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Stochastische Begriffsvermittlung im funktionalen Grammatikunterricht

Eine Studie zu den stochastischen Grundbegriffen Zufallsversuch, Ergebnis, Ergebnismenge und Ereignis

Ausarbeitung 2018 105 Seiten

Didaktik - Mathematik

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

1 Didaktischer Problemaufriss
1.1 Definitionen
1.2 Lehrplanüberblick
1.3 Relevanz der Begriffsvermittlung
1.4 Didaktischer Problemaufriss des Begriffs Zufallsversuch
1.5 Didaktischer Problemaufriss der Begriffe Ergebnis, Ergebnismenge und Ereignis
1.6 Unterrichtsgestaltung
1.7 Lehrbuchanalyse

2 Funktionaler Grammatikunterricht
2.1 Von der funktionalen Sprachbetrachtung zur funktionalen Grammatik
2.1.1 Funktionale Sprachbetrachtung
2.1.2 Grundlagen der funktionalen Grammatik
2.1.3 Der Funktionsbegriff
2.1.3.1 Der Funktionsbegriff nach Wilhelm Köller
2.1.3.2 Der Funktionsbegriff nach Günther Einecke
2.1.4 Schlussfolgerungen für den funktionalen Grammatikunterricht
2.2 Praktische Konzepte zur Anwendung des funktionalen Grammatikunterrichts
2.2.1 Prinzipien des Grammatikunterrichts nach Wilhelm Köller
2.2.1.1 Das Prinzip der Verfremdung
2.2.1.2 Das Prinzip der operativen Produktivität
2.2.1.3 Das genetische Prinzip
2.2.1.4 Das funktionale Prinzip
2.2.1.5 Das integrative Prinzip
2.2.2 Varianten der Integration nach Günther Einecke
2.2.2.1 Induktiv einführen
2.2.2.2 An Stoffe anbinden
2.2.2.3 Situativ aufgreifen
2.2.2.4 Wiederholung
2.2.2.5 Im Exkurs ergänzen
2.3 Der funktionale Grammatikunterricht in der Fachdiskussion

3 Theorieübertragung
3.1 Die Funktionen des Modells Zufallsversuch und dessen Grenzen
3.2 Mengenlehre – Erschließen des begrifflichen Zusammenhangs
3.3 Gestaltung von Übungen am Beispiel Ergebnis und Ereignis
3.3.1 Lückentext
3.3.2 An einem konkreten Fall begründen
3.3.3 Begriffe auf einen Zufallsversuch anwenden
3.3.4 Mit Mengen von Ereignissen arbeiten

Thesenartige Zusammenfassung

Literaturverzeichnis

Anhang
Fragebogen Lehrer*innen
Lehrerinterviews
Lehrbuchseiten Elemente der Mathematik, S. 72–81
Lösungen der wiederholenden Übung des Kapitels 3.2
Lösungen der Übungskonzeptionen des Kapitels 3.3

Selbstständigkeitserklärung

Einleitung

„Die Frage, ob Forschung und Lehre sich interdisziplinär aufzustellen haben, stellt sich schon lange nicht mehr.“

Ulrich Marsch, Sprecher der Technischen Universität München

Ulrich Marsch gibt mit dieser Aussage einen Einblick in den heutigen Studien- und Forschungsalltag: Um für komplexe Fragen zukunftsfähige, perspektivreiche Lösungen zu entwickeln, entstehen immer mehr fachübergreifende Fakultäten und Studiengänge, interdisziplinäres Denken wird wichtiger (vgl.Junghans-Knoll 2018).

Diese Besondere Lernleistung knüpft an diesen Ansatz im Bereich der Didaktik an und greift dabei die Fragestellung auf, ob zwischen den scheinbar fernen Fächern Mathematik und Deutsch ebenfalls eine Brücke geschlagen werden kann. Ziel dieser Arbeit soll es sein, Lösungsansätze für eine mathematik-didaktische Problemstellung mit Ideen einer Theorie der Deutschdidaktik zu entwickeln.

Der sächsische Lehrplan – auf welchen ich mich im Folgenden stützen werde – verfolgt ein Spiralprinzip und behandelt mithin jedes Jahr ähnliche Themengebiete, die immer wieder neu und auf höherer Komplexitätsstufe aufgegriffen werden. Die Stochastik bildet diesbezüglich einen Sonderfall: Während der Lehrplan für die Klassenstufe 8 einen großen Lernbereich zu Zufallsversuchen und Wahrscheinlichkeit vorsieht, existieren in den Folgejahren der Sekundarstufe I nur kurze stochastische Themenbereiche, welche zudem auch die Statistik und diskrete Zufallsgrößen umfassen. Daher bauen sie nur bedingt auf altem Unterrichtsstoff auf, weshalb die Aufgabe erwächst bereits in Klassenstufe 8 einen nachhaltigen Kompetenzaufbau sicherzustellen. Ansätze hierfür sollen für die Begriffe Zufallsversuch, Ergebnis, Ergebnismenge und Ereignis mit Hilfe von Grundideen des funktionalen Grammatikunterrichts ermittelt werden.

Nach einer Definition dieser Begriffe (siehe 1.1) und einem noch intensiveren Blick auf den Lehrplan (siehe 1.2) führe ich aus, weshalb die Begriffsvermittlung von besonderer Bedeutung ist. Dabei beschränke ich mich auf die vier stochastischen Grundbegriffe Zufallsversuch, Ergebnis, Ergebnismenge und Ereignis, da diese zur ersten Termini zählen, die die Schüler*innen in der 8. Klasse kennenlernen und zwischen diesen aufgrund ihrer linguistisch-phonetischen sowie semantischen Nähe das größte Problempotenzial zu vermuten war. Es lässt sich nicht ausschließen, dass sich weitere Begriffe zu den stochastischen Grundbegriffen zuordnen lassen, die ich für eine umfangreiche Erläuterung der vier oben genannten Begriffe allerdings ausgrenze. Anhand der gewählten stochastischen Grundbegriffe werden die Probleme ihrer Vermittlung ausgearbeitet, die im dritten Kapitel behandelt werden; dies geschieht stets unter Einbezug von Interviews aktiv unterrichtender Mathematiklehrer*innen, in welchen diese auch über ihre Unterrichtgestaltung (siehe 1.6) befragt werden. Abschließend erfolgt eine Analyse des Lehrbuchs „Elemente der Mathematik. Sachsen. 8. Schuljahr. Braunschweig: Schroedel, 2015.“ (siehe 1.7). In diesem Zusammenhang gilt die Fokussierung sowohl der Vermittlung als auch der Betrachtung der zugrundeliegenden Materialien der stochastischen Begriffsvermittlung.

Das zweite Kapitel stellt den funktionalen Grammatikunterricht als Didaktiktheorie vor. Er bietet die Basis für die Lösungsansätze mit Blick auf die ermittelten Problemfelder und kann damit als Vehikel gesehen werden, das der stochastischen Begriffsvermittlung neue Perspektiven eröffnet. Aufgrund der Anwendungsbezogenheit, indem die Funktionen grammatischer Phänomene immer wieder in den Fokus gerückt werden, nimmt der funktionale Grammatikunterricht unter den Grammatikdidaktiken eine Sonderstellung ein. Diese Herangehensweise kann, auch im Mathematikunterricht, einen nachhaltigeren Lernprozess ermöglichen und fördern, denn die Schüler*innen[1] müssen stets mit einem Verständnis und nicht nur mit einem stupiden Auswendiglernen agieren.

Im letzten Kapitel soll schließlich der Versuch unternommen werden, Lösungsansätze für die im ersten Kapitel aufgeworfenen Problemstellungen der stochastischen Begriffsvermittlung zu entwickeln. Dabei erfolgt eine interdisziplinäre Wissensrezeption, in der die Ansätze des funktionalen Grammatikunterrichts auf die mathematik-didaktischen Problemstellungen übertragen werden. Daraus resultieren konkrete Unterrichtssequenzen, wie bspw. die Vermittlung der Zusammenhänge der Begriffe Ergebnismenge, Ergebnis und Ereignis mit Hilfe der Mengenlehre (siehe 3.2) sowie im Unterricht anwendbare Übungstypen (siehe 3.3), welche an tatsächlichen Beispielaufgaben erklärt werden.

1 Didaktischer Problemaufriss

1.1 Definitionen

Unter einem Zufallsversuch oder Zufallsexperiment

versteht man reale Vorgänge (Versuche) unter exakt festgelegten Bedingungen, wobei die möglichen Ausgänge (Ergebnisse) des Versuchs feststehen, nicht jedoch, welchen Ausgang der Versuch nimmt. Ferner wird angenommen, dass der reale Vorgang (im Prinzip) unter gleichen Bedingungen (beliebig) oft wiederholt werden kann. (Kütting 2011, S. 89f.)

Ein typisches Beispiel ist das Werfen eines sechsseitigen Würfels. Es gibt sechs verschiedene Versuchsausgänge: Eine Eins wurde gewürfelt, eine Zwei wurde gewürfelt, eine Drei wurde gewürfelt, eine Vier wurde gewürfelt, eine Fünf wurde gewürfelt oder eine Sechs wurde gewürfelt. Dabei steht im Vorhinein nicht fest, welche Seite des Würfels oben liegen wird. Man kann das Würfeln beliebig oft wiederholen und das scheinbar unter stets gleichen Bedingungen. Letzteres deutet bereits darauf hin, dass der Begriff Zufallsversuch gewisse Schwachstellen aufweist. Das liegt insbesondere daran, dass bei diesem Begriff von einem realen Vorgang ausgegangen wird, wobei er zeitgleich theoretischen Idealbedingungen zugrunde liegt. So kann sich ein Würfel z.B. im Laufe der Zeit abnutzen, wodurch sich die Wahrscheinlichkeiten verschieben und folglich keine gleichen Bedingungen mehr herrschen (vgl. Kütting 2011, S. 90).

