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Metaphysische Fragen der Logik: Zum Verhältnis von Klassischer Logik zu alternativen (nicht-klassischen) Logiken

Diplomarbeit 2005 77 Seiten

Philosophie - Theoretische (Erkenntnis, Wissenschaft, Logik, Sprache)

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Teil A Einführung
1. Einleitung
2. Was ist die „klassische“ Logik?

Teil B Nichtklassische Logiken
3. Warum braucht man nicht-klassische Logiken?
4. Überblick über die wesentlichen nichtklassischen Logiken
4.1 Logiken, die der klassischen Wahrheitstheorie widersprechen
4.2 Logiken, deren Umfang von logischen Operatoren sich von der klassischen Logik unterscheiden
4.3 Logiken, deren logischen Operatoren eine andere Bedeutung zugeschrieben wird, als in der klassischen Logik
5. Zwei ausgewählte Beispiele für nichtklassische Logiken
5.1 Das dreiwertige System von Łukasiewicz (Ł3)
5.1.1 Überblick über Ł
5.1.2 Wahrheitstafeln, Syntax und Semantik
5.2 Modallogik
5.2.1 Überblick über
5.2.2 Axiomatisierung von

Teil C Klassische vs. Nichtklassische Logiken
6. Gemeinsamkeiten
7. Das Problem unterschiedlicher Notationen
7.1 Allgemeines
7.2 Unterschiedliche Notationen als Argument gegen die Widersprüchlichkeit von Ł3 und PC
8. Übersetzungen zwischen logischen Systemen
8.1 Grammatikalische Übersetzungen
8.1.1 Definitionen und Bedingungen von grammatikalischen Übersetzungen
8.1.2 Grammatikalische Übersetzung von PC nach L
8.2 Übersetzung von PC nach
8.3 Die Nichtübersetzbarkeit von Ł3 und S5 nach PC
9. Rivalisierende vs. nicht-rivalisierende Logiken
10. Extensionen und Deviationen
10.1 Definitionen von Extensionen und Deviationen
10.2 Ł3: Deviation oder Extension?
10.3 S5: Deviation oder Extension?
11. Bedingungen für Rivalität
11.1 Allgemeines
11.2 Rivalität von Deviationen und Extensionen
11.3 Die Rivalität von Ł
11.4 Die Rivalität von

Teil D Mögliche Positionen im Hinblick auf Konflikte zwischen Klassischer Logik und alternativen Logiken
12. Mögliche Positionen gegenüber rivalisierenden Theorien
13. Mögliche Positionen nach HAACK
13.1 „Korrektheit“ von logischen Systemen
13.2 Monismus
13.3 Pluralismus
13.3.1 Lokaler Pluralismus
13.3.2 Globaler Pluralismus
13.4 Instrumentalismus
13.5 Zusammenfassung der Positionen
14. Relativismus und Absolutismus in der Logik nach RESCHER
15. EPSTEINS semantischer Ansatz
16. Versuch eines neuen Ansatzes
17. Zusammenfassung

Anhang A: Notationsübersicht

Anhang B: Semantik und Axiomatisierung von PC

Anhang C: Axiomatisierung von Ł

Bibliographie

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 4.1 Wahrheitsfunktionale Komplettheit von PC

Abbildung 5.1 Wahrheitstafeln von Ł3

Abbildung 5.2 Wahrheitstafel des Bisubjunktors in Ł3

Abbildung 5.3 Wahrheitstafel des Słupecki Operators

Abbildung 5.4 Wahrheitstafel von I φ

Abbildung 8.1 Wahrheitstafel von →2

Abbildung 8.2 Wahrheitstafel für die Negation, bei Übersetzung von PC nach Ł3

Abbildung 8.3 Wahrheitstafel für die Subjunktion bei Übersetzung von PC nach Ł3

Abbildung 8.4 Übersetzung des Satzes des ausgeschlossenen Drittens

Abbildung 9.1: rivalisierende und nicht rivalisierende Systeme

Abbildung 11.1 Formale Rivalität

Abbildung 11.2 Semantische Rivalität

Abbildung 11.3 Instrumentale Rivalität

Abbildung 11.4 Rivalität von Extensionen

Abbildung 11.5 Wahrheitstafel von (Ø φ ® (φ ® ψ)) in PC und Ł3

Abbildung 12.1 Mögliche Positionen auf rivalisierende Theorien

Abbildung 13.1 Korrektheit von logischen Systemen

Abbildung 13.2 Mögliche Positionen bei einer Pluralität von logischen Positionen

Abbildung 14.1 Absolutismus vs. Relativismus

Abbildung 15.1 Umfeld und Funktionalität

Abbildung 15.2 Allgemeine und spezifische Hintergrundannahmen für logische Systeme

