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Welcher Zusammenhang besteht zwischen Modellieren und Mathematisieren in der Primarstufe?

Hausarbeit 2019 11 Seiten

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Modellieren in der Primarstufe
2.1. Modellieren
2.2. MathematischesModell
2.3. Modellierungskreislauf

3. Mathematisieren in der Primarstufe
3.1. Mathematisieren
3.2. Arten von Mathematisieren
3.2.1. Einfaches Mathematisieren
3.2.2. Genaueres Mathematisieren
3.2.3. Komplexes Mathematisieren

4. Zusammenhang zwischen Modellieren und Mathematisieren in der Primarstufe

5. Fazit

6. Literatur

1. Einleitung

In den Beschlüssen der Kultusministerkonferenz vom 15.10.2004 wird Modellieren als eine allgemeine mathematische bzw. als prozessbezogene Kompetenz beschrieben. Es wird verdeutlicht, dass das Modellieren als eine Brücke zwischen Realität und Mathematik zu verstehen ist (vgl.https://www.kmk.org/fileadmin/veroeffentlichungen_beschluesse/2004/200 4_10_15-Bildungsstandards-Mathe-Primar.pdf, S.7; Abruf: 12.03.2019). Der Realitätsbezug, der durch Modellierungsaufgaben gegeben ist, ist im Unterricht der Primarstufe von besonderer Relevanz. Denn Realitäts- und Alltagsbezug wirkt sich motivationsfördemd auf die Schülerschaft aus (vgl. Rakoczy, Klieme, Pauli, 2008, S.27). Darüberhinaus steigert Motivation im Unterricht die Lemleistung (vgl. Schiefele, Krapp, Schreyer, 1993, S.133). Daher gilt die Beschäftigung der Lehrkraft mit dem Thema Modellieren und der daraus folgende Einsatz im Unterricht als empfehlenswert.

Das Modellieren wird als das Übersetzen der Realität in die Mathematik verstanden, um so reale Probleme mathematisch zu lösen (vgl. Leiß & Blum, 2010, S. 40). Doch auch der Begriff Mathematisieren lässt sich ähnlich beschreiben. Ebenso stehen beide Begriffe in einer engen Relation. Intension dieser Hausarbeit ist eine klare Begriffsbestimmung beider Begriffe und das Herausarbeiten der Relation beider Begriffe zueinander. Dies kann mit der Arbeitsfrage: Welcher Zusammenhang besteht zwischen Modellieren und Mathematisieren in der Primarstufe? zusammengefasst werden.

Dazu werden zunächst beide Begriffe definiert und so voneinander abgegrenzt. Zuletzt wird auf Grundlage der erarbeiteten Ergebnisse zu beiden Begriffen der Zusammenhang markiert. In einem Fazit wird die Arbeitsfrage beantwortet.

2. Modellieren in der Primarstufe

2.1. Modellieren

Leiß & Blum grenzen den Begriff des Modellierens wie folgt ein:

„BeimModellieren geht es darum, eine realitätsbezogene Situation durch den Einsatz mathematischerMittel zu verstehen, zu strukturieren und einer Lösung zuzuführen sowie Mathematik in der Realität zu erkennen und zu beurteilen“ (Leiß & Blum 2010, S. 40f).

Folglich rücken Leiß & Blum in ihrer Definition die Übersetzung einer Situation/Problematik zwischen Realität und Mathematik in den Vordergrund. Mathematik solle in der Realität erkannt und beurteilt werden und realitätsbezogene Situationen sollen durch die Anwendung von Mathematik verstanden, strukturiert und gelöst werden (vgl. ebd.). Jedoch können realistische Sachverhalte und Problemstellungen vielfach zu komplex sein, um Mathematik direkt darauf anwenden zu können (vgl. Maaß, 2018, S.2). Maaß löst dieses Problem mit der Integration eines vereinfachten, passenden Modells, in dem die Problematik mathematisch bearbeitet werden kann (vgl. ebd.).