Dennoch ist der Begriff Zufallsversuch ein wichtiger Terminus, weil mit ihm der Raum für die Begriffe Ergebnis, Ergebnismenge und Ereignis aufgespannt wird. Dabei versteht man unter einer Ergebnismenge, die Menge aller möglichen Versuchsausgänge eines Zufallsversuchs, die mit Ω bezeichnet wird. Demnach könnte die Ergebnismenge für das Würfeln eines Hexaeders, wie bereits beschrieben, Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6} lauten. Hierbei steht die Ziffer 1 z.B. für den Versuchsausgang, bei dem eine Eins gewürfelt wurde. Allerdings genügt es je nach Ziel des Zufallsexperiments auch, ausschließlich zwischen ungeraden und geraden Zahlen zu unterscheiden, sodass sich ebenfalls eine Ergebnismenge Ω={u, g}[2] ergeben kann. Als weiteres Beispiel sei das Werfen einer Münze angeführt, dabei ergibt sich Ω={z, k}. Die Ergebnismenge wird stets in geschweiften Klammern und mit Kommata oder Semikola abgetrennt. Ihre einzelnen Elemente werden mit bezeichnet, sodass man eine Ergebnismenge auch alternativ als beschreiben kann. Eine Ergebnismenge ist zudem nie leer und enthält entweder eine endliche Menge, wie die eben beschriebenen Beispiele des Würfelns oder des Münzwurfs, oder eine unendliche Menge. Eine unendliche Ergebnismenge ist ein zumeist unvorhersehbares Quantum an möglichen Ergebnissen wie bspw. bei folgendem Zufallsversuch: Es soll die Anzahl der Würfe eines sechsseitigen Hexaeders beobachtet werden, die man benötigt, um eine Sechs zu würfeln. Für die Anzahl der Würfe und somit die Anzahl der Elemente in der Ergebnismenge kann keine mit Sicherheit feststehende natürliche Zahl angegeben werden. Es entsteht folglich eine unendliche Ergebnismenge Ω = {1,2,3,4,5,...} (vgl. Kütting 2011, S. 90f.).

Ein Ergebnis ist genau ein Element dieser Ergebnismenge. Genauer gesagt: Das Element, das man beim konkreten Versuchsausgang erhält, folglich ergibt sich dadurch das Ergebnis Zahl oder Kopf beim Werfen einer Münze, je nachdem auf welche Seite sie im realen Zufallsexperiment landet.

Zu unterscheiden ist hiervon der Begriff Ereignis. Mit einem Ereignis wird jede beliebige Teilmenge von Ω beschrieben. Dabei wird zur Beschreibung stets ein Großbuchstabe ggf. auch mit Index genutzt. Ein Ereignis A für das Zufallsexperiment Würfeln eines bezifferten Hexaeders könnte demnach Würfeln einer Primzahl lauten, woraus sich die zugehörige Menge A={2,3,5} ergibt. Das Ereignis A ist nun eingetreten, wenn beim Würfeln eines dieser drei Ergebnisse gewürfelt wird (vgl. Kütting 2011, S. 92).

Diese Menge A muss jedoch vom Terminus der Ereignismenge differenziert werden, welche auch häufig als Ereignisraum oder Potenzmenge bezeichnet wird. Sie umfasst nicht nur eine Menge eines Ereignisses, sondern alle möglichen Teilmengen eines Zufallsexperiments. Bei einer endlichen Ergebnismenge kann die Anzahl A ihrer Teilmengen-Elemente, die als Mächtigkeit definiert ist über berechnet werden. Beim Würfeln eines bezifferten Hexaeders ergibt sich mithin eine Mächtigkeit von 26=64. Demzufolge sind 64 verschiedene Mengen von Ereignissen möglich (vgl. Weber 1992, S. 13).

In der Ereignismenge lassen sich alle Sonderfälle der Ereignisse finden: Dabei kann das Ereignis wie das Ergebnis ausschließlich ein Element der Ergebnismenge beschreiben. In diesem Fall wird das Ereignis als Elementarereignis bezeichnet. Im Beispiel des Würfelns eines Hexaeders stellt bspw. das Ereignis B={2} ein Elementarereignis dar. Dies tritt ein, sobald eine Zwei gewürfelt wird. Überdies kann das Ereignis eine leere Menge beschreiben. Exemplarisch hierfür dient das Ereignis C – Würfeln einer 7, was mit einem sechsseitigen Würfel unmöglich ist. Aus diesem Grund umfasst das Ereignis, als Teilmenge der Ergebnismenge, eine leere Menge, woraus sich die Bezeichnung unmögliches Ereignis ergibt. Eine weitere uneigentliche Teilmenge der Ergebnismenge bildet das sichere Ereignis. Dieses enthält alle Elemente der Ergebnismenge und tritt folglich in jedem Versuchsausgang ein, sodass in diesem Fall Ergebnismenge und die Menge des Ereignisses gleich sind (vgl. Kütting 2011, S. 92).

Im Umgang mit Ereignissen erweist sich zusätzlich der Begriff Gegenereignis bzw. Komplementärereignis als vorteilhaft. Man gibt dieses als des Ereignisses E an. Das Gegenereignis umfasst alle Elemente der Ergebnismenge, die nicht im eigentlichen Ereignis enthalten sind. Daher lassen sich auch die Wahrscheinlichkeiten wechselseitig erschließen: Das Ereignis und das Gegenereignis müssen in der Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten stets Eins ergeben. Demnach ergibt sich . Dieser Zusammenhang kann in der Wahrscheinlichkeitsberechnung gewinnbringend eingesetzt werden, was am folgenden Beispiel näher erklärt wird: Als Zufallsversuch dient das dreimalige Würfeln eines hexaedrischen Würfels mit sechs verschiedenen Ziffern. Dabei wird das Ereignis D – Würfeln mindestens einer Sechs mit der zugehörigen Teilmenge D={gnn;ngn;nng;ggn;gng;ngg;ggg}[3] sowie das damit einhergehende Gegenereignis – Würfeln keiner Sechs mit der Teilmenge {nnn} näher beleuchtet. Um die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses D ohne die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses auszurechnen, müssten die Wahrscheinlichkeiten aller Tripel addiert werden. Je größer die Ergebnismenge wird, desto umfangreicher werden diese Berechnungen. Deshalb ist es an dieser Stelle sinnvoll, auf das Gegenereignis und dessen Wahrscheinlichkeit zurückzugreifen, insbesondere wenn diese, wie im Beispiel, nur ein Element enthält. In diesem Fall lässt sich der bereits oben aufgegriffene Zusammenhang zu umformen, sodass die Berechnung der Wahrscheinlichkeit erheblich leichter wird, da sodann ausschließlich die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses benötigt wird. Im Beispiel kann die Wahrscheinlichkeit demnach folgendermaßen ermittelt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese Wahrscheinlichkeitsberechnung ist demnach besonders effektiv, wenn das Gegenereignis eine sehr viel kleinere Menge aufweist als das Ereignis.

1.2 Lehrplanüberblick

Das Stoffgebiet Zufallsversuche ist als zweiter Lernbereich der Klassenstufe 8 angesiedelt. Es umfasst regulär 24 Unterrichtsstunden (vgl. Bildungsinstitut, Lehrplan Gymnasium Mathematik 2013, S. 22).

Dabei kann auf das Vorwissen der Schüler*innen in verschiedener Hinsicht zurückgegriffen werden: Ab Klassenstufe 5 arbeiten die Schüler*innen v.a. im Zusammenhang mit dem Lernbereich 1 Arbeiten mit natürlichen Zahlen und Brüchen mit der Darstellung von Diagrammen, in denen inhaltlich die Begriffe absolute und relative Häufigkeit aufgegriffen werden (vgl. Bildungsinstitut, Lehrplan Gymnasium Mathematik 2013, S. 8). Durch diesen Lernbereich wird überdies der Zahlbereich der natürlichen Zahlen eingeführt. Spätestens im ersten Lernbereich Arbeiten mit gebrochenen Zahlen der Klassenstufe 6 erfolgt die Zahlbereichserweiterung auf den Zahlbereich + der gebrochenen positiven Zahlen. Dabei sollten die Zahlbereiche und + in ihrem Zusammenhang und mit Hilfe eines Mengendiagramms behandelt werden, was vorausschauend wichtig ist für die in der Stochastik notwendige Mengenlehre. Ferner werden spätestens an dieser Stelle die Begriffe Element, Menge und Teilmenge definiert (vgl. Bildungsinstitut, Lehrplan Gymnasium Mathematik 2013, S. 13). Allerdings kann dies ggf. bereits in Klassenstufe 5 im zweiten Lernbereich Lagebeziehung geometrischer Objekte geschehen, in dem u.a. die Lagebeziehung von Geraden untersucht werden soll. Demnach kann die Lagebeziehung zwischen einem Punkt und einer Geraden ermittelt und darüber der Begriff des Elements eingeführt werden. Daraus ergibt sich, dass der Punkt als ein Element der Gerade definiert wird, wenn er in der Geraden liegt (vgl. Bildungsinstitut, Lehrplan Gymnasium Mathematik 2013, S. 9). Die bereits angesprochene absolute und relative Häufigkeit wird zudem im zweiten Lernbereich Zuordnungen in der Umwelt der Klassenstufe 6 vertieft und ebenfalls spätestens an dieser Stelle fachlich exakt definiert (vgl. Bildungsinstitut, Lehrplan Gymnasium Mathematik 2013, S. 14).

Trotz dieses Vorwissens erscheint den Schüler*innen der Lernbereich Zufallsversuche sehr neu, was v.a. daran liegt, dass in den vorherigen Jahren kein Bezug zu stochastischen Themen hergestellt worden ist. Aus diesem Grund ist es nicht erstaunlich, dass in diesem Lernbereich vorrangig Grundlagen gelegt und Bezüge hergestellt werden müssen. Dazu gehören sowohl das Durchführen und Auswerten von Zufallsversuchen als auch das Erlernen vieler Begriffe. Dies sind zunächst die Termini Zufallsversuch, Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis sowie absolute und relative Häufigkeit, worauf aufbauend der Wahrscheinlichkeitsbegriff und das Laplace-Experiment eingeführt werden können. Daraufhin folgen zusätzlich die Erklärungen der Termini zu mehrstufigen Zufallsversuchen wie das Urnenmodell oder das Baumdiagramm sowie die Erklärung der Pfadregeln. Überdies müssen die logischen Begriffe UND, ODER und NICHT in Abgrenzung zur Umgangssprache gelehrt werden (vgl. Bildungsinstitut, Lehrplan Gymnasium Mathematik 2013, S. 22). Bereits an dieser Stelle wird die hohe Begriffslastigkeit im Gegensatz zu anderen Themenbereichen deutlich.