Abbildung 15.3 Allgemeine und spezifische Hintergrundannahmen für logische Systeme II

Abbildung 15.4 Erweiterung des Hintergrundschemas auf Gegenstände und Prozesse

Abbildung 16.1 Allgemeine Prinzipien, spezifische Prinzipien und deren Formalisierungen

Abbildung B.1 Wahrheitstafeln für PC

Teil A Einführung

1. Einleitung

In der vorliegenden Arbeit sollen einige metaphysische Fragen betreffend die Logik behandelt werden, die sich aus der (möglichen) Existenz unterschiedlicher und mit der klassischen Logik rivalisierender logischer Systeme ergeben: Wenn zwei logische Systeme rivalisieren, kann nur eines korrekt sein oder können beide korrekt sein? Was bedeutet es für ein logisches System „korrekt“ zu sein? Und was bedeutet es überhaupt für logische Systeme zu „rivalisieren“?

Zur Beantwortung dieser Fragen soll etwas weiter ausgeholt werden, obwohl diese Fragen a priori grundsätzlich behandelt werden könnte ohne auf konkrete logische Systeme einzugehen. Trotzdem sollen in dieser Arbeit gewisse Themen und Begriffe anhand zweier Beispiele von zur klassischen Logik abweichenden Systemen illustriert werden.

Die Teile A und B dieser Arbeit sollen in die Thematik einführen. Im Kapitel 2 soll die klassische Logik kurz vorgestellt werden, während im Teil B ein kurzer Überblick über die existierenden nichtklassischen logischen Systeme, ihre Verwendung und Begründung gegeben werden soll und schließlich die zwei Beispielsysteme vorgestellt werden.

Teil B versucht Unterschiede im Verhältnis einzelner nichtklassischer logischer Systeme mit der klassischen Logik aufzuzeichnen. So werden vor allem Gemeinsamkeiten, Übersetzungsmöglichkeiten und Rivalität thematisiert.

Teil C hingegen charakterisiert schließlich möglich Positionen im Hinblick auf die Existenz mehrerer logischer Systeme. Hierbei soll vor allem auf die Arbeiten von HAACK, EPSTEIN und RESCHER eingegangen werden.

Alle Übersetzungen von Zitaten englischer Originalwerke wurden vom Autor vorliegender Arbeit ins Deutsche übersetzt.

2. Was ist die „klassische“ Logik?

In diesem Kapitel soll geklärt werden, was an der klassischen Logik „klassisch“ ist und welche Vorteile die klassische Logik hat. Dabei wird die klassische Logik in ihren Grundzügen als bekannt vorausgesetzt. Für eine semantische Definition und eine Axiomatisierung der klassischen Logik wird auf den Anhang B verwiesen. Im Folgenden wird mit „klassischer Logik“ die klassische Junktorenlogik gemeint sein. Wenn wir von der konkreten Formalisierung, wie sie in Anhang B gegeben wird, sprechen, so werden wir von „PC“ sprechen. Wenn wir den theoretischen Hintergrund meinen, so werden wir weiterhin von der „klassischen Logik“ sprechen.

