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Komplexe Zahlen. Eigenschaften und Beispiele für ihre Verwendung

Seminararbeit 2017 18 Seiten

Mathematik - Allgemeines, Grundlagen

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1. Entwicklung der Zahlensysteme
1.1 Zahlen in der Geschichte
1.2 Ein unlösbares Problem
1.3 Die neue Zahl

2 Die Komplexe Zahl
2.1 Definition
2.2 Eigenschaften und Besonderheiten
2.3 Rechenregeln

3 Visualisierung und Darstellung
3.1 Gaußsche Zahlenebene
3.2 Polarform
3.3 Eulersche Formel
3.4 Fazit

4 Verwendung
4.1 Komplexe Funktionen
4.2 Komplexe Schwingungen
4.3 Wechselstrom
4.4 Komplexe Impedanz
4.5 Quantenmechanik

5 Fazit

6 Quellenverzeichnis

7 Abbildungsverzeichnis

1. Entwicklung der Zahlensysteme

1.1 Zahlen in der Geschichte

Schon seit Anbeginn der Geschichte entwickelten Menschen einen allgemeinen Verstand für die Mathematik. Was am Anfang nur eine Hand voll Steine war, die die Anzahl der Schafe, die ein Hirte in Besitz hatte, repräsentieren sollte wurde heute zu komplexen Kalkulationen, die sogar über die uns bekannte Realität hinausgehen.

Was im alten Rom nur das uns bekannte römische natürliche Zahlensystem war, was für den römischen Alltag vollkommen ausreichend war wäre ein enormes Hindernis für heutige Mathematiker. Heutzutage wird man mit der Null, negativen Zahlen, Brüchen und Kommaschreibweisen verwöhnt, doch viele Zivilisationen aus der Antike hätten Probleme sich diese überhaupt vorzustellen. Wie soll man schließlich mehr von etwas wegnehmen, als es gibt? Wie und wieso sollte man eine Zahl für nichts haben?

Im Laufe der Geschichte entwickelten unterschiedliche Hochkulturen eigene Lösungen für simple mathematische Probleme. Die alten Ägypter rechneten beispielsweise schon mit simplen Brüchen, während man im alten bereits China negative Zahlen hatte.

Die alten Inder übernahmen Chinesische Zahlen und kreierten ihre eigene Variation mit Kommaschreibweise, die ganz praktisch war und über sämtliche Elemente wie Brüche, negative Zahlen und die Null verfügte. Durch arabische Mathematiker wurde dieses Zahlensystem auch hier in Europa bekannt, wo es einige Jahrhunderte später übernommen wurde und die römische Schreibweise ablöste, weswegen wir bis heute noch die „arabischen“ Zahlen verwenden, die eigentlich aus Indien stammen.1,3

Mit den Indischen Zahlen, mit welchen man irrationale Zahlen darstellen konnte, experimentierten europäische Mathematiker in der Renaissance rum, entwickelten komplizierte Beweistechniken und erweiterten die Möglichkeiten der Mathematik, wie es Jahrhunderte vorher undenkbar gewesen wäre. Doch auch diese stießen irgendwann an ihre Grenzen.

1.2 Ein unlösbares Problem

Der italienische Mathematiker Gerolamo Cardano bemerkte 1545 einen Fehler in der Mathematik, als er mit seinen Cardanischen Formeln rechnete.

Cardan musste die Wurzel einer negativen Zahl ziehen, um die Nullstelle einer ganzrationalen Funktion mit Polynom dritten Grades herauszufinden.

Üblicherweise hätte man sobald man die Wurzel einer negativen Zahl zieht kein Ergebnis, aber da es sich um einen Graphen handelte, der vom negativen Unendlichen ins positive Unendliche geht, musste er irgendwo die x-Achse schneiden.

Der verzweifelte Cardan tüftelte an seiner Rechnung rum, um die negative Wurzel zu vermeiden, bemerkte jedoch bald, dass das nicht umgehbar ist. Er erklärte das für ein unlösbares Problem.

