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Einzelförderung einer Schülerin im 3. Schuljahr im Rahmen spezieller Fördermöglichkeiten im Mathematikunterricht einer Grundschule

Examensarbeit 2001 188 Seiten

Mathematik - Didaktik

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

H A U S A R B E I T

Einleitung

1. Mathematisches Denken
1.1 Ausgangslage
1.2 Neuropsychologische Voraussetzungen für mathematisches Denken
1.2.1 Die Bedeutung des räumlichen Vorstellungsvermögens für die Entwicklung mathematischen Denkens
1.2.2 Die Bedeutung der visuellen Wahrnehmung für die Entwicklung mathematischen Denkens
1.3 Allgemeine Fähigkeiten im Zusammenhang mit mathematischem Denken 17 Gedächtnis
Sprache und Sprachverständnis

2. Mathematisches Denken und mögliche Störungen
2.1 Ausgangslage
2.2 Neuropsychologische Störungen
2.2.1 Teilleistungsschwächen im Bereich mathematischen Denkens
2.2.2 Störungen auf der Ebene des Raumes
2.2.3 Störungen auf der Ebene des visuellen Vorstellungsvermögens
2.3 Defizite allgemeiner Fähigkeiten mathematischen Denkens
Störungen auf der Ebene der Gedächtnisleistung
Störungen auf der Ebene der Sprache und des Sprachverständnisses

3. Rechenschwäche
3.1 Ausgangslage
3.2 Erklärungsansätze für eine Rechenschwäche
3.2.1 Ursachen für eine Rechenschwäche im organischen und psychischen oder sozialen Bereich des Schülers
3.2.2 Ursachen für eine Rechenschwäche im didaktischen Bereich
3.3 Präventionen zur Vermeidung einer Rechenschwäche durch das Umfeld des Kindes
3.3.1 Präventionen einer psychogen bedingten Rechenschwäche durch die Eltern
3.3.2 Präventionen einer psychogen bedingten Rechenschwäche durch die Schule

4. Förderung
4.1 Allgemeines
4.2 Die Rechentherapie
4.3 Der Förderunterricht
4.4 Inhaltsübergreifende Fördermöglichkeiten
4.4 Mathematikbezogene Fördermöglichkeiten
4.4.1 Fördermaterialien und didaktisch-methodische Begründungen
4.4.2 Üben, üben, üben
4.5 Anhang zu Kapitel 4.4.1
Foto 1: Einerwürfelchen, Zehnerstangen und Hunderterplatten
Foto 2: Die dreistellige Stellenwerttafel: Hunderter - Zehner - Einer
Anhang 1
Anhang 2
Anhang 3
Anhang 4

5. Diagnostische Verfahren zur Lernstandsbestimmung
5.1 Fixpunkte zur Ermittlung der Lernausgangslage
5.2 Früherkennung
5.3 Förderdiagnostik
5.3.1 Arithmetikprofil
5.3.2 Fehleranalyse
5.3.3 Christina
5.4 Förderkonzept
5.5 Anhang zu Kapitel 5.3.1

6. Einzelförderung einer Schülerin im 3. Schuljahr
6.1 Wie es zu der Einzelförderung kam
6.2 Mengenerfahrungen am Hunderterfeld und Zahlzerlegung
6.2.1 Analyse
6.2.2 Ergebnis
6.2.3 Anhang zu Kapitel 6.2
Anhang 2
Anhang 3
6.3 Halbieren
6.3.1 Analyse
6.3.2 Durchgeführte Förderung
6.3.3 Ergebnis
6.3.4 Anhang zu Kapitel 6.3
Anhang 2
6.4 Stellenwerte
6.4.1 Analyse
6.4.2 Ergebnis
6.4.3 Anhang zu Kapitel 6.4
Anhang 2
6.5 Subtraktion
6.5.1 Analyse
6.5.2 Durchgeführte Förderung
6.5.3 Ergebnis
6.5.4 Anhang zu Kapitel 6.5
Anhang 2
Anhang 3
Anhang 4
Anhang 5
Anhang 8
Anhang 10
Anhang 11
6.6 Geometrie
6.6.1 Die Arbeit mit dem Tangram - Heft
6.6.2 Anhang zu Kapitel 6.6
Anhang 1
Anhang 2
Anhang 3
Anhang 4
Anhang 5
Anhang 6
Anhang 7
Anhang 8
Anhang 9
Anhang 10

Schlussbetrachtung

Einleitung

Ich nahm vom Wintersemester 2000/ 2001 bis einschließlich des Sommersemesters 2001 an einem Projekt „Rechenschwäche“ einer Grundschule in Salzgitter teil. Da das Projekt diesen Namen trug, werde ich auch in meiner Ausarbeitung auf die Rechenschwäche zu sprechen kommen, auch wenn in meiner Themenstellung darauf nicht weiter Bezug genommen wurde.1

Die grundsätzliche Bedeutung des Rechnens ist gerade in unserer hochtechnisierten Gesellschaft offensichtlich. Es ist keine berufliche Tätigkeit mehr denkbar, die ohne Grundrechenarten auskommt. Aber auch im nichtberuflichen Bereich wird das „Individuum“ ständig mit Aufgaben konfrontiert, die Rechenkenntnisse unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades erfordern (z. B. Überprüfung von Rechnungen, Berechnungen von Reiserouten, „Reicht das Einkaufsgeld?“ oder „Wie viel Rabatt bekomme ich auf den Preis für die Hose?“). Welche Folgen kann es also haben, wenn ein Kind die elementaren Rechenaufgaben nicht beherrscht?2

„Lernschwierigkeiten im Mathematikunterricht der Grundschule sind seit vielen Jahrzehnten bekannt, ebenso wie die Probleme, welche die betroffenen Schüler in ihren Schulbiographien haben. Die Grundschulmathematik ist ein wichtiger Leistungsbereich, der wesentlich die weitere schulische Karriere eines Schülers bestimmt. Schwächen und Schwierigkeiten im ersten und zweiten Schuljahr geben sich nicht von selbst, im Gegenteil: Ohne eine gezielte Förderung wird die Schere zwischen den schulischen Anforderungen und dem individuellen Können immer weiter auseinander gehen.“3

Ich selbst hatte in Mathematik in der Grundschule Probleme. Meine damalige Mathematiklehrerin hat wenig handlungsorientiert gearbeitet. Noch heute lerne ich aber besser über handelnde Erfahrungen. Ich habe lange Zeit mit Fingern gerechnet. Eine ausreichende Größenvorstellung von Zahlen hatte ich damals nicht. Mir wurde gesagt, ich solle die Zahlen von hinten nach vorne schreiben, bzw. bei Multiplikationsaufgaben die geforderte Anzahl Nullen hinter das Ergebnis hängen. Meine Mutter erzählte mir, wie sie versuchte, die Aufgabe 2 + 2 auf den Zahlenraum bis 100 auszuweiten, indem sie mir die naheliegendste Analogieaufgabe stellte: 20 + 20. Die Aufgabe 2 + 2 konnte ich beantworten, mit 20 + 20 war ich aber überfordert.

Im Mathematikunterricht brauchte ich von meiner Lehrerin häufig eine zusätzliche Erklärung, weil ich ihre Aufgabenstellungen nicht auf Anhieb verstand:

Deshalb kann ich Kinder, die ähnliche Probleme in Mathematik haben, gut verstehen und bin in der Lage, ihnen zu helfen, und zwar aus der Perspektive, die ich heute habe, mit Rückgriff auf meine Probleme damals.

Das war der Grund mich an dem angebotenen Projekt „Rechenschwäche“ in Salzgitter zu beteiligen. Darauf werde ich in einem späteren Teil gesondert eingehen.

Die Eingabe der Begriffe „Rechenschwäche“ bzw. „Dyskalkulie“ in diverse Suchmaschinen („AltaVista“, „Crawler“ und „Fireball“) des Internets hat zahlreiche Treffer ergeben. Es wird verwiesen auf private Hilfe, auf Erfahrungsberichte und Institutionen, die therapeutische Hilfe anbieten. Ob wirklich alle Treffer dazu beitragen könnten, Kindern mit Teilleistungsstörungen im Mathematikunterricht differenziert zu helfen, kann ich nicht beurteilen und würde bei tiefer gehender Beschäftigung damit den Rahmen dieser Examensarbeit sprengen. Interessant ist daran hier nur die Fülle der angebotenen Informationen.

Für den Bereich Niedersachsen gibt es nur ein universitäres Forschungszentrum mit dem Schwerpunkt Rechenschwäche: die Universität Bielefeld. Gemessen an ihrer Häufigkeit ist das für den gesamten Bereich Niedersachsen meiner Meinung nach zu wenig. Andererseits gibt es viele kommerzielle Institute, die versprechen, den Kindern mit einer Rechenschwäche zu helfen und mehr oder weniger effektiv arbeiten. Hartmut Spiegel fasst zusammen, dass die Einzelförderung lernbehinderter Kinder auch durch Studenten des Lehramts, also ohne die immens teuren Maßnahmen privater Institute gehe. Das sei gerade dort möglich, wo eine Hochschule in der Nähe ist, an der Grundschullehrer ausgebildet werden, und sich Lehrpersonen bereit fänden, Studierende bei einer solchen Arbeit zu unterstützen. Dadurch könnten mehr Kinder gefördert werden und auch die Studierenden unverzichtbare Praxiserfahrungen sammeln.4 Radatz merkt kritisch an, dass eine Aus- und Fortbildung der Grundschullehrer zum Problemfeld der Rechenschwäche bisher kaum festgestellt werden könnte.5

Wenn sich allerdings doch nur ein privater Anbieter finden lässt, wird häufig das Sozialamt von den Eltern um finanzielle Unterstützung gebeten. Dazu wird zunächst von dem Therapiezentrum nachgeprüft, ob eine Förderung oder Therapie nötig ist, anschließend wird das Kind noch vom Arzt des Gesundheitsamtes und von einem Psychologen untersucht.

Nach einer bestimmten Therapiezeit hält das Sozialamt Rücksprache mit dem Mathematiklehrer des Kindes, ob ein angemessener Lernfortschritt festzustellen ist. Dieser muss dann über die Effektivität weiterer Förderstunden entscheiden. Das geht allerdings nicht ohne Rücksprache mit dem Therapeuten.