Man könnte fälschlicherweise meinen, dass „klassisch“ sich auf die Tatsache bezieht, dass PC das einzige logische System war, das seit der griechischen Antike diskutiert wurde. Vielmehr entsprach es aber nur einer von mehreren aus der Antike stammenden logischen Traditionen.[1]

Warum nimmt PC aber dann einen so gewichtigen Stellenwert unter den logischen Systemen ein. EPSTEIN gibt dafür die folgenden Gründe:[2]

1.) PC ist sehr simpel. Tatsächlich kommt EPSTEIN sogar zum Schluss, dass es sich um die einfachste Semantik handelt, die einem logischen System zugewiesen werden kann.[3]
2.) PC ist einfach zu benutzen und zwar sowohl rein formal als auch in Anwendungen, aufgrund der verwendeten Wahrheitstafeln. Und diese Einfachheit ist laut EPSTEIN essentiell, da wir Logik ja verwenden wollen um über irgendein Thema nachzudenken. Wenn Logik schwerer zu verstehen oder anzuwenden wäre, gäbe es keine Motivation um das zu tun.
3.) PC hat ein weites Spektrum: Wir können es auf jeden atomaren Satz anwenden, dem wir zugestehen über einen Wahrheitswert zu verfügen.
4.) Wir können eine simple Axiomatisation für PC geben, mit dem Ergebnis, dass die resultierende syntaktische Konsequenzrelation äquivalent mit der semantischen Konsequenzrelation ist.
5.) Im Allgemeinen entsprechen die Ergebnisse von PC dem, was wir intuitiv als wahr beziehungsweise als falsch ansehen würden. Hierfür gibt es zwar ein paar Ausnahmen und diese Paradoxe führten auch teilweise zu Entstehung von alternativen Logiken.

Ein Beispiel für solche Fälle wären etwa Sätze des Typus „Wenn der Mond aus Käse ist, dann ist 2 + 2 = 4.“. Es würde zu weit führen und den Rahmen dieser Arbeit sprengen an dieser Stelle alle diesen Paradoxen auf den Grund zu gehen und aufzuzeigen welche Lösungsvorschläge es dafür gibt. Wenn ein solches Paradoxon mit einem der behandelten alternativen Systeme verbunden ist, dann soll es an dieser Stelle besprochen werden.

Die Antwort der klassischen Logiker auf solche Fälle ist zumeist jedenfalls die Ansicht, dass es gar keine paradoxale Situation gibt, da die klassische Logik oder ihre Ergebnisse in diesen Fällen missverstanden wird.

Weiters soll hier auf zwei wichtige Eigenschaften der klassischen Logik hingewiesen werden, die für die weitere Diskussion von Bedeutung sind: Zum einen wird die klassische Logik durch das Bivalenzprinzip charakterisiert, welches besagt, dass jede Aussage und jede Formel genau einen von zwei Wahrheitswerten - nämlich „wahr“ oder „falsch“ - einnehmen muss.

Das zweite für diese Arbeit wichtige Charakteristikum der klassischen Logik ist ihre Wahrheitsfunktionalität: Der Wahrheitswert, den eine Formel φ einnimmt, ist eindeutig durch den Wahrheitswert der Teilformeln von φ festgelegt.

Teil B Nichtklassische Logiken

3. Warum braucht man nicht-klassische Logiken?

Es ist eine unumstrittene Tatsache, dass zahlreiche nicht klassische logische Systeme entwickelt wurden und auch als Ergänzungen der klassischen Logik oder Gegenspieler zu ihr vorgeschlagen wurden. Eine andere Frage ist es aber, ob eine Veränderung der Logik überhaupt möglich ist oder ob die klassische Logik die einzig und immer gültige Wahrheit ist.

Die Diskussion über die Möglichkeit, bzw. Korrektheit von logischen Systemen wird vor allem durch die traditionelle und noch immer vertretene Meinung dominiert, dass eine Revision von Logik unmöglich ist.

Dieses Problem ist für unsere Arbeit insofern bedeutend, dass es, wenn es keine Möglichkeit für eine Veränderung der Logik gibt, wenig Sinn macht, Systeme, die mit der klassischen Logik rivalisieren, genauer zu untersuchen.[4]

Einer der prominentesten Vertreter der Ansicht, dass die klassische Logik vollendet ist und nicht mehr veränderbar ist war wohl KANT. So meinte er beispielsweise:

„Es gibt wenige Wissenschaften, die einen permanenten Zustand erreichen, welcher keine weiteren Änderungen mehr erlaubt. Zu diesen zählen die Logik und die Metaphysik. Aristoteles hat keinen wesentlichen Punkt des Wissens ausgelassen.

