon in der Einleitung beschrieben kommt es bei computergestützten Berechnungen zu Fehlern, welche die daraus resultierenden Ergebnisse beeinflussen. Deshalb ist es äußerst wichtig diese zu kennen und die Auswirkungen zu verstehen. Die Wichtigkeit des Wissens um diese Fehler zeigen die wohl bekanntesten Probleme in der nahzeitlichen Geschichte:

- Explosion der Ariane 5 Rakete im Jahre 1996 (64 bit Floating Point -> 16 bit Integer-> Zahl größer 32.767)
- Patriot Missile Failure im Golfkrieg 1991. (Zeitberechnung 24 bit -> 34 s daneben -> 28 Tote)

Beim numerischen Rechnen können sich folgende Fehler ergeben1:

- Rundungsfehler

Aus Gründen der Zeit- und Speicherersparnis können nicht beliebig viele Nachkommastellen dargestellt und mitgeführt werden. Durch das nötige Runden der letzten Stelle die dargestellt werden soll, entsteht eine nicht zu verhindernde Ungenauigkeit. Diese wirkt sich durch Fortführung der Be- rechnungen weiter aus, wobei von der Fehlerfortpflanzung gesprochen wird.

- Programmierfehler

Bei Programmierfehler handelt es sich um Fehler, welche durch eine fehler- hafte Programmierung, häufig auch als Bug bezeichnet, entstehen. Am häufigsten handelt es sich um Ungenauigkeit, Unvollständigkeit oder Mehrdeutigkeit in der Spezifikation der Software.

- Modellierungsfehler

Bei komplexen Berechnungen oder Abläufen werden diesen oft vereinfachte Modelle zugrundegelegt, wodurch es zu Modellierungsfehlern kommt.

- Datenfehler

Die zu verarbeitenden Daten in einem Programm können von vorneherein fehlerbehaftet sein.

- Diskretisierungs- oder Abbruchfehler

Jede Berechnung muss irgendwann manuell oder durch mathematische Approximationsverfahren abgebrochen werden. Hierdurch entstehen Dis- kretisierungs- oder Abruchfehler.

[...]


1 MATLAB® ist ein eingetragenes Warenzeichen von The MathWorks, Inc.

2 Vgl. Thuselt (2010), IMA501, S. 4

1 Vgl. Schmatzer (2010), IMA403, S.8

1 Vgl. Albach (2011), S. 131

2 Vgl. Lehmann/Matt (2010), ELT401, S. 15

3 Vgl. Papula (2012), S. 169

1 Vgl. Pietruszka (2012), S. 5

2 Simulink® ist ein eingetragenes Warenzeichen von The MathWorks, Inc.

3 Vgl. Bosl (2012), S. 13

1 Vgl. Thuselt (2010), IMA502, S. 9

Details

Seiten
16
Jahr
2015
ISBN (eBook)
9783668879454
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v453101
Institution / Hochschule
AKAD University, ehem. AKAD Fachhochschule Stuttgart
Note
2,0
Schlagworte
Fourier Fourierzerlegung Mathematik IMA05 Matlab

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