Obwohl fast 15% der untersuchten Grundschüler eine mindestens förderbedürftige Lernschwierigkeit im Mathematikunterricht aufweisen, wird dem Problem von vielen Eltern, Lehrern und Lehrausbildern weit weniger Aufmerksamkeit geschenkt als etwa der Lese-Rechtschreib-Schwäche, die auch mit zu den zentralen Lernschwierigkeiten gezählt wird.6

Fakt ist, dass es in der Didaktik des Mathematikunterrichts zu wenig Forschungsansätze zum Themenbereich Rechenschwäche gibt. Darin ist u.a. die Zurückhaltung öffentlicher Institutionen begründet. Weitere Gründe könnten sein:

- „Die Interessen der meisten Mathematikdidaktiken richten sich auf andere Themen,
- Viele Lehrerinnen, Lehrer und auch Eltern nehmen an, dass sich eine Rechenschwäche im Laufe der Zeit noch irgendwie „gibt“.
- Erfolg bzw. Misserfolg im Mathematikunterricht werden noch sehr oft auf stabile und damit wenig beeinflussbare Faktoren wie „Begabung“ attributiert. § Die Schuladministration fürchtet ähnliche Kosten und einen großen Organisations- aufwand, wie sie es zur Lese-Rechtschreib-Schwäche erfahren hat.
- Ein Versagen im arithmetischen Bereich wird im Gegensatz zum Lesen/ Schreiben von vielen oft als „Kavaliersdelikt“ abgetan, ...“7

Von daher kommt der Förderung von Kindern mit ihren speziellen Schwierigkeiten in Mathematik und der Entwicklung einer darauf ausgerichteten Didaktik eine besondere Rolle zu. Auf die Entwicklung einer speziellen Didaktik werde ich in dieser Hausarbeit allerdings nicht vertiefend eingehen können, da diese deren Rahmen sprengen würde. Ich werde mich vielmehr damit beschäftigen, wie es bei einem Kind dazu kommen kann, dass eine Sonderförderung in Mathematik notwendig wird, und wie man einer Rechenschwäche begegnen kann. In Ansätzen werde ich auch nach Möglichkeiten suchen, wie Mathematikunterricht ablaufen kann, der allen Kindern einigermaßen gerecht wird.

In der gesamten Hausarbeit wird der maskulinen Form von Personenbezeichnungen (z.B. „Lehrer“) vor der femininen Form (z. B. „Lehrerin“) und der gemischten Form (z.B. „LehrerIn“) der Vorzug gegeben. Ausnahmen bestehen da, wo ausdrücklich konkrete Personen bezeichnet werden.

1. Mathematisches Denken

1.1 Ausgangslage

Rechnen lernen bedeutet für das Kind einen ganzheitlichen Prozess, an dem „...die kognitive, emotionale, psychomotorische und auch die soziale Dimension beteiligt ist.“8 Was wird im Einzelnen beim Rechnen benötigt? Weinschenk nennt die Sprache (sie ist eine Voraussetzung für den Erwerb des Rechnens, weil der Erwerb des Zahlbegriffs ohne Sprache nicht möglich ist), das Lesen und Schreiben, die Fähigkeit des Kombinierens und des Zergliederns, die Konzentrationsfähigkeit, das mittelbare und unmittelbare Gedächtnis und die Vorstellung der Zahlbegriffe.9

Allgemein kann man sagen, dass die Wahrnehmung und die Verarbeitung der verschiedenen Sinneseindrücke Voraussetzungen für das Lernen sind. Diese Fähigkeiten haben sich schon vor Eintritt der Schule mehr oder weniger gut entwickelt.10 Als besonders herauszuheben sind die Sinnesleistungen im visuellen, akustischen und taktilen Bereich.

Ich werde auf den visuellen und taktilen Bereich im Folgenden näher eingehen. Der akustische Bereich soll dabei nur am Rande erwähnt werden.

1.2 Neuropsychologische Voraussetzungen für mathematisches Denken

„Das, was wir im Rahmen der Schule als rechnerische Leistung definieren,..., erfordert beim Kind sehr komplexe Denkvorgänge und damit unterschiedliche neuropsychologische Funktionen.“ Mathematisches Denken steht am Ende der vielfältigen Reifungsprozesse. Werden diese in ihrer Entwicklung nicht beeinträchtigt, so „ist die Grundlage gelegt, das Rechnen zu erlernen.“ Die anderen Kulturtechniken Lesen und Schreiben benötigen zwar gleiche Voraussetzungen zu ihrer Entwicklung „und dennoch werden jeweils auch wieder unterschiedliche neuropsychologische Funktionen beansprucht.“11

Wie erlernen Kinder die Beziehungen von Zahlen untereinander und ihre Verwendung? Müller/ Wittmann lehnen diese Entwicklung an die der geistigen an. Sie stellen es sich als ein geistiges Wachsen vor, das durch eine aktive Auseinandersetzung des Kindes mit neuen, immer komplexeren Situationen vorangetrieben wird. Somit beginnt die „Eroberung“ des Zahlenraums mit der Erarbeitung kleiner Zahlen und der groben Erfassung einzelner markanter großer Zahlen. Verschiedene Verfahren helfen, aus kleinen Zahlen größere zu konstruieren. Die eröffneten Zahlenräume werden durch Zahloperationen und -relationen zunehmend strukturiert und erweitert.12

Was heißt es überhaupt, zu Rechnen? Weinschenk definiert es als „...ein Denken, das die Herstellung aufgegebener Beziehungen zwischen gegebenen Zahlen (Zahlbegriffen) im bloßen Vorstellen mit abschließender Feststellung des Ergebnisses zur Aufgabe hat.“13

Müller/Wittmann fassen sich kürzer und bezeichnen Rechnen als Fertigkeit, Zahlverknüpfungen nach einem System von Regeln, die sich auf die Zahldarstellung beziehen, sicher und geläufig auszuführen.14

Es gibt u. a. folgende Mischformen von Störbildern neuropsychologischer Funktionen: Kinder, die „nur“ Lese- und Rechtschreibprobleme haben, aber gut in Mathematik sind, andere, die „nur“ Rechenprobleme haben, jedoch keine im Lesen und Schreiben, und Kinder, die in allen drei Bereichen bei durchschnittlicher Begabung beeinträchtigt sind.

Mathematisches Denken setzt in einzelnen Bereichen andere Fähigkeiten voraus, als sie zum Erlernen des Lesens und Schreibens notwendig sind. Alle intellektuellen und geistigen Prozesse haben dazu folgende Gemeinsamkeiten:

Die Aufnahme - die Verarbeitung - die Speicherung - und das Wiederausdrücken von Informationen.15 Ich werde mich näher mit dem räumlichen und visuellen Vorstellungsvermögen beschäftigen sowie allgemeinen Fähigkeiten, die für mathematisches Denken wichtig sind.

1.2.1 Die Bedeutung des räumlichen Vorstellungsvermögens für die Entwicklung mathematischen Denkens

Vorstellungsvermögen ist die „...Fähigkeit sowohl Vorstellungen in Form von Bildern früher wahrgenommener Gegenstände oder Erscheinungen aus dem Langzeitgedächtnis abzurufen, sie zu transformieren und mit ihnen zu operieren als auch „subjektiv neue“ Vorstellungen zu erzeugen.“ Deshalb bilden Vorstellungen die anschauliche Grundlage des Denkens. Probleme im Verstehen mathematischer Begriffe und Prozesse werden auf fehlende Grundvorstellungen der Schüler zurückgeführt.16

Voraussetzung für mathematisches Denken ist die räumliche Vorstellung, die sowohl von der Geometrie wie auch den Grundrechenarten beansprucht wird. „So sprechen wir vom Zahlenraum, Wir zerlegen Zahlen oder Mengen und wir messen Strecken und Zeiten.“17 Von daher ist nicht überraschend, wenn Kinder, die sonst angemessene Schulleistungen aufweisen auf einmal scheitern, wenn sie mit Zahlenproblemen konfrontiert werden. „Die Stabilisierung der räumlichen Welt ist die schwierigste unserer Fertigkeiten, und sie entwickelt sich in der Reihe dieser Fertigkeiten zuletzt.“18 Ein Kind erlernt durch Bewegung und Wahrnehmung die Richtungen oben - unten, rechts - links, und vorne - hinten. Nun hat es feste Bezugsgrößen für die Lage von dreidimensionalen Objekten im Raum.19

Neben der Lage im Raum sind auch noch Beziehungen im Raum wichtig: Zunächst erfährt das Kind den Raum egozentrisch, erst dann bildet es Beziehungen von Objekten untereinander. Nur wer eine stabile Raumerfahrung gemacht hat, kann Objekte im dreidimensionalen Raum stabilisiert wahrnehmen und in Beziehung zueinander setzten.20

Für mathematisches Denken sind Relationen eine wichtige Größe. Sie geben Auskunft über die Beziehung von Objekten oder Mengen zueinander. Die Reihenfolge oder räumliche Aufeinanderfolge von Elementen ist eine wesentliche räumliche Beziehung, d.h. z.B., dass man bei einer Rechenaufgabe die vielen Zeichen nicht einfach in eine andere oder beliebige Reihenfolge bringen kann, weil die Aufgabe dann nicht mehr sinnvoll ist. Das müssen Kinder erst einmal lernen, auch, dass eine Anordnung von links nach rechts erfolgt. Es handelt sich hierbei zwar nur um die formalen Aspekte des mathematischen Denkens, jedoch haben die Zeichen und Symbole und ihre Ausrichtung eine Bedeutung.21

Piaget hat in seinen Untersuchungen an Kindern sehr genau beobachtet und analysiert, „wie sich aus der ´reinen` Wahrnehmung über die Wahrnehmungsaktivität die Wahrnehmung mehr und mehr differenziert, wie sich über das Tun erste Vorstellungen bilden, wie diese allmählich genauer und vergleichbarer werden und wie sich im Zusammenhang mit der Reifung des räumlichen Denkens auch der Zahlbegriff entwickelt.“22

Aus den ersten sensomotorischen Empfindungen wie „Umgebensein“, die auch die Erfahrung der Begrenzung einschließt (Widerstand durch Gehaltenwerden, durch Spüren der Unterlage), kommt es zu Wahrnehmungen, die in Verbindung mit dem Gleichgewichtsorgan des Innenohrs als Voraussetzungen für ein Orientierungssystem gelten. Das Wahrnehmungssystem wird weiter ausdifferenziert durch das „Aufrichten gegen die Schwerkraft, der Entwicklung von Haltung und Balance im Zusammenspiel mit den Augenmuskeln, ... und dem Muskeltonus.“ Aus diesen Lernerfahrungen leiten sich die Dimensionen des euklidischen Raumes ab:

- „die vertikale Dimension von der Richtung der Schwerkraft;
- die horizontale aus dem Konzept der Lateralität (Seitigkeit);
- die Vorne-Hinten-Dimension durch Hinweise für die Tiefe.“,

die zu einem System verschmolzen werden müssen, um eine Stabilität der Objekte im Raum zu erreichen.23

Die Seitigkeit oder Lateralität ist ein Lernprozess, den jedes kleine Kind durchmacht: Zu Beginn muss es lernen, mit der Schwerkraft umzugehen, es gewinnt mit zunehmender Reifung an Sicherheit, die Beziehung zum Zentrum der Schwerkraft bzw. zur Oberfläche der Erde aufrecht zu erhalten.