In unseren eigenen Zeiten hat es keinen berühmten Logiker gegeben und wirklich, wir benötigen keine neuen Entdeckungen in der Logik mehr, weil sie bloß die Form des Denkens beinhaltet.“[5]

Doch KANTS Position ist heute nicht unbestritten. So haben sich einige bedeutende Philosophen auch dafür ausgesprochen, dass es gute Gründe für eine Änderung der Logik geben könnte. So meinte etwa QUINE:

„[…] keine Aussage ist immun gegen Revision. Selbst eine Revision des logischen Gesetz des ausgeschlossenen Drittens wurde vorgeschlagen, um die Quantenmechanik zu vereinfachen; und was für ein Unterschied besteht zwischen so einer Veränderung und der Veränderung mit der Kepler an die Stelle von Ptolemeus trat oder Einstein von Newton oder Darwin von Aristoteles.“[6]

Vor allem die starke formalistische Strömung und die Erkenntnisse der mathematischen Logik am Anfang des 20. Jahrhunderts brachte die Logik selbst unter Kritik, die wohl ihre markanteste Formulierung im bekannten Ausspruch von CARNAP findet: „In der Logik gibt es keine Moral“.[7]

Die Diskussion um die Pluralität von Logiken war vor allem in den ersten Jahrzehnten des 20. Jahrhunderts sehr lebhaft. Sie wurde hauptsächlich durch die Entwicklung von unterschiedlichen (von der klassischen Logik abweichenden) logischen Systeme hervorgerufen.[8]

Allen Konzepten für nicht-klassische Logiken liegt entweder der Gedanke zu Grunde, dass die klassische Logik falsch ist oder dass das vorgeschlagene nicht-klassische System in seiner Anwendung praktischer ist als die klassische Logik.[9]

Obwohl der Wert der theoretischen Diskussion über die Unantastbarkeit der klassischen Logik nicht anzuzweifeln ist, können m.E. die wesentlichen Argumente gegen eine solche nur aus der praktischen Nicht-Anwendbarkeit oder gar der Falsifikation durch die Praxis kommen.

Aus praktischer Sicht ergeben sich mit der klassischen Logik sehr bald Probleme. So etwa WEINGARTNER: „Im Allgemeinen kommen Probleme auf, sobald [klassische] Logik auf andere Gebiete als Logik und Mathematik angewandt wird.“[10]

Als Paradebeispiel für die schlechte Anwendbarkeit der klassischen Logik gilt sicherlich die Physik und dort vor allem die Quantenphysik. Manche Autoren sehen aber die klassische Logik auch in anderen Disziplinen als problematisch, so etwa schon in philosophischen Disziplinen, wie etwa Wissenschaftstheorie, Erkenntnistheorie, Aktionstheorie, Ethik oder Metaphysik.[11]

Die stärkste Kritik an der klassischen Logik kommt sicherlich noch aus der Physik, wo man hauptsächlich im Bereich der Quantenphysik (aber nicht nur dort) größere Anwendungsschwierigkeiten hat. So kommt etwa MITTELSTAEDT zu dem Schluss: „[…] die Anwendung der klassischen Logik verlangt in jedem Fall eine Rechtfertigung. […] die klassische Logik kann nicht für den Normalfall gehalten werden.“[12]

Was den theoretischen Standpunkt anbetrifft, so wollen wir uns dem beispielsweise von HAACK vertretenen Pragmatismus anschließen. Leider würde es an dieser Stelle zu weit führen, eine genaue Begründung dieser Position zu geben, so wollen wir versuchen, nur kurz diesen Standpunkt zu beschreiben.[13]

Gemäß der pragmatistischen Position ist die Logik eine Theorie, wie andere Theorien auch. Zugegeben, die Logik ist eine sehr allgemeine Theorie im Vergleich zu den meisten anderen wissenschaftlichen Theorien, sie bleibt aber dennoch eine Theorie. Und wie bei anderen Theorien haben wir ihre Wahl durch Ökonomie, Kohärenz und Simplizität zu begründen.[14]