Da beim Modellieren die Entwicklung eines mathematischen Modells stattfindet, muss nun der Begriff des mathematischen Modells genauer diskutiert werden.

2.2. Mathematisches Modell

"Ein mathematischesModell ist (...) eine zulässige, richtige, zweckmäßige, isolierte Darstellung der Welt, die vereinfacht worden ist, dem ursprünglichen Prototyp entspricht und zurAnwendungvonMathematikgeeignetist"(Greefrath, 2018, S.36)

Mit dieser Definition grenzt Greefrath das Verständnis des Begriffs bezüglich des mathematischen Modells ein. Mit den Worten "zulässige, richtige, zweckmäßige" plädiert Greefrath auf die drei Kriterien von Hertz, die zur Auswahl von mathematischen Modellen herangezogen werden können: die Kriterien der Zulässigkeit, der Richtigkeit und der Zweckmäßigkeit (vgl. Hertz, 1894, S. 1). Ein mathematisches Modell sei zulässig, wenn sie keinen Widerspruch zu den "Gesetzen unseren Denkens" in sich trägt (Hertz 1894, S. 2 f.). Das Modell sollte folglich logisch sein. Das Kriterium der Richtigkeit bedeutet, dass wesentliche Beziehungen der realen Situation im Modell dargestellt werden sollten (vgl. ebd.). Mit dem Kriterium der Zweckmäßigkeit ist gemeint, dass das Modell wenige bis keine unnötigen Informationen enthalten sollte (vgl. ebd.). Greefrath beschreibt das mathematische Modell als unter anderem "isolierte Darstellung der Welt, die vereinfacht worden ist, dem ursprünglichen Prototyp entspricht" (Greefrath, 2018, S.36). Mit diesen Worten wird hervorgehoben, dass die Bearbeitung eines realen Problems Grenzen hat. Es ist unmöglich die komplexe Realität vollständig in ein mathematisches Modell zu übertragen (vgl. ebd.). Stattdessen wird ein Ausschnitt der Wirklichkeit in isolierter und vereinfachter Form betrachtet, um so eine überschaubare Verarbeitung der realen Daten möglich zu machen (vgl. ebd.). Der Gedanke des Vereinfachens trägt die mangelnde Eindeutigkeit eines Modells in sich. Denn es gibt unterschiedliche Grade und Arten, Vereinfachungen vorzunehmen (vgl. ebd.). Wichtig ist an dieser Stelle, dass das Modell der realen Situation, dem Prototyp, entsprechend aufgestellt ist und eine mathematische Anwendung möglich macht.

2.3. Modellierungskreislauf

Der Modellierungsprozess kann als ein Modell in Form eines Kreislaufs realisiert werden, in dem eigene Modelle konstruiert werden. Nach der Vorstellung von Kaiser, Blum, Borromeo Ferri und Greefrath kann ein idealistischer Modellierungskreislauf wie folgt aussehen: Ausgangslage bilde ein Problem in der Realität. Dieses Problem werde anschließend auf der Sachebene vereinfacht und führe zu einem Modell in der Realität. Dieses Modell werde als Realmodell bezeichnet. Mithilfe der Anwendung von Mathematik solle nun ein mathematisches Modell konstruiert werden. Dazu werde ausgehend vom Realmodell eine mathematische Lösung ermittelt. Nun solle die mathematische Lösung wieder auf das Realmodell bezogen werden (vgl. Kaiser; Blum; Greefrath & Borromeo Ferri, 2013, S.15).