„Allmählich entwickelt sich daraus das innere Bewusstsein von zwei Körperhälften und ihren Unterschieden, und schließlich führt mit zunehmender neurologischer Reifung dieser Lernprozess zur Entwicklung der Seitigkeit und damit auch zur Bevorzugung einer Hand.“24

Der Richtungssinn wird innerhalb des ersten Lebensjahres unumkehrbar festgelegt. Es gibt damit in allen Kulturen immer zwei Richtungsalternativen: dextrad (Kulturnorm) und sinistrad (gegenläufig). In Europa besteht eine Kultur mit Rechtsnorm (abgesehen von dem Linksverkehr in Großbritannien): Wir schreiben von links nach rechts und nutzen dabei häufig die rechte Hand. Somit fällt ein Linkshänder aus unserer Norm und wurde früher direkt, und heute häufig indirekt, durch die vorgegebene Norm, umerzogen zu einem Rechtshänder.25

1.2.2 Die Bedeutung der visuellen Wahrnehmung für die Entwicklung mathematischen Denkens

Beginnen werde ich mit der visuomotorischen Koordination. Damit ist das kontinuierliche Zusammenspiel von Auge und Hand gemeint. Dieses Zusammenspiel beginnt als Entwicklungsprozess: Die taktile Wahrnehmung ist am frühesten funktionsfähig. Im Anschluss daran erfolgt das Sehen, zunächst zufällig, dann gezielt. Als erstes ist es also die Hand oder der Mund, der Informationen über die Umwelt in Erfahrung bringt, die Augen richten sich dann auf das, was ertastet wurde. In der weiteren neurologischen Reifung übernimmt schließlich das Auge die Führung und die Hände folgen ihm, es kommt zur Koordination von Auge und Hand.26

Für das mathematische Denken bedeutet die Koordination von Auge und Hand die Grundlage für die visuelle Wahrnehmung und damit die Grundlage zum Erfassen und Begreifen mathematischer Prozesse. Um eine Menge zu erfassen muss das Kind zuvor die Gegenstände in der Hand gehabt und bewegt haben. Über dieses Handeln erwirbt es allmählich eine Vorstellung von dem, was es tut. Nur mit Hilfe eines inneren Vorstellungsbildes kann es später z.B. Rechenaufgaben im Kopf lösen.

Die Auge-Hand-Koordination ist somit relevant für die Vorstufen mathematischen Tuns: das Ordnen, das Zuordnen, das Zählen, das Erfahren von Formen.27

Das Herausheben einer Gestalt von ihrer Umgebung oder das Erkennen einer Figur vor ihrem Hintergrund wird als Figur-Grund-Unterscheidung bezeichnet; und zwar in visuellen als auch in akustischen Bereichen. Erstere wird erleichtert, wenn sich das Objekt bewegt oder bewegt wird. Ansehen, Vorstellen und Wiedererkennen setzt allerdings wieder voraus, dass das Kind in seiner Entwicklung Gegenstände taktil erfasst hat, um sie mit den Augen abzutasten und wieder erkennen zu können.28

Die Formkonstanz, also die Fähigkeit, Figuren als konstant zu erkennen, auch wenn sie unterschiedliche Positionen einnehmen, setzt sich aus den bereits besprochenen elementaren Fähigkeiten der visuellen Wahrnehmung zusammen: Der Auge-Hand- Koordination und der Figur-Grund-Unterscheidung. Die „Eigenheiten“ von Formen müssen erkannt werden, so dass z.B. die Drehung eines Gegenstandes uns nicht annehmen lässt, es handle sich um einen ganz anderen.

Zur Formkonstanz kommt es dadurch, dass die Hände und Augen den Gegenstand schon einmal ertastet haben, so dass ein inneres Vorstellungsbild möglich ist.29

Eine Differenzierung von Wahrnehmungen beginnt beim Baby in den ersten Lebenstagen und wird bis in das Erwachsenenalter fortgesetzt, da das differenzierte Wahrnehmen nicht nur beschränkt ist auf das Sehen, sondern sich auch auf andere Bereiche, wie Hören und Fühlen, bezieht. „Die Tatsache, dass Inhalte der Wahrnehmung trotz wechselnder äußerer Bedingungen unverändert und damit konstant erlebt werden können, bezieht sich auch auf andere Wahrnehmungsbereiche wie Helligkeit und Farbe, Größe, Raum, Zeit und Substanz und nicht zuletzt auf die Erhaltung der Zahl.“30 Eine Differenzierung geht so vor sich, dass zunächst einzelne Merkmale ausgegliedert werden, die der Gestalt allerdings noch keine charakterisierenden Eigenschaften verleiht. Nur schrittweise werden ihr weiter solche zugewiesen. Bei Piaget z.B. hat die Invarianz von Mengen eine besondere Bedeutung für die Entwicklung mathematischen Denkens.31

Die Teilelemente der visuellen Wahrnehmung stehen in wechselseitiger Beziehung zueinander, und wurden zum besseren Verständnis isoliert betrachtet.

1.3 Allgemeine Fähigkeiten im Zusammenhang mit mathematischem Denken

Eine gut entwickelte Wahrnehmungsfähigkeit mit Hilfe der verschiedenen Sinnesorgane ist eine Grundvoraussetzung, das Rechnen zu erlernen, sie alleine ist aber noch nicht ausreichend. Es sind zusätzliche Teilleistungen nötig, die man als kognitive Fähigkeiten bezeichnen kann. Darunter versteht man geistige Fähigkeiten, Erkenntnisse über die eigene Umwelt zu erhalten. „Sie betreffen das Denken, das Planen, die Vorstellung, das Lernen, die Erinnerung, das Gedächtnis und auch die Rechenfähigkeit.“32

Eine Schwäche oder Rückstand in den kognitiven Stützfunktionen erschwert das Mathematiklernen. Deshalb ist eine Diagnose mit anschließender Förderung der schwächer entwickelten Bereiche erforderlich und sinnvoll.33

Kognitive Stützfunktionen, die Krüll zusammenstellt: § „Kurzzeitgedächtnis, Speicherfähigkeit, § Konzentrationsfähigkeit,

- Aufmerksamkeit, genaue Wahrnehmung, § Ausdauer,
- innere Vorstellungsfähigkeit, Aufbau eines inneren Zahlen“raums“, Sich-Lösen von Anschauungshilfen,
- Abstraktionsfähigkeit (...),
- die Fähigkeit sich einerseits etwas zu merken, andererseits gleichzeitig eine geistige Tätigkeit, wie z. B. weiterzählen, durchzuführen,
- die Verfügbarkeit von Faktenwissen aus dem Langzeitgedächtnis (...),
- Schemawissen, also eine grobe Vorstellung darüber, wie man bei einem bestimmten Aufgabentyp zu einer Lösung gelangt“.34

Allerdings können auch bei gut entwickelten Teilleistungen Probleme beim Zusammenwirken aller Einzelfunktionen bestehen. So ist es z.B. nötig, „das eigene Denken zu organisieren und die Einzelbausteine zusammenzufügen, um komplexe Aufgaben bewältigen zu können.“ Also kann auch diese Störung des Zusammenspiels aller Einzelfunktionen als Auslöser einer Rechenschwäche gelten.35

Gedächtnis

Grundlegenden Voraussetzungen für erfolgreiches Lernen und Denken ist das Gedächtnis mit komplexen psycho-physischen Funktionen.36 Unter Gedächtnisvermögen versteht man das Einprägen, Behalten, Wiedererkennen und Reproduzieren von Lerninhalten. Es kommt also darauf an, dass die Schüler im Unterricht lernen, effektive Einpräge- und Reproduktionsmethoden zu erwerben.37

Daneben hat das visuelle Gedächtnis die Fähigkeit arithmetische Operationen durchzuführen, da es ein visuelles Erinnern an die im Unterricht dargebotenen oder selbst durchgeführten Handlungen ermöglicht.38

Kinder merken sich, was sie interessant finden und deshalb wissen möchten. Dieses Merken ist zufällig. Sie haben kein Erinnerungsvermögen wie Erwachsene, weil sie noch keine Fülle an Weltwissen aufweisen, jedoch können sie z.B. darüber Auskunft geben, was sie Interessantes am Vortag erlebt haben und sie schneiden beim Memory- Spiel häufig besser ab, als mitspielende Erwachsene. In der Vorschulzeit haben Kinder nie die Forderung danach gestellt, Inhalte zu lernen oder sich gedächtnismäßig einzuprägen. Kein Vorschulkind merkt sich heute, was es morgen wissen will, sondern nur was es interessant findet. Dieses Lernen ist also planlos, schließlich wissen die Kinder noch nicht, dass das Behalten einer bestimmten Situation zum Problemlösen eines Prozesses beitragen kann. Ihr Wissen ist dazu noch situationsgebunden. Erst ab dem 12. Lebensjahr können Kinder eine aktive und variable Form des Einprägens und Erinnerns verwenden.39

Sprache und Sprachverständnis

Die Entwicklung der gesprochenen Sprache ist „von der neurologischen Organisation des Zentralnervensystems und dem Zusammenspiel von Reifen und Lernen“, abhängig.