Neben dem Begriffslernen sollen die Schüler*innen auch praktisch tätig werden. Sie sollen bspw. selbst mehrstufige Zufallsversuche modellieren und Wahrscheinlichkeiten zu Laplace-Experimenten aufstellen. Damit müssen sie die anfangs eingeführte Termini selbst anwenden. Außerdem sollen die Schüler*innen mit Hilfe eines Computers bzw. dem Einsatz ihres Grafiktaschenrechners einen Einblick in die Simulation von Zufallsversuchen gewinnen und erste kombinatorische Überlegungen anstellen (vgl. ebd.).

Demzufolge ist der Lernbereich Zufallsversuche ein sehr zentrales und umfangreiches Themengebiet. Es werden die Grundlagen gelegt, die zum Großteil erst in der Sekundarstufe II wieder aufgegriffen werden (vgl. Bildungsinstitut, Lehrplan Gymnasium Mathematik 2013, S. 43), was insbesondere an der Kürze der stochastischen Themengebiete in den Folgejahren liegt. Diese umfassen in den Klassenstufen 9 und 10 in Summe nur noch 28 Unterrichtsstunden, was beinahe der Stundenzahl der 8. Klassenstufe entspricht. Erschwerend kommt hinzu, dass der stochastische Lernbereich Auswerten von Daten der Klassenstufe 9 fast gar nicht auf dem Themengebiet der Klassenstufe 8 aufbaut. Stattdessen wird ein neuer Themenbereiche der Stochastik – die Statistik angerissen. In diesem lernen die Schüler*innen Begriffe wie das arithmetische Mittel, den Median oder die Standardabweichung. Problematisch dabei ist, dass es dadurch nur wenig Anknüpfungspunkte für die Wiederholung des Stoffes der Klasse 8 gibt.

Die Klassenstufe 10 bietet mit dem Lernbereich Diskrete Zufallsgrößen hingegen gute Anknüpfungspunkte sowohl für den Stoff der Klassenstufe 8 als auch der Klassenstufe 9. Die Schüler*innen sollen demnach bspw. Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen errechnen, dabei sollen auch Formulierungen wie mindestens, höchstens oder genau k verstärkt einbezogen werden. Des Weiteren enthält dieses Themengebiet die Veranschaulichung von Daten in Diagrammen, wodurch die absolute und relative Häufigkeit vertieft und die Verwendung der Pfadregeln und Abzählverfahren wiederholt wird. Mit dem Herstellen eines Zusammenhangs zwischen Erwartungswert, Zufallsgröße und den statistischen Begriffen wie bspw. dem arithmetischen Mittel oder der Standardabweichung soll zugleich der Stoff der 9. Klasse aufgefrischt werden (vgl. Bildungsinstitut, Lehrplan Gymnasium Mathematik 2013, S. 30).

Allerdings ist dies häufig nur eine irreale Imagination, denn die Zeit dieses Lernbereiches ist mit 16 Unterrichtsstunden sehr begrenzt, sodass keine Zeit für eine ausreichende Wiederholung der Begriffe und Verfahren der vorherigen Klassenstufen und zugleich der Einführung des neuen Stoffs bereitgestellt wird (vgl. ebd.).

Es zeigt sich mithin, dass der eigentlich aufbauende Charakter des Lehrplans als Spiralcurriculum im Bereich der Stochastik nur bedingt funktioniert. Demnach wäre eine Revision des Lehrplans wünschenswert. Ohne eine derartige Überarbeitung erwächst jedoch zugleich die Aufgabe für die Lehrer*innen, einen intensiven, nachhaltigen Unterricht in der Klassenstufe 8 zu führen, denn die Grundlagen, die an in diesem Lernbereich geschaffen werden, können aufgrund der Kürze der Themengebiete in den Folgejahren nur oberflächlich wiederholt werden. In der Oberstufe werden die stochastischen Grundbegriffe sowie einfache stochastische Berechnungen wie bspw. die Ermittlung verschiedener Wahrscheinlichkeit eines mehrstufigen Zufallsversuchs jedoch vorausgesetzt.

Zugleich umfasst der Stochastik-Themenkomplex der Sekundarstufe II mit insgesamt 56 Unterrichtsstunden im Leistungskurs und 30 Unterrichtsstunden im Grundkurs einen erheblichen Anteil, wodurch die Abiturprüfung ebenfalls eine entsprechende Aufgabenanzahl enthält.

1.3 Relevanz der Begriffsvermittlung

Wie bereits im Lehrplanüberblick (siehe 1.2) verdeutlicht, stellen die Begriffe Zufallsversuch, Ergebnismenge, Ergebnis und Ereignis neben absoluter und relativer Häufigkeit die ersten Begriffe dar, die die Schüler*innen im Rahmen des Stochastikunterrichts erlernen. Sie sind daher die Basis für das Verständnis weiterer stochastischer Operationen wie bspw. das Modellieren eines mehrstufigen Zufallsversuches oder das Berechnen von Wahrscheinlichkeiten eines Laplace-Versuches.

Auch die befragten Lehrer*innen des Julius-Ambrosius-Hülße-Gymnasiums bestätigten mir die Relevanz der Begriffsvermittlung: Sie begründeten mir dies speziell an der gemeinsamen Unterrichtssprache, die etabliert werden müsse. Sie beschrieben die Begriffe als „Vokabeln des Faches“ (Lehrerinterviews, Anhang: S. II), die deutlich von der Umgangssprache abgegrenzt werden sollten. In diesem Zusammenhang betonten sie mehrmals, Begriffslernen sei unumgänglich, um stochastische Aufgaben verstehen und lösen zu können (vgl. ebd.). Lehrerin E zeige den Schüler*innen vor dem Vermitteln der Begriffe deshalb häufig eine Aufgabe, welche die neuen Begriffe enthalte. Die Schüler*innen kämen sodann zu der Schlussfolgerung, diese Aufgabe nicht lösen zu können, wodurch man auch ihnen die Relevanz des Begriffslernens veranschauliche. Des Weiteren hätten Begriffe, so Lehrer A, eine Gliederungsfunktion. Sie würden als „kognitive Zusammenfassungen“ dienen, unter denen die Schüler*innen mehrere Merkmale subsummierten, sodass sie – wie aus Schubladen – darauf zurückgreifen könnten, wenn es nötig sei (vgl. ebd.).

Auch im Vergleich zum Erlernen mathematischer Operationen setzten zwei der fünf Lehrer*innen das Begriffslernen noch an oberste Stelle. Sie legten dar, Begriffe ließen sich in keinem Fall logisch erschließen. Mathematische Operationen hingegen könnten sich einige Schüler*innen teilweise selbst herleiten. Lehrerin C nannte mir dafür das Beispiel einer Schülerin, die sich die Gleichungen zur Berechnung der Nullstellen nach Einführung des Funktionsbegriffs in der 8. Klasse selbst hergeleitet habe (vgl. Lehrerinterviews, Anhang: S.III). Mir wurde allerdings auch plausibel dargelegt, dass Begriffslernen und das Erlernen mathematischer Operationen stets als Zusammenspiel zu sehen sei, da man ohne mathematische Operationen nur schwer auf Lösungsideen kommen würde. Andererseits sei es schwierig bis unmöglich, eine Aufgabe zu lösen, wenn man sie nicht vollends verstehe. Für eine hohe Relevanz der Begriffserarbeitung – auch im praktischen Schulalltag – spricht unterdessen, dass nur Lehrer A das Erlernen mathematischer Operationen als basaler empfand als das Begriffslernen (vgl. ebd.). Allerdings darf der Aussagegehalt nicht pauschalisiert werden, da die Interviews ausschließlich mit fünf Lehrer*innen durchgeführt werden konnten.

Speziell in der Stochastik gaben mir weiterhin 40% der Lehrer*innen die Antwort, dass sie in diesem Bereich mehr Zeit auf die Begriffserarbeitung verwendeten als in anderen Fachgebieten. Dabei erläuterte Lehrer D, es ginge ihm v.a. um das saubere Herausarbeiten mathematischer Feinheiten, da diese in der Stochastik, aufgrund der Ähnlichkeit der Termini, bei den Schüler*innen oft verwischen würden (vgl. Lehrerinterviews, Anhang: S. IIIf.).

Überdies bestätigten mir alle Interviewpartner*innen meine Annahme, dass es im anschließenden Unterricht zu Schwierigkeiten komme, wenn die Begriffe Zufallsversuch, Ergebnis, Ergebnismenge und Ereignis zuvor nicht vollständig verstanden bzw. gelernt wurden. Besonders auffällig fanden die Lehrer*innen dabei den Unterschied zwischen Ergebnis und Ereignis, der aufgrund der linguistisch-phonetischen Nähe immer wieder zu Problemen führe (vgl. Lehrerinterviews, Anhang: S. IVf.). Allerdings sei „die Vergessensquote“ (Lehrerinterviews, Anhang: S. IV) der Begriffe allgemein sehr hoch. Gemäß Lehrer D, verstünden die Schüler*innen in Folge einer schlechten Begriffskenntnis häufig die Aufgabe nicht und kämen folglich auch bei Problemen der Wahrscheinlichkeitsrechnung nicht weiter (vgl. Lehrerinterviews, Anhang: S. V.). Er erörterte dies weiterhin am Beispiel der Ergebnismenge: Wenn ein Schüler bzw. eine Schülerin nicht wisse, was die Ergebnismenge sei, falle es ihm ebenfalls schwer zu verstehen, dass die Wahrscheinlichkeit nun der Anteil der zutreffenden Ergebnisse der Ergebnismenge sei. Auch Formulierungen wie Ereignis und die zugehörige Menge böten in Abgrenzung zur Ergebnismenge viel Fehlerpotenzial (vgl. ebd.).