Obwohl wir uns dieser Position grundsätzlich anschließen wollen, werden wir in der weiteren Diskussion um mögliche Standpunkte gegenüber rivalisierenden logischen Systemen auch auf absolutistische Standpunkte treffen, nach denen die Gesetze der Logik unveränderbar sind und die damit im krassen Widerspruch zum pragmatistischen Standpunkt stehen. Obwohl ein Anhänger einer solchen absolutistischen Ansicht theoretisch auch ein von der klassischen Logik abweichendes System vertreten könnte, zeigt sich in der Praxis, dass die Vertreter dieser Ansicht doch fast ausschließlich Anhänger der klassischen Logik sind.

4. Überblick über die wesentlichen nichtklassischen Logiken

In diesem Kapitel soll versucht werden, eine Übersicht über die wesentlichen nichtklassischen Logiken zu geben, indem wir sie danach klassifizieren, welchen Bestandteil der klassischen Logik sie ablehnen, bzw. widersprechen.

M.E. weichen solche Logiken im Wesentlichen in einem der folgenden drei fundamentalen Bestandteile von der klassischen Logik ab, wobei natürlich Kombinationen möglich sind: den Wahrheitswerten, den Umfang der logischen Operatoren und die Bedeutung der logischen Operatoren.[15]

4.1 Logiken, die der klassischen Wahrheitstheorie widersprechen

Ein wesentlicher Ausgangspunkt für die Entwicklung neuer logischen Systeme, ist die Kritik an der Tatsache, dass in der klassischen Logik jedem Satz entweder der Wahrheitswert „wahr“ oder „falsch“ zugeordnet wird (Bivalenzprinzip). Diese Gesetzmäßigkeit führt nach Auffassung mancher Autoren in manchen Bereichen, wie etwa der Quantentheorie oder Aussagen über die Zukunft zu unakzeptablen Aussagen.[16]

Als Reaktion darauf sind laut HAACK folgende Standpunkte möglich:[17]

1.) Die betreffenden Aussagen sind keine Objekte, mit denen sich die Logik befasst oder befassen sollte.
2.) Die betreffenden Aussagen sind zwar Objekte, mit denen sich die Logik befasst, sie haben aber nicht die Form, die sie zu scheinen haben.
3.) Die betreffenden Aussagen sind zwar Objekte, mit denen sich die Logik befasst, sie sind aber weder wahr noch falsch, sondern ohne Wahrheitswert.
4.) Die betreffenden Aussagen sind zwar Objekte, mit denen sich die Logik befasst, sie sind aber weder wahr noch falsch, sondern haben einen (oder mehrere) andere(n) Wahrheitswert(e).

Während die ersten zwei Positionen die Beibehaltung der klassischen Logik unterstützen, sind die Positionen 3 und 4 der ideale Nährboden für die Entwicklung neuer logischer Systeme. So basieren auf Position 4 beispielsweise die dreiwertigen Logiken von Łukasiewicz und Kleene, Logiken mit unendlich vielen Wahrheitswerten oder etwa die Fuzzylogic. Auf Position 3 basiert hingegen beispielsweise die Logik mit Wahrheitswertlücken von van Fraasen.

4.2 Logiken, deren Umfang von logischen Operatoren sich von der klassischen Logik unterscheiden

Gewisse abweichende Logiken bauen auf dem Grundgedanken auf, dass das Instrumentarium der klassischen logischen Operatoren nicht dazu ausreicht, all das auszudrücken, was es ausdrücken sollen müsste, um auf alle Gebiete angewendet werden zu können, auf die sie angewendet werden sollten.

Diese These mag insofern als problematisch erscheinen, da PC eigentlich ein wahrheitsfunktional komplettes System ist, d.h. dass sich alle möglichen Kombinationen von Wahrheitswerten durch seine Operatoren ausdrücken lassen können. Die folgenden Beispiele sollen das anhand von Wahrheitstafeln für den Fall zweier Formeln verdeutlichen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 4.1 Wahrheitsfunktionale Komplettheit von PC

Trotzdem gibt es einige Philosophen die der Ansicht sind, dass eben nicht alle Sätze, die durch die Logik formalisierbar sein sollten, durch dieses Instrumentarium formalisierbar sind. Eines der prominentesten Beispiele für Logiken, die aus diesem Grund vorgeschlagen worden sind, sind die klassischen Modallogiken, die Operatoren für Notwendigkeit und Möglichkeit einführen. Ein Beispiel für eine solche Modallogik ist etwa das System S5, das später in dieser Arbeit vorgestellt werden soll.