Sie entwickelt sich verhältnismäßig spät, da sie ein

System“ ist, „welches auf anderen Systemen aufbaut und sie integriert, um Aufnahme Verarbeitung und Ausdruck verbaler Informationen zu ermöglichen.“ Die Endverarbeitung der Sprache findet nach Ausreifung der Hirnhemisphären bei den meisten Menschen, auch bei Linkshändern, auf der linken Hirnhälfte statt. Sie ist zuständig für verbale Sprache. Die rechte Hirnhälfte verarbeitet nichtverbales Material, ist aber zusätzlich zu einfachem Sprachverständnis fähig.40

Die Anforderung sprachlicher Kompetenzen zeigt sich bereits im arithmetischen Anfangsunterricht, in dem die Kinder Zuordnungen und Klassifikationen vornehmen müssen, vergleichende und räumlich-zeitliche Bestimmungen, wie kausale und einoder ausschließende Beziehungen von ihnen gefordert werden.41

Kinder können sprachlich nur das ausdrücken, was sie in einem gewissen Sinne auch verstanden haben, wovon ein Vorstellungsbild vorhanden ist. Die Vorstellungsfähigkeit bildet sich wiederum in Abhängigkeit von der sprachlichen Entwicklung des Kindes aus, da etwas erst visuell unterscheidbar wird, wenn der entsprechende Sprachbegriff zur Verfügung steht.42 Die Sprache der Vorschulkinder verfügt noch nicht über den Umfang und die Genauigkeit der Begriffe, wie sie bei Erwachsenen anzutreffen sind. Worte und Begriffe werden nicht durch Definitionen gelernt und verstanden, sondern es werden die Situationen gelernt, in denen bestimmte Wörter verwendet werden. Deshalb muss das Lernen mathematischer Inhalte darauf ausgerichtet sein, Erfahrungen zu machen und zu verbalisieren.43

Aus den unterschiedlichsten Gründen können die Voraussetzungen zum Lernen oder das Lernen selbst beeinträchtigt sein (denkbare Gründe s. Kap. 3). Deshalb wende ich mich im nächsten Kapitel möglichen Störungen mathematischen Denkens und Lernens zu.

2. Mathematisches Denken und mögliche Störungen

2.1 Ausgangslage

„Mathematiklernen ist ein Entwicklungsprozess und es ist durchaus normal, daß Kinder einer Klasse in diesem Entwicklungsprozeß unterschiedlich weit sind. Auch kann ein solcher Prozeß mit Schwierigkeiten verbunden sein, die durch besondere Anstrengungen wieder überwunden werden können. Erst wenn diese Schwierigkeiten unbemerkt bleiben, und das Kind in seinem Bemühen um Verständnis allein gelassen wird, können sich diese Schwierigkeiten derart verfestigen, daß sie in einen Teufelskreis Lernstörungen münden.“44

Voraussetzungen für das Lernen sind Wahrnehmungsleistungen. In der Schule werden fast ausschließlich der visuelle und der auditive Kanal angesprochen. Diese Kanäle sind bei vielen Kindern aber bereits so „abgestumpft“, dass sie nur noch wenig aufnehmen können. „Über 50% der Lernschwierigkeiten im Mathematikunterricht haben Ursachen in visuellen Wahrnehmungsstörungen.“ Da bei gleichem Bild auf der Netzhaut jeder etwas anderes wahrnimmt, ist die individuelle Wahrnehmung weder zu erfassen noch einzuplanen. Erst im Anschluss an die Wahrnehmung beginnt die intellektuelle Verarbeitung („sensorische Integration“). Dieser Wahrnehmungsprozess ist bei Kindern noch sehr störanfällig.45

Lorenz/ Radatz versuchen eine Beschreibung von Störungen mathematischen Denkens zwischen einer curricularen und neurophysiologischen Ebene. Sie berufen sich auf Geller, der kein eigenes Rechenzentrum für mathematische Prozesse annimmt, sondern davon ausgeht, dass Rechnen ein Denkakt sei, der Wahrnehmungen und Vorstellungen (akustische, optische, räumliche und motorische) zusammenfasst. „Aufgrund der häufig zu beobachtenden gleichzeitigen Störung der Rechenfähigkeit mit optischen Defekten wurde die Rolle der Visualisierung oder der bildhaften Vorstellungen in den Prozessen untersucht, die den arithmetischen Operationen zugrunde liegen. Danach beinhaltet jede geistige Repräsentation einer Zahl notwendig eine visuelle Vorstellung im Raum, das heißt, dass Zahlen als Elemente in diesem Raum aufgefasst werden Die Störung der Rechenfähigkeit ist somit entweder auf eine Beeinträchtigung des visuellen Gedächtnisses oder auf ein Defizit in der visuellen Analyse zurückzuführen Andere neurologische Untersuchungen zeigten die senso-motorische oder konstruktivpraktische Seite als wesentlich beim Lösen arithmetischer Probleme.“46 Ihre Beschreibung „ ... versucht, kognitive Fähigkeiten zu benennen, die zum Lernen mathematischer Inhalte und zum Bearbeiten arithmetischer Aufgaben notwendig sind, und deren Störungen sich negativ auf den Lernprozess auswirken.

Hierzu gehören z.B. Störungen

- „der visuellen Wahrnehmung (räumlicher Beziehungen, der Richtungswahr- nehmung),
- des abstrakten/ symbolischen Denkens, § des Gedächtnisses,
- der Leseleistung.“

Die einzelnen Punkte lassen sich auf bestimmte Phasen des arithmetischen Anfangsunterrichts beziehen. Die dort auftretenden Schwierigkeiten entsprechen somit den fehlerhaften Denkprozessen des einzelnen Schülers.47

Folgende kognitive Fähigkeiten gelten als wesentlich für die Rechenleistung, sodass sich eine Störung ihrer als negativ herausstellt:

- „Störung im taktil-kinästhetischen Bereich,
- Störung der auditiven Wahrnehmung, Speicherung und Serialität, § visuelle Wahrnehmungsstörungen
- Störungen der Intermodalität.“48

Die genannten gestörten Fähigkeiten sind „für die Entwicklung von Vorstellungsbildern auf der Basis der im Arithmetikunterricht verwendeten Veranschaulichungshilfen, für das vorstellungsmäßige Operieren und damit für die Speicherung dieser Inhalte bedeutsam.“49 Störungen im „taktil-kinästhetischen Bereich führen nach neurologischen Befunden zu Schwierigkeiten der Rechts-Links-Unterscheidung.“50 Auditive Störungen verhindern z.B. die Speicherung von Aufgaben, von großen Zahlen oder von Zwischenergebnissen bei Kopfrechenaufgaben. Störungen in der Serialität bedeuten eine eingeschränkte Merkfähigkeit für Informationen, die einen zeitlichen Ablauf haben.51 Störungen im visuellen Bereich können zu Schwierigkeiten der Figur-Grund- Unterscheidung, von räumlichen Beziehungen und der Eins-zu-Eins-Zuordnung führen.52 Schwierigkeiten in der intermodalen Zuordnung bestehen dann, wenn die Zahlworte nicht mit den jeweiligen Mengen in Verbindung gebracht werden können. „Später kommt die Schwierigkeit hinzu, die auditiven Zahlwörter und die visuellen Zahlsymbole miteinander zu verbinden."53

Daraus folgt, dass man ein vollständiges Bild eines Kindes mit Schwierigkeiten im mathematischen Denken nur dann erlangt, wenn neuropsychologische, kognitive wie curriculare und neurophysiologische Störungen in Betracht gezogen werden. Ich werde zunächst auf neuropsychologische (s. Kap. 2.2) und auf allgemeine (s. Kap. 2.3) Defizite eingehen. Im 3. Kapitel dann auch auf Ursachen aus dem curricularen und sozialen Bereich des Schülers.

2.2 Neuropsychologische St ö rungen

Milz bezeichnet im Gegensatz zu Lorenz/ Radatz alle ablaufenden Prozesse, die ein Kind durchlaufen muss, um zu mathematischem Denken fähig zu sein, als neuropsychologische. Nur die vollständige Entwicklung dieser Prozesse sind Voraussetzung höherer psychischer Funktionen. In dem Zusammenhang interessiert es sie, wann ein Kind schulreif ist: Es muss neben seinen Fähigkeiten im Persönlichkeitsbereich und der emotionalen Befindlichkeit auch die Voraussetzungen mitbringen, die Kulturtechniken erlernen zu können, also allgemein die Voraussetzungen zum Lernen und Verhalten in der Gruppe zeigen. Eine störungsfrei abgelaufene Entwicklung neuropsychologischer Prozesse sind die Voraussetzung für alle diese Fähigkeiten.54

Kommt es auf einer Stufe des neuropsychologischen Entwicklungsprozesses zu Problemen, die sich nach außen zeigen, so zurückverfolgen und versuchen herauszufinden, wo es bei diesen komplexen Vorgängen zu Ausfällen oder Beeinträchtigungen gekommen sein kann.“55 Dies kann allerdings schwierig werden, weil die neurologische Organisation des Zentralnervensystems auch von der Umwelt des Kindes abhängig ist. Milz warnt davor, „...Erscheinungsformen, Symptome zu Syndromen zusammenzufassen...“ und sie unter Begriffen, die Einheitlichkeit vortäuschen, zusammenzufassen (so z.B. Dyskalkulie). In dem Zusammenhang gibt sie an, dass es hilfreicher sei, von Teilleistungsschwäche oder - störung zu sprechen.56

2.2.1 Teilleistungsschwächen im Bereich mathematischen Denkens

Remschmidt versteht unter Teilleistungsschwäche Ausfälle sehr verschiedener Funktionen, die aus dem übrigen Leistungsniveau oder Entwicklungsstand eines Kindes herausfallen. Sie werden anhand bestimmter Leistungs- und Anpassungsaufgaben sichtbar. „Teilleistungsschwächen werden meist im Kontext der Entwicklung gesehen und häufig als Entwicklungsverzögerung oder umschriebene Entwicklungsrückstände aufgefasst.“

Neben der umschriebenen Lese-Rechtschreib-Schwäche und der umschriebenen Rechenschwäche nennt Remschmidt noch weitere Rückstände, auf die ich aus inhaltlichen Gründen nicht weiter eingehen werde. „Die Bezeichnung ´umschriebene Rückstände` soll zum Ausdruck bringen, dass nicht die Leistungsfunktion eines Kindes insgesamt eingeschränkt ist, sondern nur ´Teilleistungen`.“ Teilleistungsschwächen kommt deshalb eine besondere Bedeutung zu, weil sie „ansonsten gut begabte Kinder daran hindern, eine ihrem Intelligenzniveau angemessene schulische Entwicklung zu durchlaufen“, und weil sie, wenn sie nicht behoben werden, zu langfristigen Folgen führen.