Aus all diesen Äußerungen lässt sich die hohe Relevanz der Begriffsvermittlung – auch im praktischen Schullalltag – ableiten. Insbesondere im Anfangsunterricht der Stochastik wird dies durch die hohe Nutzung und große Ähnlichkeit der Begriffe evident. Ohne die Vermittlung der Begriffe können die Schüler*innen nur schwer ein Verständnis für diverse Aufgabenstellungen, auch im Folgeunterricht, entwickeln. Daraus ergibt sich, dass es bei der Vermittlung der Grundbegriffe Zufallsexperiment, Ergebnis, Ergebnismenge und Ereignis sinnvoll ist, als Lehrkraft mehr Zeit und Aufwand in die Erarbeitung und das Erlernen der Begriffe zu investieren.

1.4 Didaktischer Problemaufriss des Begriffs Zufallsversuch

Der Begriff Zufallsversuch ist, wie schon in 1.1 angedeutet, ein sehr strittiger Terminus in der Fachliteratur. Das liegt daran, dass mit ihm die Grenze zwischen Realität und Modellebene verschwimmt: In der Definition wird ein beliebig oft wiederholbarer Vorgang unter gleichen Bedingungen beschrieben, was einer theoretischen Modellannahme entspricht, die wiederum von stochastischer Unabhängigkeit ausgeht (vgl. Krüger 2015, S. 219). Zugleich wird diesem Aspekt jedoch in den Lehrbüchern zumeist keine Beachtung geschenkt: In verschiedenen Lehrbüchern wird bspw. das Werfen einer Reißzwecke (vgl. Breidert 2015, S.75) oder einer Münze (vgl. Negwer 2013, S. 51) ohne Hinterfragen als Zufallsversuch beschrieben. Dabei unterliegen auch diese Zufallsgeräte einer gewissen Abnutzung, sodass wiederrum keine exakt gleichen Bedingungen vorliegen.

Trotz dieser mathematischen Inkorrektheit entkräfteten die interviewten Lehrer*innen dieses Argument und sagten mir, dies führe in der Praxis weniger zu Problemen. Allerdings sei es wichtig, im Anfangsunterricht wiederholt darauf hinzuweisen, dass es sich um idealisierte Modelle handele (vgl. Lehrerinterviews, Anhang: S. IX). Lehrer D, der neben Mathematik auch Physik unterrichtet, erklärte mir unterdessen, die Schüler*innen kennen solche vereinfachten Annahmen bereits aus dem Physikunterricht, auch dort müsse man sich eine Idealisierung zunutze machen, um eine zu komplexe Darstellung zu vermeiden (vgl. ebd.).

Dennoch wiesen die Befragten auch öfter darauf hin, dass sie mit dem Modell Zufallsversuch häufig an Grenzen stießen, denn im Laufe des Unterrichts hinterfragten Schüler*innen stets mathematisch-semantische Aspekte dieses Begriffs. Dadurch ergebe sich für Einzelszenarien immer wieder die Frage, ob es sich noch um einen Zufallsversuch handele. Lehrerin E erläuterte mir dies konkret am Beispiel des Torwandschießens, bei dem die Schüler*innen die Bedingung eines unvorhersehbaren Ergebnisses in Frage stellten, insbesondere, wenn talentiertere bzw. trainierte Schützen diese Aufgabe bewältigten (vgl. Lehrerinterviews, Anhang: S. Xf.). Auch im späteren Teil des Stoffgebiets, wenn es um Zufallsversuche gehe, bei denen man nicht zurücklegen dürfe, tauchten häufig Probleme auf. Ein Beispiel sei das Ziehen von Murmeln aus einer Urne, ohne diese zurückzulegen. Bei der letzten Murmel trete das Phänomen auf, dass nur noch ein mögliches Ergebnis vorhanden sei, woraus sich die Frage ergebe, ob dies der Definition des Zufallsversuchs im Kriterium der Unvorhersagbarkeit als auch der Bedingung mehrerer möglicher Ergebnisse widerspreche (vgl. ebd.). An diesen Stellen kommt es mithin immer wieder zu Problemen und Grenzen des Modells Zufallsversuch; jedoch nannten mir zwei der fünf Lehrer*innen auch einen Vorteil dieses Problems: Der Modellbegriff und seine Grenzen ließen sich hier thematisieren. Man könne daraus ein ganz eigenes Lernfeld erstellen (vgl. Lehrerinterviews, Anhang: S. VIII und XI).

Anstatt eines Lernfeldes schlägt Krüger vor, den Begriff komplett aus dem Unterricht zu streichen und stattdessen die Begriffe Vorgang mit mehreren möglichen Ergebnissen bzw. stochastischer Vorgang zu wählen (vgl. Krüger 2015, S. 219). Der Mehrheit der interviewten Mathematiklehrer*innen war diese Termini für den Unterricht zu abstrakt, sie waren der Meinung, mit dem Zufallsversuch bzw. dem Zufallsexperiment bildete sich bei den Schüler*innen „dann schneller [ein] Bezug zum Würfeln, Karten ziehen usw.“ (Lehrerinterviews, Anhang: S. X) als mit dem Begriff Vorgang mit mehreren möglichen Ergebnissen. Allerdings konnte sich Lehrer D, auch hinsichtlich eines anschließenden Studiums, gut vorstellen, den Begriff stochastischer Vorgang in der Sekundarstufe II zu benutzen und ihn dann mathematisch sauberer zu definieren (vgl. ebd.).

Neben diesem Aspekt, der v.a. auf mathematische Korrektheit abzielt, ist zugleich ein sprachliches Problem vorhanden. Die Schüler*innen könnten mit dem Begriff Versuch eine einmalige Handlung wie bspw. ein Versuch beim Weitsprung assoziieren, die zudem „immer an eine den Versuch ausführende Person gebunden“ (Krüger 2015, S. 220) ist. Auch der synonyme Begriff Zufalls experiment führt laut Krüger immer wieder zu Schwierigkeiten, da der Begriff von Schüler*innen häufig mit naturwissenschaftlichen Experimenten wie bspw. Mechanikexperimenten in Physik Klasse 7 in Verbindung gebracht wird. Naturwissenschaftliche Experimente sollen allerdings wissenschaftliche Hypothesen überprüfen. Stochastische Zufallsexperimente wie das Werfen einer Münze oder das Befragen von Freizeitinteressen bedürfen deshalb einer starken Abgrenzung.

Als ich diese These bei den Lehrer*innen ansprach, stieß ich auf geteilte Meinungen. Zum einen wurde mir bestätigt, Schüler*innen verbänden „oft wirklich praktische Versuche“ (Lehrerinterviews, Anhang: S. IX) mit dem Begriff Zufallsversuch, denn ihnen fehle die „Erfahrung, auf [einer rein imaginären] Ebene zu denken“ (Lehrerinterviews, Anhang: ebd.). Lehrer A hielt dem allerdings entgegen, die Schüler*innen seien so gut mit einfachen Zufallsexperimenten, wie bspw. dem Münzwurf, vertraut, dass sie dies auch problemlos auf eine gedankliche Ebene übertragen könnten (Lehrerinterviews, Anhang: S. VIII).

Überdies wurde von Lehrer D zusätzlich gegen die These argumentiert, dass es auch in Physik Gedankenexperimente gebe, die nicht immer wissenschaftliche Hypothesen nachwiesen, sondern vielmehr theorieunterstützend wirkten. Als Beispiel wurde dabei Schrödingers Katze genannt. Er resümierte an dieser Stelle, Zufallsexperimente seien – ähnlich wie Gedankenexperimente in der Physik – dazu da, die Vorstellungskraft zu fördern. Als Beispiel argumentierte er mit dem Würfelexperiment:

Ich meine, ich brauche den Würfel nicht, um ein Zufallsversuch mit sechs Ergebnissen und einer Wahrscheinlichkeit von einem Sechstel zu haben. Man könnte auch sagen, wir haben eine Menge mit den Elementen m1, m2 und so weiter bis m6 mit je einer Wahrscheinlichkeit von einem Sechstel. Das Würfelexperiment fördert aber die Vorstellungskraft der Schüler. Also ich brauche den Bezug nicht, aber es hilft, wenn ich den schaffe für den Schüler, um zu sehen, was rechne ich da eigentlich und worauf könnte ich das in der Realität beziehen. (Lehrerinterviews, Anhang: S. X)

Zusammenfassend kann demnach festgehalten werden, dass der Begriff des Zufallsversuchs bzw. Zufallsexperiments durchaus Problempotenzial sowohl auf mathematisch-fachlicher als auch auf sprachlicher Ebene bietet. Dennoch sollte nach den Meinungen meiner Interviewpartner*innen und entgegen der Meinung Krügers der Begriff Zufallsversuch bzw. Zufallsexperiment erhalten bleiben, da die Schüler*innen mit ihm am besten Bezüge und Assoziationen herstellen könnten. Zudem erschließen sich aus den oben genannten Problemen auch neue Möglichkeiten. Dabei wäre das Angliedern eines eigenen Lernfeldes zum Modellbegriff und seinen Grenzen genauso denkbar wie ein Vergleich zwischen physikalischen Experimenten und Zufallsversuchen. Es sollte mithin die Aufgabe der Lehrkraft sein, Grenzen und Probleme dieses Begriffs nicht zu umgehen, sondern direkt zu thematisieren.

1.5 Didaktischer Problemaufriss der Begriffe Ergebnis, Ergebnismenge und Ereignis

Bereits auf den ersten Blick wird deutlich, dass die Begriffe Ergebnis, Ergebnismenge und Ereignis große linguistisch-phonetische Ähnlichkeiten aufweisen, was bei den Schüler*innen schnell zu Verwechslungen führen könnte. Hinzu kommt, dass diese Begriffe auch semantisch sehr eng miteinander verbunden sind und ihre Funktionen ineinandergreifen. Demnach bildet die Ergebnismenge den Grundraum aller möglichen Ergebnisse. Eine Teilmenge der Ergebnismenge bzw. eine Menge von Ergebnissen bildet wiederum ein Ereignis.