4.3 Logiken, deren logischen Operatoren eine andere Bedeutung zugeschrieben wird, als in der klassischen Logik

Schließlich wären noch solche logische Systeme denkbar, die zwar die gleichen logischen Operatoren wie PC verwenden, diesen aber eine andere wahrheitsfunktionale Bedeutung zuschreiben.

Bei solchen Systemen stellt sich aber die Frage, ob sie dann überhaupt die gleichen logischen Operatoren verwenden oder ob sie eigentlich etwas anderes meinen und nur das gleiche Symbol für etwas gänzlich anderes verwenden. Dieser Frage soll in Kapitel 7 dieser Arbeit nachgegangen sein.

5. Zwei ausgewählte Beispiele für nichtklassische Logiken

5.1 Das dreiwertige System von Łukasiewicz (Ł3)

5.1.1 Überblick über Ł3

Der große Unterschied von mehrwertigen Logiken, wie etwa Ł3, und der klassischen Logik ist die Aufgabe des Prinzips der Bivalenz. So gibt es etwa im System Ł3 drei Wahrheitswerte.

Dadurch kommt es zu Abweichungen von der klassischen Logik, weil, wie wir weiter unten sehen werden, einige Theoreme der klassischen Logik, wie etwa das Gesetz des ausgeschlossen Dritten, nicht mehr gelten.

Ł3 wurde von Łukasiewicz 1920 entwickelt. Ursprünglich ging es ihm um den Umgang mit Aussagen über zukünftige Ereignisse:

„Ich kann ohne Widerspruch annehmen, dass meine Anwesenheit in Warschau an einem bestimmten Zeitpunkt nächsten Jahres, z.B. zu Mittag am 21. Dezember, zum derzeitigen Zeitpunkt weder positiv noch negativ bestimmbar ist. Daher ist es möglich, aber nicht notwendig, dass ich zu diesem Zeitpunkt in Warschau anwesend sein werde. Unter dieser Annahme kann der Satz „Ich werde am 21. Dezember nächsten Jahres zu Mittag in Wahrschau sein“ zum derzeitigen Zeitpunkt weder wahr noch falsch zu sein. Denn, falls es jetzt wahr sein sollte, wäre meine zukünftige Anwesenheit in Warschau notwendig, was widersprüchlich zu der Annahme wäre. Wenn es andererseits jetzt falsch wäre, würde meine zukünftige Anwesenheit in Warschau unmöglich sein, was auch widersprüchlich zu der Annahme wäre. Daher ist die entsprechende Aussage zum derzeitigen Zeitpunkt weder wahr noch falsch sondern muss über einen dritten Wahrheitswert verfügen, anders als ,0´ oder wahr oder ,1´ oder falsch. Diesen Wert können wir mit ,½´ bezeichnen. Er repräsentiert „das mögliche“ und folgt „dem wahren“ und „dem falschen“ als dritter Wahrheitswert.“[18]

5.1.2 Wahrheitstafeln, Syntax und Semantik

In diesem Kapitel wollen wir kurz die Wahrheitstafeln, Syntax und Semantik von Ł3 vorstellen. Der Vollständigkeit halber ist im Anhang C auch eine mögliche Axiomatisierung von Ł3 abgebildet, die aber für die weitere Diskussion ohne Bedeutung ist.

In Ł3 wird jeder Formel einer von folgenden drei möglichen Wahrheitswerten zugeordnet: 1, ½, oder 0.[19] Diese Wahrheitswerte sind wie folgt zu verstehen:

e(φ) = 1 φ ist bestimmt wahr.

e(φ) = 0 φ ist bestimmt falsch.

e(φ) = ½ φ ist weder bestimmt wahr noch falsch.[20]

Im Falle, dass eine Formel den Wahrheitswert ½ annimmt, können wir von dieser Formel als unbestimmt, möglich oder neutral sprechen. Wie schon oben erwähnt, war es der Grundgedanke von Łukasiewicz mit Einführung dieses dritten Wahrheitswerts ein Instrument zur logischen Handhabung von Aussagen über zukünftige mögliche Sachverhalte zu schaffen.