Sein Schüler Rafael Bombelli hingegen umging das Problem, indem er √-1 aus allen negativen Wurzeln ausklammerte, diese wie eine eigenständige Zahl behandelte und einfach damit weiterrechnete. So stellte sich dann im Laufe seiner Rechnung heraus, dass sich zwei negative Wurzeln auskürzen, sodass man am Ende ein Ergebnis ohne mathematischen Fauxpas bekommt.

Unwissend, dass er damit die Mathematik revolutionierte, bezeichnete Bombelli seinen Ansatz als Sophistik und griff nie wieder auf die neue Zahl zurück3

1.3 Die neue Zahl

Bombelli und seine zeitgenössischen Mathematiker vertrauten der neuen Zahl nicht und schätzten diese nicht wert. Das ging so weit, dass der französische Philosoph, Naturwissenschaftler und Mathematiker René Descartes die neue Zahl als seulement imaginaires (dt. = nur imaginär) bezeichnete7, weswegen wir sie bis heute als imaginäre Zahl bezeichnen. Schließlich korrespondiert diese Zahl mit nichts, was sich in der realen Welt befindet.

Leonhard Euler begann als erster die √-1 als i zu schreiben, wobei das i für imaginär steht. Die Bezeichnung imaginär gefiel Euler allerdings nicht.

Euler bevorzugte diese als laterale (dt. = seitliche Zahl3 ) zu bezeichnen.

Somit weitet sich unser heutiger Zahlenbereich über sowohl reelle als auch imaginäre zahlen aus. Im Überbegriff nennt man die Kombination selbstbeschreibend Komplexe Zahl und den Zahlenbereich entsprechend Komplexe Zahlen.[[3]]

2 Die Komplexe Zahl

2.1 Definition

Komplexe Zahlen sind folgendermaßen definiert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

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Die Addition und Multiplikation im R² ist folgendermaßen definiert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Im Prinzip ist das simple Algebra. Bei der Addition werden jeweils die einzelnen Komponenten addiert und bei der Multiplikation verwendet man die Binomische Formel.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Reihe R², zusammen mit der Addition und Multiplikation, nennt man letztendlich die Reihe der komplexen Zahlen C.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Im Grunde ist das die hochmathematische Art und Weise zu sagen:

Komplexe Zahlen sind jene Zahlen, die man mit sich selbst multiplizieren kann, um am Ende jede mögliche reelle Zahl zu bekommen.

Der Unterschied zu reellen Zahlen hierbei ist, dass man bei der Multiplikation mit sich selbst keine negative Zahl bekommen kann. Für diesen Part ist nämlich die imaginäre Zahl i verantwortlich.

Die Allgemeine Schreibweise ist wie folgt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei a der reelle Bestandteil und b der imaginäre Bestandteil ist.

Das i ist die entscheidende Komponente der komplexen Zahlen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch diese Definition haben komplexe Zahlen gewisse besondere Eigenschaften und Regeln.

2.2 Eigenschaften und Besonderheiten

Exponenten der Zahl i

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

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so sieht man, dass sich die Ergebnisse mit zunehmenden Exponenten der Zahl i zwischen i, -1, -i und 1 rotieren.

„Positiv und Negativ“

Da komplexe Zahlen aus zwei Bestandteilen bestehen, wobei der zweite die einzigartige Eigenschaft hat, vom gewöhnlichen Positiven zum Negativen zu rotieren, gibt es die Bezeichnung „Positiv und Negativ“ nicht für sie.2

„Größer und Kleiner“

Die mathematische Definition für „größer und kleiner“ geht wie folgt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da es aber die Begriffe Positiv und Negativ in der komplexen Zahlenebene nicht gibt ist es nicht möglich zu bestimmen, ob eine komplexe Zahl größer ist als eine andere.[2]

[...]

Details

Seiten
18
Jahr
2017
ISBN (eBook)
9783668882003
ISBN (Buch)
9783668882010
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v455442
Note
2,0
Schlagworte
komplexe zahlen eigenschaften beispiele verwendung

Autor

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Titel: Komplexe Zahlen. Eigenschaften und Beispiele für ihre Verwendung