Bekräftigt wird diese Problematik durch die Aussagen meiner Interviewpartner*innen: Alle befragten Lehrer*innen kamen zu dem Schluss, der Unterschied zwischen Ereignis und Ergebnis falle den Schüler*innen über den Anfangsunterricht hinaus bis in die Oberstufe immer wieder schwer. Sie begründeten dies mit der linguistisch-phonetischen Ähnlichkeit der Begriffe. Schüler*innen verfielen v.a. im mündlichen Gebrauch häufig in eine unsaubere Sprechweise, die die Termini nicht sauber voneinander trenne, wobei es in schriftlichen Arbeiten, gemäß der Aussage von Lehrer D, meist besser funktioniere. Um dies zu fördern sei es wichtig, speziell Anfangsunterricht wiederholt auf diese beiden Begriffe hinzuweisen und sie voneinander in verschiedenen Beispielen und Übungen abzugrenzen (vgl.Lehrerinterviews, Anhang: S. XIf).

Dabei spielt auch die umgangssprachliche Bedeutung des Begriffs Ereignis eine große Rolle, denn ein Ereignis wird im Alltag als „ein besonderer, nicht alltäglicher Vorgang, ein Vorfall oder ein Geschehnis“ (Krüger 2015, S. 248) verstanden. In der Stochastik muss dies allerdings stark differenziert werden, denn hier wird eben kein besonderer Vorfall beschrieben, sondern eine Aussage über ein oder mehrere mögliche Ergebnisse des Zufallsversuchs gemacht (vgl. Krüger, S. 249).

Weiteres Problempotenzial in Bezug auf den Begriff Ereignis kann mit dem Bestimmen von Gegenereignissen einhergehen. Das hängt insbesondere mit sprachlogischen Problemen der Schüler*innen mit den Begriffen mindestens und höchstens als auch mit dem Begriff Gegenteil zusammen (vgl. Krüger 2015, S. 250). Das Gegenereignis umfasst alle Elemente der Ergebnismenge, die nicht im eigentlichen Ereignis enthalten sind. Schüler*innen geben jedoch „häufig die gegenteilige Sicht auf das gleiche Ereignis“ (ebd.) an. Auf das Ereignis E – Mindestens 10 Kinder mögen Mathe bildeten vielen Schüler*innen das Gegenereignis * – Höchstens 10 Schüler*innen mögen Mathe nicht anstatt – Höchstens neun Schüler*innen mögen Mathe (vgl. ebd.). Dieses Phänomen schilderte mir auch Lehrerin E; den Schüler*innen fehlten beim Bestimmen von Gegenereignissen meist einzelne Ergebnisse im Ereignis, sodass sie insgesamt häufig nicht auf die gesamte Ergebnismenge kämen (vgl. Lehrerinterviews, Anhang: S. XIIf). Dies ergänzend erklärte Lehrer B, „ insbesondere wenn die Ergebnisse nicht ganz klar“ (Lehrerinterviews, Anhang: S. XII) seien, träten häufig Probleme auf. Auch der mündliche Sprachgebrauch wurde erneut als größte Fehlerquelle gesehen. Lehrerin C knüpfte an die obige Beobachtung an: Ihr fielen neben der mündlichen Formulierung ebenfalls Schwierigkeiten beim Bestimmen der passenden Teilmengen auf, was sie auf die fehlenden Kenntnisse in der Mengenlehre zurückführte (vgl. ebd.). Lehrer D schloss sich dieser Begründung an, er war der Meinung, das Fehlen der intensiven Mengenlehre sei allgemein schwerwiegend, da man sich in der Stochastik vieles über diese erschließen könne. Ohne die Mengenvorstellung sei es erheblich komplizierter, den Zusammenhang zwischen der Ergebnismenge und dem Ergebnis bzw. dem Ereignis herzustellen, da man ein Ergebnis bspw. nicht als einelementige Teilmenge bzw. das Ereignis als ein- oder mehrelementige Teilmenge beschreiben könne. Dafür reichten die Kenntnisse der Mengenlehre, die in Klasse 6 erworben werden sollen, nicht aus (vgl. Lehrerinterviews, Anhang: S. VI).

Bei dem Begriff Ergebnismenge tauchten hingegen weniger Probleme auf. Allerdings merkte Lehrerin E an, dass es in Abgrenzung zum Ergebnis zu Fehlern kommen könne, falls Schüler*innen in vorherigen Klassenstufen die „Unterschiede zwischen einem Element und einer Menge nicht“ (Lehrerinterviews, Anhang: S. XII) korrekt gelernt hätten. Dies stünde zwar weniger im Zusammenhang mit dem Begriff Ergebnis, ist aber ein weiterer Verweis auf die geringfügige Ausprägung der Mengenlehre im Mathematikunterricht.

Ferner sei die Symbolik, wie mir Lehrerin E am Ende des Interviews verdeutlichte, auch stets eine Problemquelle. Es falle den Schüler*innen schwer, zu unterscheiden, an welcher Stelle sie ein Gleichheitszeichen bzw. Bindestrich setzten müssten. Zudem vergäßen sie z. T., die Ergebnismenge in geschweifte Klammern zu schreiben. Diese Probleme kämen insbesondere durch eine uneinheitliche Darstellungsweise in Lehrbüchern zustande. Die Schüler*innen verfielen so in Verwirrung, da einige Schreibweisen verpflichtend seien, wie die Mengenschreibweise, und andere wiederum mehrere Varianten zuließen wie bspw. das Verbinden eines Ereignisses A mit seiner Ereignisbeschreibung (vgl. Lehrerinterviews, Anhang: S. XXII).

Es lässt sich demnach schlussfolgern, dass das größte Problempotenzial in der Abgrenzung zwischen Ereignis und Ergebnis steckt, was v.a. in der linguistisch-phonetischen Nähe begründet liegt. Allerdings verursachen auch fehlende Kenntnisse in der Mengenlehre Probleme im Erschließen der gegenseitigen bedingten Zusammenhänge. Dieser Aspekt führt weiterhin dazu, dass den Schüler*innen auch das Bestimmen von Gegenereignissen, v.a. bei den Formulierungen weniger als, höchstens oder mindestens, schwerfällt. Hinzu kommt eine uneinheitliche symbolische Darstellung, die zusätzlich für Schwierigkeiten sorgt.

1.6 Unterrichtsgestaltung

Neben den eben besprochenen inhaltlichen und sprachlichen Schwierigkeiten der Begriffe spielt die Unterrichtsgestaltung eine sehr große Rolle für das Verständnis der Begriffe. Aus diesem Grund galten einige Fragen meines Interviews auch dieser, wobei ich mich im Speziellen auf die Vermittlung und das nachhaltige Lernen der Begriffe bezog.

Auffällig ist, dass die Erarbeitung der Termini zuerst über diverse Methoden der Lehrer*innen mit den Schüler*innen gemeinsam bzw. von den Schüler*innen selbstständig verläuft, die vollständige Definition anschließend aber dennoch frontal als Tafelbild oder auf Folie weitergegeben werden würde. Dafür wurden mir mehrere Gründe genannt: Zum einen lägen die Lehrer*innen Wert darauf, eine fachlich korrekte Definition im Hefter zu haben, weshalb sich auch Gruppenarbeiten an dieser Stelle weniger anböten, da Schüler*innen dabei Begriffe häufig nicht vollständig bzw. mathematisch inkorrekt herausarbeiteten. Lehrer A wies mich darauf hin, er ließe seine Schüler*innen zwar selbst formulieren, griffe letztlich jedoch auf seine Definition zurück, um einen einheitlichen Hefter zu garantieren. Auch Schüler*innen hielten dies, so Lehrer D, für die beste Möglichkeit, da sie sich so auf die Vollständigkeit und fachliche Korrektheit, auch in Anbetracht einer Abfrage in einer Leistungskontrolle, verlassen könnten. Zum anderen sei auch die Zeit ein nicht zu unterschätzender Faktor bei der Vermittlung. Lehrerin E gebe den Schüler*innen daher die Definition frontal vor, um anschließend mehr Zeit zum Üben der Termini zu haben (vgl. Lehrerinterviews, Anhang: S. XVIIIf.).

Wie eben bereits angedeutet, ist der Unterricht der interviewten Lehrer*innen kein reiner Frontalunterricht, sondern wird durch verschiedene Unterrichtsgestaltungselemente unterstützt: Lehrer A greift bspw. häufig auf die selbstständige Erarbeitung mit Hilfe eines Arbeitsblattes zurück. Die Schüler*innen werden hierbei über „kleinschrittige Anweisungen“ (Lehrerinterviews, Anhang: S. XVIII) und bereits bekannte Begriffe an den neuen Begriff herangeführt, sodass zunächst ein inhaltliches Verständnis vorliegt, das anschließend mit der frontal vermittelten Definition ergänzt wird. Lehrer B erklärte mir, er ließe seine Schüler*innen v.a. in Partnerarbeit arbeiten, auf deren Grundlage sie mit Hilfe von Würfelexperimenten oder Strichlisten Gesetzmäßigkeiten erkennen sollten. Anschließend vermittle er die Definitionen als Schlussfolgerung der Versuche frontal (vgl. ebd.). Eine dritte Methode bietet ein Unterrichtsgespräch, das auf mehrere Arten ausgeprägt sein kann. Dazu stellten mir zwei der Lehrkräfte folgende Ansätze vor: Zum einen könne man den Blick in den Alltag der Schüler*innen werfen und die Schüler*innen fragen, was diverse Begriffe im Alltag bedeuteten (vgl. Lehrerinterviews, Anhang: S. XIX). An dieser Stelle wäre auch der Begriff Ereignis spannend, da dieser, wie bereits dargelegt, über eine starke vom Alltag geprägte Semantik verfügt. Allerdings sollten die Schüler*innen vordergründig dazu angeregt werden, eigene Bezüge zu den Begriffen zu schaffen. Nichtsdestotrotz bietet sich diese Variante auch sehr gut an, um eine Abgrenzung zwischen der Alltagsbedeutung und der fachlichen Bedeutung des Begriffs zu schaffen. Darüber hinaus kann das Unterrichtsgespräch auch rückwirkend funktionieren. Dies schilderte Lehrer D. Wenn er ein rückwirkendes Unterrichtsgespräch führen wolle, gebe er die Definitionen bereits am Anfang der Stunde frontal vor und erarbeite mit den Schüler*innen anschließend die verständliche Bedeutung des Begriffs. Dazu gebe er im Laufe der Erarbeitungsphase noch weitere Bezüge und Beispiele, um den Schüler*innen den Terminus eindeutig und in ihrem Alltagsverständnis zu vermitteln (vgl. ebd.).