Es ergeben sich nach Łukasiewicz die folgenden Wahrheitstafeln:[21]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 5.1 Wahrheitstafeln von Ł3

Dieses System kann durch die folgenden Regeln abgebildet und generalisiert werden:[22]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 5.2 Wahrheitstafel des Bisubjunktors in Ł3

Bei genauerer Analyse können wir die Anzahl der logischen Operatoren in Ł3 auf den Subjunktor (®) und den Negator (Ø) reduzieren.[24] Dazu definieren wir:

vi. (φ Ú ψ) ºDef (φ ® ψ) ® ψ

vii. (φ Ù ψ) ºDef Ø(Ø φ Ú Ø ψ)

Trotzdem stellt {Ø, ®} noch kein funktional komplettes System dar.[25] Dazu benötigen wir noch den so genannten Słupecki Operator (T), welcher die Eigenschaft hat, dass eine Formel, der er vorausgestellt wird, immer - unabhängig von der Formel – den Wahrheitswert ½ animmt.[26] Für T ergibt sich also folgende Wahrheitstafel:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 5.3 Wahrheitstafel des Słupecki Operators

Für die spätere Diskussion und um die Einfachheit der Schreibweise wollen wir noch die Formel (I φ) definieren, die die Eigenschaft hat, dass sie immer dann den Wahrheitswert „1“ annimmt, wenn φ den Wahrheitswert „½“ und sonst den Wahrheitswert „0“ annimmt. Dazu definieren wir:

viii. (I φ) ºDef (φ ® Ø φ) Ù (Øφ®φ)

Die entsprechende Wahrheitstafel sieht wie folgt aus:

>Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 5.4 Wahrheitstafel von I φ

Wir können nun, da das Gesetz der Bivalenz in Ł3 nicht mehr gilt, ein vergleichbares Gesetz der Trivalenz aufstellen:

ix. |=L3 (φ v Ø φ v I φ)

5.2 Modallogik S5

5.2.1 Überblick über S5

Modallogiken basieren auf dem Konzept von Notwendigkeit und Möglichkeit, welches in der Geschichte der Philosophie eine wesentliche Rolle spielte. Wenn eine Aussage notwendigerweise wahr ist, dann könnte es nicht anders sein, wenn eine Aussage (nur) kontingent wahr ist, dann könnte es anders sein.[27]

Die moderne Modallogik geht unter anderem auf LEWIS zurück. LEWIS kritisierte 1912 erstmals, dass die klassische Logik die Implikation nur unzureichend analysiert. Aber seine Kritik geht über eine bloße Kritik an der Implikation hinaus und betrifft letztlich alle logische Operatoren der klassischen Logik. So bringt er etwa als Beispiel die zwei folgenden Aussagen:[28]

1.) Entweder Julius Caesar ist tot oder der Mond ist aus Käse.

2.) Entweder Matilda liebt mich nicht oder ich werde geliebt.

Beide Sätze würden in der klassischen Logik wie folgt formuliert werden:

i. (A v B)

LEWIS Argumentation zielt darauf ab, dass es sehr wohl wesentliche Unterschiede zwischen diesen beiden Sätzen gibt. Beispielsweise halten wir den ersten Satz für wahr, weil wir wissen, dass Julius Caesar tot ist. Denn zweiten Satz halten wir aber für wahr unabhängig davon, ob wir A oder B für wahr halten.[29]

Im ersten Fall sprechen wir wie oben schon erwähnt von einer kontingenten Wahrheit, im zweiten Fall von einer notwendigen Wahrheit. Weiters führen wir die folgenden Symbole ein:

ii. □ φ

iii. ◊ φ

iv. φ Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ψ

Satz ii bedeutet, dass eine Formel φ logisch notwendig ist, Satz iii, dass sie logisch möglich ist und Satz iv bedeutet, dass φ ψ strikt impliziert.