Das Lebensschicksal eines Kindes wird durch eine nicht behobene Teilleistungsschwäche stark beeinträchtigt. Es kann zu „neurotischen Fehlentwicklungen (wie etwa Depressionen, Angstsyndromen, Leistungsangst, Kontaktstörungen bis hin zur Suizidalität) und dissozialen Entwicklungen (Verwahrlosung, Delinquenz)“ kommen.57 Die Ursachen der Teilleistungsschwächen sind noch nicht vollständig geklärt. Es werden genetische Dispositionen (z.B. bei der Legasthenie), Störungen der Hirnfunktion, familiäre und Umgebungseinflüsse (z.B. bei Rückstand in der Sprachentwicklung und der motorischen Entwicklung) angenommen. Bei der Legasthenie wie auch bei einer Rechenschwäche wird ein gestörtes Zusammenwirken der beiden Hirnhälften angenommen.58

Anschauliches mathematisches Denken baut sich dreistufig auf: Auf der ersten Stufe steht die Handlung. In der zweiten Stufe wird die Handlung in Vorstellungen übersetzt und verinnerlicht. Auf der dritten Stufe ist nun Abstraktion, Vorwegnahme oder Rekonstruktion möglich, wenn Handlungen innerlich gut nachvollzogen wurden.59 Die Entwicklung in Stufen lässt sich so erklären, dass sich das kindliche Wissen aus dem täglichen Umgang mit Objekten aufbaut. Beziehungen unter ihnen stellt es durch eigene Tätigkeiten her. Die Eigenschaft von Handlungswissen ist die, dass die Handlung nicht immer selbst am Objekt ausgeführt werden muss, sondern zum einen stellvertretend (durch andere handelnde Personen) vollzogen werden kann, zum anderen in der Vorstellung geschehen kann. Das Kind erreicht dieses Vorstellungsvermögen erst im Vorschulalter von 3 bis 6/7 Jahren. Dabei handelt es sich allerdings um eine kontinuierliche Entwicklung und keinen Sprung von der Handlung auf die Ebene der bloßen Vorstellung. Erst ab ca. dem 12. Lebensjahr ist die Fähigkeit, sich Handlungen vorzustellen, voll entwickelt.60

Deshalb die Forderung, in Anlehnung an Bruners Theorie, den Mathematikunterricht zur Erschließung der Lernstruktur auf drei Repräsentationsebenen anzubieten, da sie dann dem Lernen von Kindern entspricht: Auf der ersten Stufe steht die enaktive Form der Darstellung, also Darstellung einer Handlung. Auf der folgenden Stufe spricht Bruner von der ikonischen Darstellung durch bildliche Mittel von unterschiedlicher Realitätsnähe und auf der dritten Stufe steht die symbolische Form, also die Darstellung durch Sprache und Zeichen.61 Für das Mathematiklernen sind gerade die enaktive und die ikonische Ebene von großer Bedeutung, da sie Kindern hilft, Vorstellungen aufzubauen und damit Einsichten zu gewinnen. Eine letzte Stufe dient dem Automatisieren mathematischer Operationen.

Das Kind muss ausreichend Gelegenheit erhalten, Erfahrungen auf allen Darstellungsebenen zu sammeln, damit es ihm gelingt, zwischen den verschiedenen Darstellungsebenen hin- und herzuschalten.62

Im Zusammenhang mit Rechenschwäche haben wir es im wesentlichen mit einer Beeinträchtigung im Aufbau- und Verinnerlichungsprozess, sowie in der Anwendung mathematischer Operationen zu tun.63 Kommt es also auf einer der folgenden Stufen zu Problemen seitens der Kinder, sind die darauf aufbauenden Stufen für sie nur schwer oder gar nicht verständlich.

Beeinträchtigungen auf der Stufe konkreten Handelns

„Der Zahlbegriff und die arithmetischen Operationen haben im Vor- und Grundschulalter ihre Erfahrungsgrundlage in konkreten Handlungen.“ Dabei gibt es Arbeitsmittel, die Handlungen im Längenmodell oder im Mengenmodell darstellen können.64 Arithmetische Relationen liegen bei Materialien nicht vor, sie müssen erst vom Schüler erschlossen werden. Es gibt Gegenstände, die auf besonders einfache Weise die jeweiligen Relationen darstellen können, die durch „kognitive Konstruktionen“ aber weiter durchdrungen werden müssen.65

Kinder mit Beeinträchtigungen haben auf der ersten Stufe der konkreten Handlung z.B. schon Schwierigkeiten mit dem Zählen, dem Zuzählen, oder dem Abziehen. Vielleicht heben sich Einzelheiten für das Kind nicht gut genug von der Umgebung ab.66 Nimmt es die Anordnung von Elementen oder die räumliche Beziehung der Elemente zueinander nicht deutlich genug wahr, liegt eine Störung des visuell-räumlichen Erkennens vor. „Beide Störmöglichkeiten betreffen im wesentlichen die visuelle Wahrnehmung und können unter dem Begriff der Gliederungsschwäche zusammengefasst werden. Sie können die Entwicklung des Zahlbegriffes entscheidend beeinflussen.“67 Im Zusammenhang mit diesen „visuellen Erfassungsstörungen“ zeigen sich Schwierigkeiten bei der Erfassung des Körperschemas und in der räumlichen Orientierung bzw. in der Erfassung von Raumlagebeziehungen.68

Das lässt sich so erklären, dass die Umwelt vom eigenen Körper aus erfahren wird. „Zuerst wird der Körper differenziert, dann wird das Verständnis für zwei Körperhälften und der Seitigkeit entwickelt. Nun sind die Grundlagen für die Raumwahrnehmung und die räumliche Orientierung gelegt. „Ohne diese Fähigkeiten ist kein Verständnis für Zahlen und Mengen möglich.“69 „Die Zahlbegriffschwäche und die Zählschwäche sind wohl die grundlegendsten Störfaktoren, die den weiteren Aufbau- und Verinnerlichungsprozess behindern oder gar verhindern.“70

Eine weitere Zählschwäche besteht darin, zwei Wahrnehmungsbereiche nicht miteinander in Übereinstimmung bringen zu können: „die Bewegung - das Hinzeigen, die Sprache - und das Benennen.“ Ähnliches geschieht bei der paarweisen Zusammenfassung von Gegenständen. Vor allem die Figur-Grund-Unterscheidung ist also für das Gelingen der Zählleistung verantwortlich.

Die Unfähigkeit das System der Kardinal- und Ordinalzahl, also z.B. das Erkennen von Mengenkonstanzen, zu erfassen, gehört zum Bereich der Zählschwäche. Voraussetzung für das sinnvolle Zählen ist die Fähigkeit der intermodalen Zuordnung. Da zwischen Zahlbegriff und Rechenfertigkeit ein enger Zusammenhang besteht, ist es wichtig, bei ersten Anzeichen einer Zählschwäche den Schüler besonders zu beachten und wenn nötig zu fördern.71 Für rechenschwache Schüler kann es sonst nämlich bei der Erweiterung des Zahlenraums zu einer fehlenden Einsicht in das dekadische Positionssystem kommen. Sie müssen verstärkt handelnd arbeiten, am besten mit dreidimensionalem Material. Das Hantieren mit Material hilft zudem, mathematische Operationen zu verstehen. Stehen die Operationen nicht als „bewegliche Elemente“ zur Verfügung, sondern „laufen schwerfällig und ohne Verständnis ab und sind nicht übertragbar“, fehlt häufig die Einsicht dahinter.72

„Die Entwicklung und Verankerung strukturell adäquater Vorstellungsbilder ist eine wesentliche Voraussetzung für die mathematische Begriffsbildung. Dies vor allem deshalb, weil mit ihnen in der Vorstellung operiert werden kann, so dass Beziehungen entdeckt, Beziehungsnetze aufgebaut ... werden können.“73

Wichtig ist auf dieser Stufe zu beachten, dass Anschauungsmittel nur als Übergang dienen und die Kinder sich nicht an sie gewöhnen und von ihnen abhängig werden sollen. Es scheint eine „sensible Phase“ zu geben, in der vom Handeln in das auswendige Lösen gewechselt wird. Kommt es in dieser Phase zu Störungen oder Verunsicherungen, durch z.B. einen Lehrerwechsel oder längere Krankheit des Kindes, wird die geeignete Zeit verpasst, das Kind klebt am Material und die Zählstrategie kann sich verfestigen. Kinder mit einer Rechenschwäche brauchen Anschauungsmaterial allerdings länger als andere. Können sie die Grundaufgaben auswendig, ist ein wichtiger Sprung geschafft, da die Grundaufgaben als Analogieaufgaben im Zahlenraum über 10 immer wieder zu finden sind.74

Beeinträchtigungen auf der Stufe bildlicher Darstellung

Auf dieser Stufe geht es um die Umwandlung der konkreten Handlung in eine bildliche Darstellung. Das Kind muss sich nun die zuvor handelnd erfahrene Operation bei Bedarf vorstellen können. Schwierigkeiten können hier bei einem schlechten Kurzzeitgedächtnis oder bei einer beeinträchtigten visuellen Wahrnehmungs- verarbeitung vorkommen. „Denn was nicht richtig verarbeitet wurde, kann auch nicht richtig gespeichert werden.“75

Beeinträchtigungen auf der Stufe symbolischer Darstellung

Auf dieser Stufe wird nur noch die mathematische Struktur einer Handlung beachtet, nicht mehr länger das Konkrete. Nun muss das Kind ständig die „symbolische Darstellung in ihren Bedeutungsgehalt umsetzen“ und ihre Operation ausführen, vorher hatte es wenigstens noch ein Bild zur Hilfe. Es werden dabei drei Kodierungsmöglichkeiten des symbolischen Ausdrucks unterschieden: Als gesprochenes Wort in Form der Lautgestalt („drei“), als grafisches Zeichen, als visuelle Gestalt (III) und als Ziffer als ideografisches Zeichen (3).76 Bei vielen Schülern läuft die Umsetzung des Symbolgehalts zu langsam, schwerfällig oder im Ganzen beeinträchtigt ab. Die Ursachen können darin liegen, dass nicht lange genug auf den einzelnen Stufen verweilt wurde, mit der Folge, dass nicht ausreichend Sicherheit vorhanden ist. Es kann auch die Schwäche vorliegen, nicht abstrahieren77 zu können. Das Kind bleibt dann weiterhin dem Konkreten verhaftet und letztendlich kann auch hier die „mangelnde Einsicht in das dekadische Positionssystem der Zahldarstellung den Denkprozess erschweren.“78

Beeinträchtigungen auf der Stufe des Anwendens mathematischer Operationen

Wichtige Voraussetzungen für diese Stufe sind auch hier wieder die vorangegangenen Stufen, weil eine innere Vorstellung von dem vorhanden sein muss, was hier automatisiert werden soll.