Nach dem Verstehen der Begriffe müssen diese noch gefestigt und vertieft werden. Dazu, versicherten mir alle Lehrer*innen, brauche es ein hohes Maß an Übung und Wiederholung. Es gibt jedoch auch dabei verschiedene Ansätze, die sich in der Befragung zeigten: So sagte Lehrer B, es käme in der Stochastik auf eine Vielzahl diverser Übungen an, die sich nach längeren Üben zu einem „Raster“ (Lehrerinterviews, Anhang: S. XX) im Kopf formierten und einem Schüler bzw. einer Schülerin so den Weg zu richtigen Lösung wiesen. Lehrerin C erzählte mir von einem zusätzlichen Hefter für die Stochastik, der vor Jahren in der Fachschaft beschlossen wurde. In diesem sammelten die Schüler*innen alle Informationen zur Stochastik gesondert, wodurch dem Themengebiet eine besondere Achtung geschenkt werden sollte, sodass die Stochastik-Lernbereiche am Schuljahresende aufgrund von Zeitmangel weniger vernachlässigt werden würden. Allerdings sei dieser Hefter im Laufe der Zeit in Vergessenheit geraten (vgl. ebd.). Speziell zum Festigen der Begriffe Zufallsexperiment, Ergebnismenge, Ergebnis und Ereignis gaben mir zwei weitere Interviewpartner*innen Einblicke in ihre Arbeitsweise. Lehrerin E erläuterte dabei, sie arbeite zur Festigung v.a. mit Täglichen Übungen (TÜ). Dazu frage sie im Rahmen von TÜs die Schüler*innen direkt nach der Erarbeitungsstunde die Begriffe ab und verpflichte alle zur Abgabe. Auch in den nächsten Stunden würden diese Begriffe in einer TÜ erneut abgefragt werden, bis alle Schüler*innen die Semantik und die Relevanz dieser Begriffe verstanden hätten (vgl. Lehrerinterviews, Anhang: S. XXI). Einen weiteren wichtigen Faktor teilte mir Lehrer D mit, er glaube, der Schlüssel liege im intensiven Arbeiten mit der Termini und zwar nicht nur kurz nach der Vermittlung, sondern über das ganze Themengebiet hinweg. Es seien Aufgaben von Relevanz, die speziell die Anwendung der Begriffe forderten. Als Beispiele nannte er verschiedene Zufallsexperimente, zu denen die Schüler*innen die Ergebnismenge oder diverse Ereignisse nennen sollten. Auch das Formulieren eigener Ereignisbeschreibung auf Grundlage einer Teilmenge oder das Begründen eines Zufallsexperiments seien wertvolle Aufgabenstellungen. Allgemein gehe es häufig darum, Begründungen an Beispielen zu fordern. An diesen könne man weit besser ablesen, ob ein Schüler bzw. eine Schülerin den Begriff verstanden habe, als fordere man ausschließlich die Wiedergabe der Definition von den Schüler*innen (vgl. Lehrerinterviews, Anhang: S. XXf.). Diese bzw. ähnliche Aufgaben benannte Lehrerin E ebenfalls im Interview, womit sich die Bedeutung dieser Aufgaben erneut widerspiegelt (vgl. Lehrerinterviews, Anhang: S. XVIIf.).

Das nachhaltige Festigen der Begriffe sei im Allgemeinen eine sehr schwere Aufgabe, was insbesondere die fehlende Zeit und die Lage der Stochastik-Lernbereiche im Schuljahr verursache. Diese lägen zumeist „hinten und werden aus Zeitgründen schlecht gemacht“ (Lehrerinterviews, Anhang: S. XX). Auch allgemein seien die Lernbereiche zu stochastischen Themen in den Folgejahren der Sekundarstufe I für eine sehr geringe Stundenzahl ausgelegt (siehe 1.2), sodass das nachhaltige Lernen eine ernstzunehmende Problematik darstellt. Trotz dieser Umstände gaben mir die Lehrer*innen Hinweise darauf, wie sie versuchten, ein nachhaltiges Begriffsverständnis zu etablieren. Lehrer D erläuterte mir dazu, er frage auch in den Folgejahren in Tests immer wieder Aufgabenstellungen zum Begriffsverständnis der Begriffe Zufallsversuch, Ergebnis, Ergebnismenge und Ereignis ab, sodass die Schüler*innen auch in den nächsten Schuljahren intensiv mit den Begriffen arbeiten müssten (vgl. ebd.). Zudem sei die jährliche Vergleichsarbeit, die das Wissen des gesamten Schuljahres abfrage, ein Stützpfeiler, um die Begriffe über das ganze Jahr hinweg zu sichern. Damit die Termini auch in den Folgejahren nicht in Vergessenheit gerate, müsste diese theoretisch bis zur Oberstufe immer wieder in TÜs auftauchen, so Lehrerin E (vgl. Lehrerinterviews, Anhang: S. XXI). Lehrer A stellte sich vor, man könnte mit mehr Zeit auch mehr Experimente machen, die seiner Meinung nach die Begriffe in den Köpfen der Schüler*innen stärker festigen würden, weil sie selbst dabei tätig wären. Da dies jedoch nicht möglich sei, löse er das Nachhaltigkeitsproblem, indem er vor stochastischen Themengebieten Wiederholungen einschiebe, die auch die Anfangsbegriffe wieder auffrischen würden (vgl. Lehrerinterviews, Anhang: S. XIX).

Die Unterrichtsgestaltung der Befragten ist, wie aus diesem Unterkapitel ersichtlich, sehr vielfältig. Darunter befindet sich neben Partnerarbeiten und Unterrichtsgesprächen allerdings stets ein Teil frontaler Vermittlung, um Einheitlichkeit und Zeitkompensation zu gewährleisten. Das dezidierte Verständnis der Begriffe erfordert viel Übung, in diesem Zusammenhang ist das reine Abfragen der Definitionen nicht ausreichend; man muss zugleich das Arbeiten mit der Termini in Anwendung fordern. Nachhaltiges Lernen ist in Anbetracht kurzer, schlecht verteilter Stochastik-Lernbereiche ein schwerwiegendes Problem, was nur ansatzweise durch Vergleichsarbeiten und Wiederholung in den Folgejahren bewältigt werden kann.

1.7 Lehrbuchanalyse

Die folgende Analyse nimmt das Lehrbuch „Elemente der Mathematik. Sachsen. 8. Schuljahr. Braunschweig: Schroedel, 2015.“, speziell den Lernbereich Zufallsversuche (vgl. Breidert 2015, S. 71ff.), in den Blick. Das Themengebiet der Zufallsversuche erstreckt sich über 50 Seiten und gliedert sich in acht Unterkapitel. Dabei bezieht sich diese Arbeit besonders auf die Unterkapitel 2.1 Wahrscheinlichkeiten bei Zufallsversuchen und 2.2 Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten, da in diesen die Begriffe Zufallsversuch, Ergebnis, Ergebnismenge und Ereignis eingeführt und definiert werden. Aufgrunddessen sind die zugehörigen Lehrbuchseiten im Anhang ab Seite XXIII zu finden. Neben der Analyse gehe ich auf die praktische Anwendung ein, indem ich mich auf die Antworten meiner Interviewpartner*innen beziehe.

Im ersten Unterkapitel Wahrscheinlichkeiten bei Zufallsversuchen, das sich über sieben Seiten erstreckt, werden die Begriffe Zufallsversuch, Ergebnis, Ergebnismenge, die absolute und die relative Häufigkeit, das Empirische Gesetz der großen Zahlen sowie der Wahrscheinlichkeitsbegriff eingeführt (vgl. Breidert 2015, S.75f.). Diese werden anhand eines offenen Einstiegs ohne eine Lösung sowie einer Einführung mit einer Lösung präsentiert. Dabei werden konstruierte Alltagsbeispiele genutzt. Es wird bspw. mit Hilfe des Werfens einer Reißzwecke entschieden, wer den Einkauf erledigen soll oder in Ermangelung eines hexaedrischen Würfels mit einem Lego-Vierer gespielt (vgl. Breidert 2015, S. 73). Der offene Einstieg soll dabei „zu einer eigenständigen Problembearbeitung und -lösung"(Breidert 2015, S. 7) ermutigen. Dazu dienen v.a. kleinschrittige Aufgabenstellungen, wie auch im Einstieg des Kapitels 2.1 ersichtlich (vgl. Breidert 2015, S. 73), die die Schüler*innen langsam an die Aufgabe heranführen. Der anschließenden Einführung, die mit einer Lösung versehen ist, soll ein ergänzender Charakter anhaften, der zusätzlich mögliche Problemlösestrategien aufzeigt (vgl. Breidert 2015, S. 7) . In der Einführung des Kapitels 2.1 werden so bereits in einem vorausgehenden Dialog Ideen zur Lösung des Problems besprochen, bevor die wirkliche Lösung präsentiert wird. Anschließend wird die Frage, welche Seite eines Lego-Vierers beim Würfeln mit größter Wahrscheinlichkeit oben liegt, mit Hilfe mehrmaligen Ausprobierens gelöst, so erschließen die Schüler*innen an dieser Stelle intuitiv das Empirische Gesetz der großen Zahlen. Durch eine Auswertung der Aufgabe werden die Schüler*innen zusätzlich auf den Begriff der relativen Häufigkeit verwiesen (vgl. Breidert 2015, S. 73f.). In beiden einführenden Aufgaben, sowohl Einstieg als auch Einführung, tragen Personen im Alter der Schüler*innen die Hauptrollen der konzipierten Alltagsbeispiele. Es ist nachzuvollziehen, dass dadurch eine gewisse Nähe geschaffen wird. Für Schüler*innen könnte allerdings die Illusion einer stets geradlinigen mathematischen Problemlösung entstehen, wie es die Kinder im Dialog veranschaulichen. Das kann v.a. für leistungsschwächere Schüler*innen frustrierend wirken und ihr mathematisches Selbstvertrauen schwächen.