Kaiser, Blum, Greefrath & Borromeo Ferri haben zu dem Konzept des Modellierungskreislaufs ein Beispiel formuliert. Das Problem in der Realität soll die Frage nach dem Luftvolumen eines Heizluftballons bilden. Zunächst werden Vereinfachungen vorgenommen. Kaiser; Blum, Greefrath & Borromeo Ferri zählen als mögliche Vereinfachungen unter anderem die Annahme auf, dass der Ballon aus einem halbkugelförmigen oberen Teil und einem kegelstumpfförmigen unteren Teil besteht. Außerdem gehören zu den aufgezählten möglichen Vereinfachungen die Vernachlässigung der Materialstärke und die Annahme, dass der Ballon weder Beulen noch andere Unebenheiten besitzt (vgl. ebd.). Diese Vereinfachungen führen zu einem Realmodell (vgl. siehe oben). Zunächst wird ein mathematisches Modell konstruiert, indem der mit Heißluft gefüllte Teil des Ballons mit einer Halbkugel und einem Kegelstumpf identifiziert wird und anschließend darauf basierende Berechnungen durchgeführt werden, die zu einer mathematischen Lösung führen. Diese mathematische Lösung wäre in diesem Beispiel das Volumen der Luft (vgl. ebd.).

Maaß ergänzt zusätzlich, dass das Modellieren mit der Interpretation noch nicht beendet sei (vgl. Maaß, 2018, S. 3). Die erhaltene Lösung müsse zunächst kritisch reflektiert und validiert werden. Scheint die erhaltene Lösung oder das gewählte Vorgehen der Realität nicht angemessen, so müssten einzelne Schritte oder der gesamte Modellierungsprozess wiederholt werden (vgl. ebd.).

3. Mathematisieren in der Primarstufe

3.1. Mathematisieren

Förster grenzt den Begriff des Mathematisierens mit den folgenden Worten ein:

UnterMathematisierung versteht man die Übersetzung eines umgangssprachlich formulierten

Realmodells in ein formales mathematischesModell, beispielsweise mitHilfe vonMengen,

Funktionen, Graphen,Matrizen, Vektoren u. a. m. (Förster, 2000, S.122)

Förster verwendet in seiner Definition Begriffe wie "Realmodell" und "mathematisches Modell". Diese Begriffe können zum Absatz mit der Überschrift "2.3. Modellierungskreislauf' zugeordnet werden, da sie dort als Bestandteile des Modellierungskreislaufes markiert werden (siehe 2.3 Modellierungskreislauf). Daher muss das Mathematisieren in Beziehung zum Modellierungskreislauf stehen.

Mathematisierung wird von Förster als die Übersetzung des Realmodells in das mathematische Modell innerhalb eines Modellierungskreislaufes verstanden. Dabei wird in der Formalität unterschieden. Das Realmodell wird als umgangssprachlich und das mathematische Modell als formal bezeichnet. Diese Übersetzung finde "beispielsweise mit Hilfe von Mengen, Funktionen, Graphen, Matrizen, Vektoren" statt (vgl. ebd.).

Die Definition von Förster bezieht sich auf Modellierungskreisläufe, die die Bildung eines Realmodells als eigenen Schritt in sich trägt. Dazu gehört z.B. der Modellierungskreislauf von Maaß und Blum und Leiß.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb.l Modellierungskreislauf nach Schupp mit einfachemMathematisieren(1988, S.ll)

3.2. Arten von Mathematisieren

3.2.1. EinfachesMathematisieren

Das einfache Mathematisieren beschreibt Modellierungskreisläufe, bei denen nur ein Schritt von der realen Situation ins Modell verwendet wird (Winter, 2003, S. 33). Ein Beispiel für einen Modellierungskreislauf, bei dem einfaches Mathematisieren stattfindet, ist das Modell von Schupp (siehe Abb.l). In diesem Kreislauf führt nur ein Schritt von der Situation zum Modell.

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Details

Seiten
11
Jahr
2019
ISBN (eBook)
9783346125859
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v536494
Institution / Hochschule
Humboldt-Universität zu Berlin – Institut für Erziehungswissenschaften
Note
1,3
Schlagworte
Mathematisieren Modellieren Primarstufe Grundschule Mathematik Mathe Didaktik Erziehungswissenschaften Grundschulpädagogik
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