Das Kind muss sich vollständig vom Material gelöst haben, es muss zur Abstraktion fähig sein und Mut zum Auswendigrechnen besitzen. Hier wird also durch die hohen Abstraktionsanforderungen ebenfalls eine hohe Anforderung an das Gedächtnis und das Konzentrationsvermögen gestellt. In dieser letzten Stufe nun müssen die „mathematischen Denkprozesse eingeschliffen“ werden, „weil es eine Entlastung bedeutet und es das Problemlösen erleichtert, wenn verschiedene Operationen hintereinander auszuführen sind“ (z.B. bei dem Einmaleins).79 Der Mathematik- unterricht der Grundschule soll schließlich „Begriffe und Verfahren zur Lösung mathematisierbarer Probleme in verschiedenen Lebenssituationen zur Verfügung stellen.“80

Eine Verknüpfungsschwäche erschwert es beispielsweise, mechanisch-assoziative Zusammenhänge herzustellen. Ein Kind mit einer solchen Schwäche muss die Einmaleins-Reihe immer wieder von vorne beginnen, weil es sie nicht auswendig beherrschen kann.

Einige Kinder beherrschen die Anwendung mathematischer Operationen gut, sind sie aber in Text eingekleidet, versagen die Kinder.81 Das kann darin begründet liegen, dass das Erkennen des notwendigen Rechenschrittes schwer fällt, oder das sprachliche Nichtverständnis der Aufgabe das Erkennen von Rechenproblemen verhindert.82

Bedeutsam beim mündlichen Rechnen ist das Kurzzeitgedächtnis. Ist es schwach, so treten Schwierigkeiten beim Rechnen mit mehrstelligen Zahlen auf, weil Zwischen ergebnisse behalten werden müssen, die die Voraussetzung für den nächsten Rechenschritt bilden.83

Kinder mit Problemen der Sinneswahrnehmungen können kein „korrektes, realistisches Bild von der wahrgenommenen Welt“ aufnehmen und tun sich deshalb schwer, „adäquat“ zu reagieren. Alle ihre Sinnesfunktionen stehen nicht in Wechselwirkung zueinander sondern existieren nebeneinander. Ursachen können zunächst im „organisch-neurologischen Ursachenkreis“ gefunden werden, sind also im Kind selbst verankert. Auch das soziale Umfeld kann die Probleme fördern, wenn dem Kind nicht die Gelegenheit gegeben wird oder wurde, seine Sinneswahrnehmungen zu entwickeln. So spielen die Lebensumstände, welche die heutige Zeit mit sich bringen, eine entwicklungshemmende Rolle für die Sinneswahrnehmung:

- „Einschränkungen bei aktiven, bewegungsreichen Spielen in Städten oder bei beengten Wohnverhältnissen,
- Reduzierung von Spielangeboten in der Umwelt (...),
- Ausweichen auf passive, konsumierende Ergebnisse mit Hilfe von Computer und Fernsehen,
- Überhütung der Kinder durch die Eltern wegen der erhöhten Gefahr in der modernen Umwelt (Verkehr, technische Geräte),
- Einschränkung der Handlungsfähigkeit der Kinder infolge von Perfektionismus seitens der Eltern, die ihren Kindern die Ausführung manch einer Handlung nicht zutrauen.“84

Die nun folgende Einführung ist bezogen auf die nächsten Abschnitte, die als Grundlage Sinneswahrnehmungen haben.

Basale Funktionen sind Grundfunktionen der Sinneswahrnehmungen (z.B. Sehen, Hören, Riechen, Schmecken, Fühlen). Sind diese eingeschränkt, so kann es zu schwerwiegenden Störungen kommen. Ich werde besonders auf „Störungen der visuellen in Verbindung mit der kinästhetischen und taktilen Wahrnehmung“ eingehen. Folgende Wahrnehmungsstörungen werden gerade im Zusammenhang mit Rechenschwäche häufig erwähnt:

- „Störungen der taktil-kinästhetischen Wahrnehmung“ (s.o.)
- „Störungen der vestibulären Wahrnehmung“

Vestibuläre Wahrnehmungen sind Wahrnehmungen des Gleichgewichtssinns, sie erfolgt über das Ohr. Man unterscheidet eine Über- und Unempfindlichkeit. Bei einer Überempfindlichkeit sind „Bewegungen wie Schaukeln, Klettern und Balancieren erschwert.“ Fehlende Übung führt zu Bewegungsunsicherheiten und allgemeiner Ungeschicklichkeit.

Bei einer Unempfindlichkeit hingegen „besteht ein dauernder Drang nach Bewegungsreizen, ohne ein ausreichendes Abschätzungsvermögen“, was zu unkoordinierten Bewegungsabläufen führt.85

2.2.2 Störungen auf der Ebene des Raumes

Eine fehlerhafte Wahrnehmung von räumlichen Beziehungen erschwert die „Vorstellung von Qualitäten“ (lang - kurz, etc.) genauso wie das vergleichende Erfassen zeitlicher und räumlicher Beziehungen.

Kinder, die eine Störung auf der räumlichen Ebene aufweisen, haben Schwierigkeiten jeglicher Art mit Gruppierungen, da „Gruppen nur im Raum existieren können.“86 Ist das Erfassen räumlicher Beziehungen beeinträchtigt, „ist auch das Umgehen mit Objekten oder Mengen im mathematischen Sinn mitbetroffen.“87

Wenn bei Kindern Unsicherheiten bei der formalen Ausrichtung von Zeichen und Symbolen und bei der Arbeitsrichtung bestehen, „fehlt die strukturelle Basis für schriftliche mathematische Operationen“. Richtungsunsicherheiten können das Verständnis für Veranschaulichungen mathematischer Vorgänge beeinträchtigen (z.B. am Zahlenstrahl: Plus nach rechts und Minus nach links).88

Kinder, die Schwierigkeiten in der Raumorientierung aufweisen, können die Richtungen rechts und links nicht unterscheiden. Sie orientieren sich an verbalen Begriffen, so z.B. an Straßennamen oder an Hausnummern. Nach Lobeck hängen diese Schwierigkeiten mit der „Störung der Wahrnehmung zeitlicher Abfolgen“ zusammen. Eine Zahlenreihe oder die Abfolge der Monatsnamen muss bei diesen Kindern von Anfang an aufgesagt werden, um zu einer Lösung zu gelangen (s. o.).89

Die Sprechweise zweistelliger Zahlen in der deutschen Sprache, ist im Gegensatz zu vielen anderen Sprachen, von einer anderen zeitlichen Reihenfolge als beim Schreiben. So sprechen wir z.B. achtunddreißig, nennen also zuerst die Einer, schreiben diese Zahl aber 38.90 Von der Zahl 13 an lesen und sprechen wir die Zahlen nur noch von rechts nach links. Nur die Hunderter, Tausender, usw. lesen wir wieder wie in anderen Sprachräumen auch von links nach rechts.91

Beim Buchstabenlesen wird wiederum eine Leserichtung von links nach rechts eingeübt. Es kann sich beim Zahlenlesen ein „Konflikt der beiden Richtungsschemata einstellen.“92 Somit ist verständlich, wenn einige Kinder von den Richtungswechseln verwirrt sind und die Reihenfolge zweistelliger Zahlen beim Lesen, Schreiben oder Rechnen verdrehen.

Dabei können folgende Fehlertypen auftreten, die die Notwendigkeit einer sorgfältigen Diagnose verdeutlichen:

- „Inversionen beim Lesen, nicht aber beim Schreiben von Zahlen oder beim Rechnen mit den Zahlen,
- Inversionen beim Schreiben , nicht aber beim Lesen von Zahlen, § Inversionen beim Lesen und beim Rechnen mit den Zahlen.“93

Sowohl Milz als auch Haberland stellen fest, dass linkshändige oder beidhändige Kinder mit Teilleistungsschwächen im mathematischen Denken auffällige Schwierigkeiten haben, die richtige Richtungsschreibung bei zweistelligen Zahlen einzuhalten. Milz ist der Ansicht, das leite sich aus der Sprech- und Schreibweise ab. Haberland meint dagegen, die Kinder würden die Zahlen nach dem Zufallsprinzip vertauschen, da sie unbewusst von rechts nach links arbeiten. Kommen sie dabei durcheinander, schreiben sie z.B. auch 05 statt 50.94

Bei richtungsgestörten Kindern laufen nicht nur die beobachtbaren Handlungen gegen die Norm, sondern vor allem deren Ursachen, also die zugrundeliegenden geistigen Prozesse. Solche Kinder schreiben z.B. nach der Einschulung unsymmetrische Ziffern spiegelverkehrt.95 Lobeck führt Rechenfehler, die im Zusammenhang mit Zahlenlesen auftreten, auf erschwerte visuelle Diskrimination oder Schwierigkeiten in der Wahrnehmung und Reproduktion zeitlicher und räumlicher Abfolgen ( z.B. 62 statt 26), zurück (s.o.).96

Wird der Zahlenraum dann auf 100 erweitert, können diese Kinder ihre Schwierigkeiten nicht mehr hinter der Zahlwortreihe verbergen, sie vertauschen Zehner und Einer beim Lesen und Schreiben. Ein Einblick in das dekadische Positionssystem ist ihnen dadurch nicht möglich, es kommt zu einer beziehungslosen Anhäufung von Zahlworthülsen.97

2.2.3 Störungen auf der Ebene des visuellen Vorstellungsvermögens

Das exakte Erfassen von Formen und Mengen trägt wesentlich dazu bei, arithmetische Operationen durchführen zu können. Deshalb sind differenzierte visuelle Fähigkeiten notwendig.98

Beeinträchtigungen der Auge-Hand-Koordination machen sich häufig erst dann bemerkbar, wenn es zu Lernproblemen kommt. Ob man diese Teilleistungsstörung99 als solche erkennt, ist fraglich, da das Kind nur seine Vermeidungsstrategien und Verhaltensauffälligkeiten zeigt, die auf falsche Fährten führen.100

Ist bereits die Vorstufe, die Hand-Auge-Koordination betroffen, kann die Hand möglicherweise keine geschmeidigen Bewegungen ausführen oder das Auge der Hand nicht durchgängig folgen. Ein motorisch-sensorisches Zusammenspiel kommt nicht in ausreichendem Maße zustande, wovon dann die nächste Stufe, also die Auge-Hand- Koordination betroffen sein kann (Führung des Auges, Folgen der Hand). Durch diese Beeinträchtigung kann es z.B. dazu kommen, dass die Hand an einem Ziel minimal vorbeigreift, sodass eine Richtungskorrektur erfolgen muss.