Von LEWIS und später auch anderen wurde eine Reihe von modallogischen Systemen entwickelt, die sich durch die in ihnen geltenden Axiome unterscheiden. Die wesentlichsten sind wohl S1, S2, S3, S4, S5, S6 und S7, wobei die ersten fünf dieser S-Systeme auf LEWIS selbst zurückgehen.[30]

In dieser Arbeit soll beispielhaft das System S5 vorgestellt und behandelt werden. Dies erfolgt aufgrund einer willkürlichen Auswahl und nicht aufgrund irgendwelcher Vorteile oder Nachteile dieses Systems.

5.2.2 Axiomatisierung von S5

Die oben erwähnten S-Systeme sind so konzipiert, dass sie das gesamte Vokabular von PC übernehmen und durch die drei Operatoren □, ◊ und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ergänzen. Es kann gezeigt werden, dass nur der Operator □ zum ursprünglichen System hinzugefügt werden, da die anderen durch ihn wie folgt definiert werden können:[31]

[...]


[1] Vgl. Epstein 1990, S. 58.

[2] Vgl. ebd., S. 58.

[3] Zumindest was die Aussagenlogik betrifft.

[4] Vgl. Haack 1974, S. 25.

[5] Kant zitiert nach Haack 1974, S. 27.

[6] Quine 1951, S. 43.

[7] Carnap 1934, S. 37.

[8] Vgl. Agazzi 2003, S.3

[9] Auf die Konsequenzen, die aus diesen beiden unterschiedlichen Begründungen folgen und auch auf die Frage, was es bedeutet, dass ein logisches System falsch ist, werden wir im Teil D dieser Arbeit genauer eingehen.

[10] Weingartner 2003, S.235.

[11] Vgl. ebd. Für einen guten Überblick für den Fall der Metaphysik vgl. Quesada 2003.

[12] Mittelstaedt 2003, S.283.

[13] Für eine ausführliche und einleuchtende Argumentation für diesen Standpunkt, vgl. Haack 1974, S. 30ff. Im Teil D dieser Arbeit, und dort vor allem im Kapitel 16 soll auf den Zusammenhang zwischen der Position, die man der Logik selbst zuschreibt und der Position, die man hinsichtlich der Existenz mehrerer logischer Systeme einnimmt, genauer eingegangen werden.

[14] Vgl. ebd., S. 20.

[15] Diese Einteilung konnte in dieser Form nicht in der Literatur zu finden und ist sicherlich als ein Versuch zu klassifizieren.

[16] Vgl. Haack 1978, S. 47.

[17] Vgl. ebd., S. 47.

[18] Łukasiewicz zitiert nach Rescher 1969, S. 22f.

[19] Vgl. Urquhart 2001, S. 250.

[20] Vgl. Epstein 1990, S. 235.

[21] Vgl. ebd., S. 235.

[22] Vgl. Haack 1978, S. 206. Diese Regeln kann man ebenso für mehrwertige Logiken mit mehr als drei Wahrheitswerten und sogar unendlich vielen benutzen.

[23] Vgl. Epstein 1990, S. 235.

[24] Vgl. ebd., S. 236.

[25] Funktionell komplett soll hier bedeuten, dass jeder möglicher logische Operator (oder auch Wahrheitsfunktion) durch die schon eingeführten Operatoren ausgedrückt werden kann. Für den Begriff „funktionell komplett“ im Bezug auf die klassische Logik vgl. ebd., S. 32.

[26] Vgl. ebd., S. 236.

[27] Vgl. Haack 1978, S. 170.

[28] Vgl. Bull/Segerberg 2001, S. 3.

[29] Vgl. ebd., S. 3.

[30] Vgl. ebd., S. 4f.

[31] Vgl. Haack 1976, S. 176.

Details

Seiten
77
Jahr
2005
ISBN (eBook)
9783638470612
Dateigröße
2.2 MB
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v50976
Institution / Hochschule
Karl-Franzens-Universität Graz – Philosophie
Note
2
Schlagworte
Metaphysische Fragen Logik Verhältnis Klassischer Logiken

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