Selbst wenn es nicht zu dieser desillusionierenden Vorstellung kommt, weil die Schüler*innen die oft sehr konstruierten Alltagsbeispiele in Mathematiklehrbüchern kennen, so tragen derartige Beispiele höchstwahrscheinlich nicht zur erhöhter Glaubwürdigkeit bei und können deshalb auch für leistungsstärkere Schüler*innen schnell kontraproduktiv wirken.

Als ich die Lehrer*innen fragte, ob sie den Einstieg bzw. die Einführung des Themengebiets im Lehrbuch nutzten, bekam ich eher negierende Antworten. Allerdings griffen sie teilweise Ideen aus dem Lehrbuch auf oder gestalteten zufällig ähnliche Einstiegs- bzw. Einführungsbeispiele, wobei eine Trennung bei ihnen zwischen Einstieg und Einführung nicht ersichtlich war (vgl. Lehrerinterviews, Anhang: S. XIIIff.). Problematisch an den Einstiegs- bzw. Einführungsaufgaben seien mehrere Faktoren: Sie seien zum einen „immer sehr umfangreich dargestellt“ (Lehrerinterviews, Anhang: S. XV), sodass man lieber auf eine verkürzte Darstellung zurückgreife. Hinzu komme jedoch auch, dass die Aufgaben partiell sehr konstruiert seien und so außerhalb der Erfahrungswelt der Schüler*innen lägen. Was die Lösungsvorgabe der Einstiegs- bzw. Einführungsaufgabe anbelangt, bekam ich zwei gegensätzliche Meinungen. Lehrer A bemängelte, dass eine vorgegebene Lösung, wie bei der Einführung, die Schüler*innen vom eigenen Denken abhalte (vgl. Lehrerinterviews, Anhang: S. XIII); wohingegen Lehrer D anmerkte, ein fehlendes Auflösen wie bspw. der Einstiegsaufgabe sei für die Schüler*innen ebenfalls sehr unbefriedigend, was wahrscheinlich daran liege, dass insbesondere die Einstiegsaufgaben sehr offen gestaltet sind (vgl. Lehrerinterviews, Anhang: S. XIV). Überdies sei ein reines Arbeiten mit dem Lehrbuch eine sehr oberflächliche Unterrichtsmethode, die die Schüler*innen aufgrund des Überangebots an Beispielen und Fragen oft überfordere und so auf wenig Motivation stoße (vgl. ebd.).

Als nächstes folgen im Lehrbuch die Definitionen der oben bereits geklärten Begriffe. Hierbei wird zuerst der Zufallsversuch eingeführt. In dieser Definition finden sich zugleich die Begriffe des Ergebnisses und der Ergebnismenge, die hier mit S bezeichnet wird. Diese werden nur erwähnt und erhalten sonst im ganzen Kapitel keine eigene Definition. Sie werden gewissermaßen als Merkmale des Zufallsversuchs beschrieben. Das Ergebnis wird im Zusammenhang mit der Unvorhersagbarkeit genannt: „Man kann nicht vorhersagen, welches Ergebnis bei der Durchführung des Versuchs auftritt“(Breidert 2015, S. 75). Hingegen bezeichnet die Ergebnismenge eines Zufallsversuchs, dass „schon vor dem Versuch [...] alle möglichen Ergebnisse an[ge]geben [werden können]“ (ebd.) und man diese Ergebnisse in eben jener Ergebnis menge zusammenfasst. Der letzte Stichpunkt in der Definition des Zufallsversuchs definiert das eigentlich wichtigste Merkmal des Zufallsversuches, der „Versuch [kann] unter den gleichen Bedingungen (beliebig oft) wiederholt werden“ (ebd.). Probleme, die im Zusammenhang mit dieser Behauptung entstehen, wurden bereits im didaktischen Problemaufriss des Begriffs Zufallsversuchs (siehe 1.4) diskutiert.

Explizit zu dieser Definition befragte ich die Lehrer*innen. Ich wollte wissen, ob sie wie das Lehrbuch die Begriffe Zufallsversuch, Ergebnis und Ergebnismenge in einer Definition einführten oder diese Begriffe getrennt behandelten.

Mehrheitlich sprachen sich die Lehrer*innen für eine Schwierigkeit in Bezug auf die oben beschriebene Definition aus (vgl. Lehrerinterviews, Anhang: S. Vff.). Nur Lehrer A befand das gemeinsame Definieren dieser drei Grundbegriffe als unproblematisch (vgl. Lehrerinterviews, Anhang: S. V). Lehrerin C sagte mir, sie würde es von der Klasse abhängig machen: Eine leistungsstarke Klasse käme auch mit einer derartigen Definition zurecht. In einer Klasse, der das Begriffsverständnis schwerer falle, vermittle sie Begriffe hingegen kleinschrittiger in einzelnen Definitionen. Im Allgemeinen versuche sie sich jedoch an das Lehrbuch zu halten, damit sich die Schüler*innen dies zu Hause erneut anschauen könnten (vgl. Lehrerinterviews, Anhang: S. Vf.). Des Weiteren antwortete mir Lehrerin E auf diese Frage, es sei im Mathematikunterricht stets wichtig, die Begriffe im Gesamtkontext zu betrachten und sie gegenseitig zu vernetzen. Aus diesem Grund führe sie die Begriffe Ergebnis und Ergebnismenge auch zusammen ein, weil diese „ so ähnlich sind und dennoch [...] anders dargestellt werden “ (Lehrerinterviews, Anhang: S. VII). Für sich allein solle jedoch der Zufallsversuch stehen, da dieser die Basis bilde, auf der anschließend die weiteren Begriffe angeschaut werden könnten. Es käme an dieser Stelle zwar zur Problematik, dass sich der Zufallsversuch im Normalfall bereits über den Terminus Ergebnis definiere, allerdings ließe sich dafür alternativ auch der Begriff Versuchsausgang nutzen. Nach Behandlung des Begriffs Ergebnis könne man zugleich zu dieser Definition zurückkehren und den Begriff ersetzen, so erschließe sich den Schüler*innen auch an dieser Stelle der Zusammenhang (vgl. ebd.). Zwei weitere Interviewpartner*innen gaben hingegen an, dass sie diese Begriffe einzeln einführten, um zunächst einen gelernten Terminus zu festigen und anschließend den neuen Begriff evtl. auch mit Hilfe des gelernten Begriffs darauf aufzubauen (vgl. Lehrerinterviews, Anhang: S. Vf.).

Im Lehrbuch folgen die Definitionen der absoluten bzw . relativen Häufigkeit, des Empirischen Gesetzes der großen Zahlen sowie der Wahrscheinlichkeit, auf die nicht expliziter eingegangen werden soll, da diese nicht zum Hauptthema dieser Arbeit gehören. Allerdings soll noch einmal auf die Meinung der Lehrer*innen bzgl. Lehrbuchdefinitionen eingegangen werden: Fast alle Lehrer*innen kamen bei meiner Befragung zu dem Schluss, die Definitionen im Lehrbuch seien z. T. oberflächlich, unvollständig und fachlich inkorrekt (vgl. Lehrerinterviews, Anhang: S. XIIIff.). Das zeige sich bspw. an unzureichender Formelsprache, die die Schüler*innen davon abhalte, von vornherein mit einer symbolischen Darstellungsweise umzugehen. Aus diesen Gründen griffen alle Lehrer*innen bei Definitionen zumeist auf ihr eigenes Repertoire zurück. Neben einer Garantie für Vollständigkeit und Korrektheit, sei für sie auch Prägnanz und eine möglichst ansprechende Gestaltung für die Schüler*innen relevant. Daher sehen die Lehrer*innen in den Definitionen des Lehrbuchs eher einen ergänzenden Charakter, der für das „Nachlesen zu Hause“ (Lehrerinterviews, Anhang: S. XVI) jedoch selten für ein befriedigendes, vollständiges Hefterbild geeignet sei.

Nach den Begriffserklärungen folgen die weiterführenden Aufgaben, „die im Unterricht in aller Regel erst nach einer erfolgten Festigung [der neuen Begriffe] [...] thematisiert werden sollten“(Breidert 2015, S. 7) und der „übersichtlichen Darstellung wegen“ (ebd.) an dieser Stelle schon folgen. In diesem Fall handelt es sich zum einen um das erneute Aufgreifen des Lego-Vierers, bei dem anhand von Wahrscheinlichkeiten, absolute Häufigkeiten geschätzt werden sollen; eine Aufgabe lautet bspw., man solle schätzen, wie häufig man bei 2000-maligem Würfeln eine Eins würfeln wird, wenn die Wahrscheinlichkeit, eine Eins zu würfeln, 0,48 beträgt. Diese Aufgabe setzt bereits das logische Verständnis der Schüler*innen voraus, dass das Produkt der Wurfanzahl und der Wahrscheinlichkeit für das gesuchte Ereignis – der zu erwartenden Anzahl an Würfen des gesuchten Ereignisses entspricht. Im Beispiel müsste demnach 2000 mit 0,48 multipliziert werden, um die zu erwartende Anzahl an Einsen zu erhalten. Diese beträgt in diesem Fall 960 Würfe. Das erneute Aufgreifen und Weiterführen von Anfangsbeispielen wurde von Lehrerin E als problematisch gesehen, denn es führe dazu, dass man diese Aufgaben nicht unabhängig vom Einstieg machen könne (vgl. ebd.). Zum anderen soll im zweiten Teil der weiterführenden Aufgaben die Termini Wahrscheinlichkeit und Gewinnchance in Zusammenhang gesetzt werden: Anhand der gegebenen Wahrscheinlichkeiten soll man sich für eine Zahl entscheiden, auf die man beim Spiel um ein Stück Schokolade setzen würde. Diese Aufgaben zielen v.a. auf den Wahrscheinlichkeitsbegriff und partiell die absolute Häufigkeit ab und greifen keinen der anderen definierten Begriffe auf. Einzig der Terminus Ergebnis wird in der Tabelle der ersten Aufgabe kurz erwähnt, ist jedoch auch leicht zu überlesen. Aufgrund der Konzentration auf den Wahrscheinlichkeitsbegriff werden nach diesen Aufgaben noch zwei aus den Aufgaben erschließbare Merkmale der Wahrscheinlichkeit markiert: Wahrscheinlichkeiten gäben die Gewinnchance für das nächste Spiel an und bei langen Versuchsreihen entsprächen die relativen Häufigkeiten den Wahrscheinlichkeiten, wodurch auch dieser Begriff eine kurze Erwähnung findet (vgl. ebd.). Zu den weiterführenden Aufgaben ergänzte Lehrer D unterdessen, er fände es wichtig, auch komplexere Aufgaben zu behandeln, um den Schüler*innen einen Ausblick für folgende Schuljahre oder die Praxis zu bieten. Allerdings seien die Beispiele im Lehrbuch z.T. „komplett an den Haaren herbeigezogen oder [...] viel zu allgemein“ (Lehrerinterviews, Anhang: S. XIV), dies liege an der langen Zeitspanne, in der die Bücher genutzt werden sollten. Durch diesen Aspekt ginge jedoch der Realitätsbezug erheblich verloren.