Es kann aber auch zu einer getrennten Entwicklung der Handmotorik und des visuellen Sinneseindrucks kommen. Diese Kinder orientieren sich nur an dem, was sie sehen und können sich nicht auf das verlassen, was sie ertasten. Im Laufe der kindlichen Entwicklung wird alles erst einmal ergriffen, um es zu begreifen. Folgt also auf ungenaues Greifen, ungenaues Begreifen?101

Die Figur-Grund-Unterscheidung ist ganz wesentlich an „der Fähigkeit zur selektiven Aufmerksamkeit beteiligt“, die nicht nur auf mathematisches Denken beschränkt ist, sondern für alles Lernen und Verhalten benötigt wird.

Sie ist elementare Voraussetzung aller Wahrnehmung: Auge und Hand können nur das erfassen und ergreifen, was sich ausreichend von seiner Umgebung abhebt. Eine deutlich wahrgenommene Gruppierung von Elementen ermöglicht erst das Strukturieren und Umgehen mit Mengen. Auf das mathematische Denken bezogen wird eine Unterscheidung in Figur und Grund beim Erkennen der Stellenwerte, von Reihenfolgen oder beim Zurechtfinden auf der Buchseite oder an der Tafel, benötigt. Verunsicherung entstehen bei einem Kind dann, wenn es eine Figur nicht schnell genug und genau vom Untergrund identifizieren kann. Es kommt dann nicht mit, weiß nicht, was es machen soll. Alle seine Tätigkeiten werden nur langsam ausgeführt.102

Kinder, die Störungen der Formkonstanz aufweisen, reagieren im Verhalten „mehr auf einzelne Elemente als auf das Insgesamt einer Situation Für die Problemlösung in einer bestimmten Situation mag aber die Beachtung vieler Einzelheiten notwendig sein. Die Folge ist, dass das Kind eine falsche oder ungenaue Lösung des Problems bringen wird.“103

Piaget hat Versuche zur Invarianz von Mengen gemacht. Bei zwei aufgereihten Plättchenschlangen, mit der Menge vier, wobei die eine nur weiter auseinander gezogen ist als die andere, betrachtet ein Kind, bei dem die Invarianz von Mengen noch nicht entwickelt ist, nur die Eigenschaft „Länge“, nicht aber das wesentliche Merkmal „Anzahl“. Es gibt an, dass in der längeren Schlange mehr Plättchen liegen würden, obwohl es beobachten konnte, wie diese Reihe auseinander gezogen wurde.

2. Mathematisches Denken und mögliche Störungen 34

2.3 Defizite allgemeiner Fähigkeiten mathematischen Denkens

Dazu zählen neben der Erfassung von logischen Strukturen z.B. „Ablaufstörungen des Zahlenlesens“(s.o.), „Schwierigkeiten beim Aufbau von Automatismen“ (s. Kap. 2.2.1), „Störungen der akustischen Merkfähigkeit“, „Konzentrationsstörungen“ aber auch „motivationelle Störfaktoren“.104

Zu allgemeinen Fähigkeiten mathematischen Denkens gehört auch die Abstraktions- fähigkeit. Ist sie beeinträchtigt, so versteht dieses Kind zwar die Grundregeln des Rechnens, kann zusammenzählen, abziehen, teilen und vervielfachen. Aufgaben kann es jedoch nur handelnd im Umgang mit konkretem Material lösen. Solche Schüler gehören zu den hartnäckigen Zählkindern, während ihre Mitschüler schon lange kein Anschauungsmaterial mehr benötigen. Zusätzlich wirkt sich eine Störung der Konzentrationsfähigkeit auf mathematisches Operieren negativ aus, die Kinder „haben wenig Ausdauer, sind wenig belastbar, übersensibel, reizempfindlich und labil.“105

Als Begleiterscheinung der seelisch oder psychisch bedingten Rechenschwäche (s. dazu Kap. 3.2.1) kann als Folge Unkonzentriertheit auftreten. Der Schüler gerät in einen Teufelskreis.

Will man diesen Teufelskreis, der als negative Lernstruktur bezeichnet wird, durchbrechen, müssen immer die Empfindungen und Gedanken des Schülers, die Leistungen, die sichtbar erbracht wurden und die soziale Umwelt (Lehrer, Familie, Klassenkameraden) mit einbezogen werden. Folgende Übersicht soll helfen das Wirkungsgefüge des Teufelskreises zu verstehen:

- „Stadium 1: Ein Leistungsdefizit wird sichtbar. Der pädagogische Teufelskreis beginnt hier, wenn auf diese ersten Anzeichen mit ungeeigneten pädagogischen Mitteln reagiert wird.
- Stadium 2: Das Kind reagiert sozial auf seine Situation. Es bildet sich Erklärungen für sein Versagen ein, die lernhemmend wirken. Der soziale Teufelskreis beginnt.
- Stadium 3: Lernlücken, Konzentrationsstörungen, Vermeidungsverhalten, Schul- und Versagensangst sowie Streßsymptome treten in Erscheinung. Zu den vorhandenen Teufelskreisen hat sich ein innerpsychischer Teufelskreis gebildet.
- Stadium 4: Es besteht eine stabile negative Lernstruktur mit

Mißerfolgserwartungen. Dies kann sich äußern in depressiven Verstimmungen, psychosomatischen Beschwerden, Außenseiterproblematik usw.“106

Wichtig ist nun, dass der Lehrer den Teufelskreis rechtzeitig erkennt und durchbricht. Wird das Kind nämlich mit zusätzlichen Zeitaufwand mit den gleichen Methoden gefördert, an denen es bereits gescheitert ist, „...besteht die Gefahr, dass es diese Maßnahme als Schikane empfindet.“ Es überträgt das Misstrauen gegenüber der Methode auf die Person des Lehrers.107

Kinder, die in einen Teufelskreis geraten sind, muss gezielt mit einer Therapie geholfen werden, die zunächst mathematische Problemfelder ausklammert und die sich um die Psyche der Kinder kümmert. Dabei soll das Kind Gewissheit über seine Situation erlangen, seine Schwäche als etwas Normales akzeptieren und begreifen, und das Gefühl aufbauen, etwas wert zu sein. Daraus resultieren mehr Selbstsicherheit und Selbstvertrauen.

Aber auch das Umfeld des Kindes sollte bei der Überwindung helfen. So müssen sowohl Eltern als auch Lehrer Verständnis für die Situation des Kindes aufbringen, ihm Zuwendung unabhängig von Leistungen entgegenbringen, keine Vergleiche anstellen, zu denen, die es besser können und keinen Druck ausüben.

Im Hinblick auf den Leistungsbereich müssen die Anforderungen in der Schule eingeschränkt werden auf weniger Rechnen. Dem Kind sollte dafür ausreichend Zeit zur Verfügung gestellt werden, in der es erreichbare Ziele erlangen kann. Dabei helfen ihm ein klarer Ordnungsrahmen und genaue Anleitungen. Wichtig ist vor allem eine richtige und rechtzeitige Hilfestellung.108

Störungen auf der Ebene der Gedächtnisleistung

Die Gedächtnisleistung gehört zusammen mit dem Konzentrationsvermögen zu den kognitiven Stützfunktionen, die zum Lernen fachspezifischer Inhalte benötigt werden.

Kinder mit Lernschwierigkeiten sind deshalb guten Lernern unterlegen, weil sie über weniger effektive Kodierungs- und Memorierungsstrategien verfügen.109 Die Entwicklung dieser Strategien ist sowohl Voraussetzung als auch Ergebnis sämtlicher bewusst erfolgter Lernprozesse. Mängel in diesen Bereichen sowie im Bereich der kognitiven Fähigkeiten, führen zwangsläufig zu Schwierigkeiten bei der Ausbildung eines Verständnisses für mathematische Begriffe und Verfahren bzw. auch zu Problemen im Erkennen von Zusammenhängen.110 Der Aufbau eines Begriffs- systems, das Operieren mit Begriffen und das selbstständige Lösen von Aufgaben ist damit beeinträchtigt.111

Es gibt nie ein gutes oder schlechtes Gedächtnis, sondern nur gut oder schlecht entwickelte Fähigkeiten mit dem eigenen Gedächtnis umzugehen.

Kinder mit Gedächtnisschwierigkeiten zeigen auf der Stufe der symbolischen Darstellung Fehler in der falschen Zusammensetzung von Zahlen und Symbolen.112 Oder sie wissen beim Zählen nicht, welches Zahlwort als nächstes kommt, obwohl sie die Zählreihe beherrschen. Sie zählen stockend und müssen überlegen, welches Zahlwort folgt. Finden sie es nicht, beginnen sie die Reihe wieder von vorne. Bei solchen Störungen handelt es sich meistens um eine Entwicklungsbeeinträchtigung oder -verzögerung und muss als Teilleistungsstörung berücksichtigt und behandelt werden.113

Um ihr Gedächtnis zu entlasten, nutzen Kinder, die zählende Rechner sind, bei größeren Zahlen, Gegenstände im Klassenraum, nachdem der Lehrer das „offene Fingerzählen“ verboten hat. Jedoch hilft ihnen diese Strategie nicht weit über die 1. Klasse hinaus, da das Kurzzeitgedächtnis bei Aufgaben mit größeren Zahlen überlastet wird.114 Kinder mit einer Orientierungsstörung haben häufig ein gut ausgeprägtes sprachliches Gedächtnis. Sie wenden es an, um damit ihre Schwäche zu kompensieren. „Dies kommt ihnen beim Auswendiglernen sprachlicher Ketten zugute.“ Gedächtnisprobleme sind natürlich nicht nur auf das Lernen mathematischer Inhalte beschränkt, sie können sich auch so im Unterricht äußern.