Deshalb versuche er, besonders aktuelle Beispiele, wie eben stattgefundene Sportereignisse oder bekannte Serien, in seinen Unterricht einzubauen, um einen tatsächlichen Realitätsbezug sowie die aktuelle Erfahrungswelt der Schüler*innen zu erreichen (vgl. ebd.).

Dem folgend, sind im Lehrbuch Übungsaufgaben angelegt, die der „operativen Durcharbeitung und Vernetzung der Lerninhalte“ (Breidert 2015, S. 7) dienen sollen. Dabei sei auch „das Analysieren typischer Schülerfehler und entsprechendes Argumentieren gefordert“ (ebd.). Es dominieren Aufgaben zu Spielanordnungen, in denen Zufallsgeräte wie ein Kronkorken oder ein Würfel über Gewinn und Verlust bestimmen (vgl. Breidert 2015, S. 77ff.). Oft sollen Wahrscheinlichkeiten geschätzt und in diesem Zusammenhang mit relativen Häufigkeiten aufgestellt werden. Anteilig finden sich auch Aufgaben, in denen entschieden werden soll, ob das Empirische Gesetz der großen Zahlen gilt. Die Begriffe Ergebnis, Ereignis und Ergebnismenge werden jedoch in keiner Aufgabe explizit gefordert und auch der Zufallsversuch wird nur in der ersten Aufgabe der Übungsaufgaben behandelt. Es ist jedoch zu erwähnen, dass sich unter diesen Aufgaben auch eine Das-kann-ich-noch!-Aufgabe befindet, die die Volumenberechnung von Quadern und Pyramiden erneut aufgreift. Das Einbinden solcher Aufgaben fördert ein nachhaltiges Lernen, indem alter Stoff immer wieder aufgefrischt wird. Um diesen Aufgabentyp integrativ zu gestalten, sollten zwar zusätzlich Elemente der Stochastik einfließen. Dies kann möglicherweise jedoch auch durch eine zusätzliche Aufgabe der Lehrer*in passieren (vgl. ebd.).

Als ich die Lehrer*innen zu den Übungsaufgaben befragte, sagten sie mir, anteilig arbeiteten sie alle mit diesen – allerdings zu sehr unterschiedlichen Teilen. Zwei der fünf Lehrer*innen hatten zu den Lehrbuchaufgaben keine ausführende Kritik zu nennen. Lehrerin C sagte mir, sie suche effektiv nach Aufgaben, die den Interessen der Schüler*innen entsprechen könnten und nicht zu umständlich seien. Zugleich erwähnte sie, es gebe stets auch Aufgaben, die nicht unbedingt dem Inhalt des Unterrichts entsprächen (vgl. Lehrerinterviews, Anhang: S. XIV). Diese Meinung wurde von Lehrer D noch bestärkt, der berichtete, er finde zu den Themen, auf denen er den Fokus im Unterricht lege, zumeist gar keine Aufgaben. Aus diesem Grund arbeite er nur zu 30% bis 40% mit den Übungsaufgaben des Lehrbuchs, die sodann zumeist als Einstiegsübungen oder Wiederholung der Grundlagen fungierten (vgl. Lehrerinterviews, Anhang: S. XV). Lehrerin E teilte mir mit, sie versuche durchaus das Lehrbuch zu benutzen und insbesondere beim Begriffslernen gebe es Aufgaben, wie die erste Übungsaufgabe (vgl. Breidert 2015, S. 77ff.), die zur Frage stellten, ob ein Zufallsversuch vorliege oder nicht (vgl. Lehrerinterviews, Anhang: S. XVI). Allerdings seien ihr die Aufgaben zu einseitig und bereiteten zu wenig auf die Folgejahre, insbesondere die Sekundarstufe II, vor. Auch fehle ihr z. T. ein kritisches Hinterfragen, was konkret in den Aufgabenstellungen gefordert würde.

Zugleich gebe es partiell unsaubere bzw. unbedachte Aufgabenstellungen, die immer wieder zu Diskussionen in der Klasse führen würden, die zwar Zeit raubten, aber zugleich förderlich wirken könnten (vgl. Lehrerinterviews, Anhang: S. XVII).

Nachdem im ersten Unterkapitel u.a. die Begriffe Zufallsversuch, Ergebnis und Ergebnismenge eingeführt wurden, beschäftigt sich das zweite Unterkapitel separat mit Ereignissen und ihren Wahrscheinlichkeiten. Das Unterkapitel 2.2 erstreckt sich über zwei Seiten und beginnt mit einer Einführung, die sich, ähnlich wie im Unterkapitel 2.1 des Lehrbuchs, in einen offenen Einstieg ohne eine Lösung und eine erste Aufgabe mit einer Lösung gliedert. Dabei geht es insbesondere darum, die Summenformel intuitiv zu eruieren. Als Beispiel dient das Werfen sogenannter Schweine-Würfel, dies sind kleine Plastikschweinchen, die mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten auf ihre Beine, ihre linke Seite, ihre rechte Seite, ihren Rücken, ihr Ohr sowie ihre Schnauze fallen. Die Schüler*innen sollen sich daraufhin logisch, d.h. ohne Kenntnis über die Addierbarkeit von Wahrscheinlichkeiten, erschließen, wie hoch bspw. die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Schweine-Würfel auf der Seite landet, sodass sie die Wahrscheinlichkeiten der rechten und linken Seite addieren müssen (vgl. Breidert 2015, S. 80).

Anschließend folgt die Definition am Beispiel des Lego-Vierers:

Betrachtet man beim Werfen mit dem Lego-Vierer nur, ob eine Primzahl erscheint, so fasst man die Ergebnisse 2, 3 und 5 zusammen. Erscheint eines dieser Ergebnisse, so sagt man, das Ereignis ‚Augenzahl ist Primzahl‘ ist eingetreten. Dieses Ereignis E lässt sich durch die Menge der zu ihm zugehörigen Ergebnisse beschreiben: E = {2;3;5}. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses ist Summe der Wahrscheinlichkeiten seiner Ergebnisse. (Breidert 2015, S. 80)

Diese Definition trennt Ergebnis und Ereignis klar voneinander ab und erläutert die Funktion des Begriffs am Beispiel. Auffällig ist jedoch, dass diese Definition nicht, wie alle anderen wichtigen Erklärungen, in einen roten Kasten gefasst ist. Dieser Layoutunterschied führt dazu, dass die Lehrkraft nachdrücklicher auf dessen Relevanz verweisen muss, damit die Schüler*innen diese Definition nicht übersehen (vgl. ebd.). Auf der folgenden Seite befinden sich die Erklärungen zum Gegenereignis bzw. Komplementärereignis sowie zum sicheren bzw. unmöglichen Ereignis, die in einem roten Rahmen eingelassen sind. Die weiterführende Aufgabe, deren Funktion bereits erläutert wurde, befindet sich hier gekoppelt an die Definition des unmöglichen bzw. sicheren Ereignisses. Die Schüler*innen sollen hierbei die Wahrscheinlichkeit für die Ereignisse „(1) durch sieben teilbar“ (Breidert 2015, S. 81) und „(2) kleiner als sieben“ (Breidert 2015, S. 80) beim Würfeln eines Lego-Vierers bestimmen.

Die Übungsaufgaben beinhalten drei Aufgaben. In der ersten Aufgabe wird auf das vertraute Zufallsgerät des Lego-Vierers zurückgegriffen, anhand dessen Wahrscheinlichkeiten für diverse Ereignisse bestimmt werden sollen. Die anschließende Aufgabe bewegt sich auf ähnlichem Terrain, das Gleiche soll für die Bestandsdauer eines Laptops passieren. Für die letzte Übungsaufgabe müssen die Schüler*innen selbst die Wahrscheinlichkeiten berechnen und die sich daraus ergebende Prognose aufstellen (vgl. ebd.).

[...]


[1] In dieser Arbeit werden zugunsten der Lesbarkeit und einer gendergerechten Sprache unterschiedliche Schreibweisen verwendet. So findet die Variante mit dem Asteriskus (Rezipient*innen) ebenso Verwendung wie der Wechsel zwischen den Formen Rezipientinnen und Rezipienten, wobei dann jeweils Personen des anderen Geschlechts mitbedacht sein sollen.

[2] Um eine übersichtliche Darstellung der Ergebnismengen zu gewährleisten, werden in diesem Fall die Abkürzungen g gerade u für ungerade sowie k für Kopf und z für Zahl gewählt.

[3] Um eine übersichtliche Darstellung der Menge des Ereignisses zu gewährleisten, werden in diesem Fall die Abkürzungen g für das Ergebnis einer gewürfelten Sechs und n für das Ergebnis einer nicht gewürfelte Sechs gewählt.

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Titel: Stochastische Begriffsvermittlung im funktionalen Grammatikunterricht