Ist das Verstehen von Anweisungen nicht gewährleistet, weil deren Fülle zu groß ist, bedienen sich diese Kinder bestimmter Strategien, indem sie z.B. immer noch einmal nachfragen oder Anweisungen und Zwischenlösungen von Aufgaben leise vor sich hinmurmeln.115

Störungen auf der Ebene der Sprache und des Sprachverständnisses Neben der Basis eines großen handelnden, räumlichen und visuellen Anteils benötigt die Mathematik auch grundlegende sprachliche Fähigkeiten, wie beispielsweise „verbalakustische Differenzierung und Gliederung“. So werden Sprachwahrnehmungsstörungen als Verursacher von Lernschwächen angenommen.116

Bei der verbal-akustischen Differenzierung ist zu klären, ob das Kind sprachliche (ähnliche) Vorgaben unterscheiden kann. In der Mathematik wirken sich unklare Unterscheidungen von ähnlich klingenden Zahlen aus (vierzehn-vierzig). Bei der verbal-akustischen Gliederung geht es um die Frage, ob Kinder wahrgenommene Unterschiede lokalisieren und beschreiben können. Störungen hierbei erschweren das Verständnis für sprachlich gegebene Informationen. Trotz Veranschaulichung und Handeln im Unterricht wird Mathematik vornehmlich sprachlich vermittelt.117

Kinder, die Sprachprobleme haben, werden also von einem meist sprachlich vermittelten Mathematikunterricht nicht profitieren können. Es müssen „Aufgabenstellungen über eine längere Zeit handelnd und bildhaft dargeboten werden“. Das Kind muss lernen, seine Handlungen mit Sprache zu begleiten bzw. zu unterstützen. Sprachverständnisstörungen können zu einem fehlerhaften Aufbau innerer Vorstellungsbilder führen.118

Einige Kinder können Texte nicht eindeutig entschlüsseln. Sie haben Probleme beim Verstehen von Wortbedeutungen und syntaktischen Zusammenhängen. Bei Rechenaufgaben, die nicht in einen Text eingebunden sind, zeigen diese Kinder keine Probleme. Somit kann eine Störung der Leseleistung zu einer Beeinträchtigung des Lernprozesses führen, weil keine angemessene Dekodierung der Aufgabe stattfinden kann.

[...]


1 An dieser Stelle ist es mir wichtig, der Darstellung meiner individuellen Beweggründe im Hinblick auf die Themenwahl den Vorrang vor der Gliederung zu geben. Da diese aus dem vorangestellten Inhaltsverzeichnis zu entnehmen ist, erscheint es mir unnötig, noch einmal alle dort genannten Aspekte auszuführen.

2 Vgl.: Brandl, 1992, S. 9

3 Lorenz/ Radatz, 1993, S. 4

4 Vgl.: Knollmann/ Spiegel, 1999, S. 17

5 Vgl.: Keck/ Sandfuchs, 1994, S. 254

6 Vgl.: Keck/ Sandfuchs, 1994, S. 254

7 Lorenz/ Radatz, 1993, S. 4

8 Vgl.: Ganser, 1997, S. 6

9 Vgl.: Weinschenk, 1975, S. 46

10 Vgl.: Krüll, 1996, S. 42

11 Vgl.: Milz, 1994, S. 10 f.

12 Vgl.: Müller/ Wittmann, 1978, S. 18

13 Weinschenk, 1975, S. 41

14 Vgl.: Müller/ Wittmann, 1978, S. 147

15 Vgl.: Milz, 1994, S. 11

16 Vgl.: Schulz, 1992b, S. 24

17 Milz, 1994, S. 11

18 Milz, 1994, S. 11

19 Vgl.: Milz, 1994, S. 33

20 Vgl.: Milz, 1994, S. 33

21 Vgl.: Milz, 1994, S. 34

22 Milz, 1994, S. 13

23 Vgl.: Milz, 1994, S. 14

24 Milz, 1994, S. 31, Haberland geht von einer angeborenen Seitigkeit aus.

25 Vgl.: Haberland, 1995, S. 11 ff.

26 Vgl.: Milz, 1994, S. 18 f.

27 Vgl.: Milz, 1994, S. 19

28 Vgl.: Milz, 1994, S. 22 f.

29 Vgl.: Milz, 1994, S. 26

30 Milz, 1994, S. 27

31 Vgl.: Milz, 1994, S. 26 f.

32 Schwarz, 1999, S. 34

33 Vgl.: Krüll, 1996, S. 44 f.

34 Krüll, 1996, S, 44 f.

35 Vgl.: Krüll, 1996, S. 46

36 Vgl.: NLI-Bericht, 1994, S. 11

37 Vgl.: Schulz, 1993, S. 30

38 Vgl.: Lorenz/ Radatz, 1993, S. 37

39 Vgl.: Lorenz/ Radatz, 1993, S. 178

„kompliziertes funktionelles

40 Vgl.: Milz, 1994, S. 48

41 Vgl.: Lorenz/ Radatz, 1993, S. 31

42 Vgl.: Lorenz/ Radatz, 1993, S. 41

43 Vgl.: Lorenz/ Radatz, 1993, S. 68

44 Schulz, 1994, S. 22

45 Vgl.: NLI-Bericht, 1994, S. 11

46 Lorenz/ Radatz, 1993, S. 22

47 Vgl.: Lorenz/ Radatz, 1993, S. 17

48 Lorenz/ Radatz, 1993, S. 22

49 Vgl.: Lorenz, 1984; Gamber, 1983, 1984, zitiert nach Lorenz/ Radatz, 1993, S. 22

50 Vgl.: Lempp, 1981, S. 112, zitiert nach Lorenz/ Radatz, 1993, S. 22; s. dazu Kap. 3.1.2, Hervorheb. i. Orig.

51 Vgl.: Schilling/ Prochinig, 1997, S. 12

52 Vgl.: Lorenz/ Radatz, 1993, S. 23, s. dazu Kap. 3.1.3

53 Vgl.: Johnson/ Myklebust, zitiert nach Lobeck, 1996, S. 64

54 Vgl.: Milz, 1994, S. 16

„müssen wir die Entwicklung

55 Milz, 1994, S. 10

56 Vgl.: Milz, 1994, S. 12

57 Vgl.: Remschmidt, 1991, S. A-2397

58 Vgl.: Remschmidt, 1991, S. A-2397

59 Vgl.: Milz, 1994, S. 50

60 Vgl.: Lorenz, 1991, S. 55 ff.

61 Vgl.: Gage/ Berliner, 1996, S. 120

62 Vgl.: Schulz, 1992b, S. 24

63 Vgl.: Milz, 1994, S. 50

64 Vgl.: Gerster, 1994, S. 35

65 Vgl.: Dörfler, zitiert nach Lorenz, 1991, S. 63

66 Vgl.: Figur-Grund-Unterscheidung, s. dazu Kap. 2.2.3 und Kap. 1.2.2

67 Vgl.: Milz, 1994, S. 53

68 Vgl.: Grissemann/ Weber, 1982, S. 44

69 Vgl.: Ganser, 1997, S. 44

70 Vgl.: Milz, 1994, S. 56

71 Vgl.: Milz, 1994, S. 56

72 Vgl.: Milz, 1994, S. 59 ff.

73 Vgl.: Lorenz, 1991, S. 65 f.

74 Vgl.: Krüll, 1996, S. 32, S. 36

75 Vgl.: Milz, 1994, S. 61

76 Vgl.: Lobeck, 1996, S. 184

77 Vgl.: dazu Kap. 4.3

78 Vgl.: Milz, 1994, S. 62

79 Vgl.: Milz, 1994, S. 63 f.

80 Vgl.: Keck/ Sandfuchs, 1994, S. 222

81 Vgl.: dazu Kap. 5.3.1

82 Vgl.: Milz, 1994, S. 63 f.

83 Vgl.: Milz, 1994, S. 64

84 Schwarz, 1999, S. 30

85 Vgl.: Schwarz, 1999, S. 32 f.

86 Milz, 1994, S. 11

87 Vgl.: Milz, 1994, S. 35

88 Vgl.: Milz, 1994, S. 33 f.

89 Vgl.: Schenk-Danzinger, 1984, zitiert nach Lobeck, 1996, S. 62

90 Vgl.: Milz, 1994, S. 33 f.

91 Vgl.: Lobeck, 1996, S. 60 f.

92 Vgl.: Grissemann, 1974, S. 26

93 Scherer, 1997, S. 270

94 Vgl.: Milz, 1994, S. 35, Vgl.: Haberland, 1995, S. 24 f.

95 Vgl.: Haberland, 1995, S. 22 f.

96 Vgl.: Lobeck, 1996, S. 60

97 Vgl.: Haberland, 1995, S. 22 f.

98 Vgl.: Ganser, 1997, S. 47

99 Vgl. dazu Kap. 2.1.1

100 Vgl.: Milz, 1994, S. 21

101 Vgl.: Milz, 1994, S. 20

102 Vgl.: Milz, 1994, S. 24 f.

103 Milz, 1994, S. 27

104 Vgl.: Grissemann, 1974, S. 35

105 Vgl.: Schilling/ Prochinig, 1997, S. 13, vgl. dazu Kap. 4.3

106 Vgl.: Betz/ Breuninger, 1987, zitiert nach NLI-Bericht, 1994, S. 8 f., Hervorheb. i. Orig.

107 Vgl.: NLI-Bericht, 1994, S. 9

108 Vgl.: Ganser, 1997, S. 19

109 Vgl.: Schulz, 1994, S. 8

110 Vgl.: Schulz, 1992a, S. 22

111 Vgl.: Schulz, 1993, S. 30

112 Vgl.: Lorenz/ Radatz, 1993, S. 32

113 Vgl.: Milz, 1994, S. 56

114 Vgl.: Lorenz/ Radatz, 1993, S. 116

115 Vgl.: Lorenz/ Radatz, 1993, S. 47

116 Vgl.: Mages, 1995, zitiert nach Ganser, 1997, S. 51

117 Vgl.: Ganser, 1997, S. 52

118 Vgl.: Lorenz/ Radatz, 1993, S. 31

Details

Seiten
188
Jahr
2001
ISBN (eBook)
9783638128063
Dateigröße
3.8 MB
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v4568
Institution / Hochschule
Universität Hildesheim (Stiftung) – Institut für Mathematik und Angewandte Informatik
Note
3
Schlagworte
Mathematik Förderung Einzelförderung Rechenschwäche Dyskalkulie Grundschule Mathematisches Denken und mögliche Störungen Diagnostische Verfahren zur Lernstandsbestimmung Förderdiagnostik

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Titel: Einzelförderung einer Schülerin im 3. Schuljahr im Rahmen spezieller Fördermöglichkeiten im Mathematikunterricht einer Grundschule